2018几何探究题PPT演示文档

题型6几何探究题,专题类型突破,类型1 线段的位置关系问题,【例1】 2016吉林中考(1)如图1，在RtABC中，ABC90，以点B为中心，把ABC逆时针旋转90，得到A1BC1；再以点C为中心，把ABC顺时针旋转90，得到A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系_；(2)如图2，当ABC是锐角三角形，ABC(60)时，将ABC按照(1)中的方式旋转，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；(3)如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1 BC，C1BB1的面积为4，则B1BC的面积为_,【思路分析】(1)根据旋转的性质得到C1BCB1CB90，BC1BCCB1，根据平行线的判定得到BC1CB1，推出四边形BCB1C1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；(2)过点C1作C1EB1C于点E，于是得到C1EBB1CB，由旋转的性质得到BC1BCB1C，C1BCB1CB，等量代换得到C1BCC1EB，根据等腰三角形的判定得到C1BC1E，等量代换得到C1EB1C，推出四边形C1ECB1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；(3)设C1B1与BC之间的距离为h，由已知条件得到 根据三角形的面积公式得到 于是得到结论,解：(1)平行把ABC逆时针旋转90，得到A1BC1；再以点C为中心，把ABC顺时针旋转90，得到A2B1C，C1BCB1CB90，BC1BCCB1，BC1CB1，四边形BCB1C1是平行四边形，C1B1BC.故答案为：平行,(2)C1B1BC.证明如下：如图，过点C1作C1EB1C，交BC于点E，则C1EBB1CB，由旋转的性质知，BC1BCB1C，C1BCB1CB，C1BCC1EB，C1BC1E，C1EB1C，四边形C1ECB1是平行四边形，C1B1BC.(3)由(2)知，C1B1BC，设C1B1与BC之间的距离为h，,满分技法判断两条线段的位置关系时，观察图形，根据图形先推测两条线段的关系是平行还是垂直若平行则通过以下方法证明：(1)平行线判定定理；(2)平行四边形对边平行；(3)三角形中位线定理等；若垂直可考虑以下途径：(1)证明两线段所在直线的夹角为90；(2)两线段是矩形的邻边；(3)两线段是菱形的对角线；(4)利用勾股定理的逆定理判定两线段所在的三角形是直角三角形；(5)利用等腰三角形“三线合一”性质等方式证明,满分必练1.2017佳木斯中考已知AOB和COD均为等腰直角三角形，AOBCOD90.连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.(1)如图1所示，易证：(2)将COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论,解：(1)证明：OAB与OCD为等腰直角三角形，AOBCOD90 ，OCOD，OAOB.在AOD与BOC中，,AODBOC(SAS)，ADOBCO，OADOBC.点H为线段BC的中点，OBHHOBOAD.又OADADO90 ，ADOBOH90 ，OHAD.(2)结论： 证明如下：如图1，延长OH到点E，使得HEOH，连接BE.易证BEOODA，OEAD， 由BEOODA，知EOBDAO，DAOAOHEOBAOH90，OHAD.,结论：如图2，延长OH到点E，使得HEOH，连接BE，延长EO交AD于点G.易证BEOODA，OEAD.由BEOODA，知EOBDAO，DAOAOFEOBAOG90 ，AGO90 ，OHAD.,2016东营中考如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BDCF，BDCF成立(1)当ABC绕点A逆时针旋转(090)时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由(2)当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点H.求证：BDCF；当AB2，AD 时，求线段DH的长,解：(1)BDCF.证明如下：由题意，得CAFBAD，在CAF和BAD中，,CAFBAD(SAS)，BDCF.(2)证明：由(1)，得CAFBAD，CFABDA.FNHDNA，DNANAD90 ，CFAFNH90 ，FHN90 ，即BDCF.如图，连接DF，延长AB交DF于点M.四边形ADEF是正方形，AD ，AB2，AMDM3，BMAMAB1.MADMDA45 ，AMD90 ，DB又DHF90 ，MDBHDF，DMBDHF，,3.2017鹤岗中考在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1，则有ACBD，ACBD.旋转图1中的RtCOD到图2所示的位置，AC与BD有什么关系？(直接写出)若四边形ABCD是菱形，ABC60，旋转RtCOD至图3所示的位置，AC与BD又有什么关系？写出结论并证明,解：图2结论：AC BD ，AC BD .理由：设AC与BD 的交点为O .四边形ABCD是正方形，AOOC，BOOD，ACBD.将RtCOD旋转得到RtC OD ，,OD OD，OC OC，D ODC OC，AOBO，OC OD ，AOC BOD .在AOC 与BOD 中，,AOC BOD ，AC BD ，OAC OBD .AO D BO O，O BOBO O90 ，O AC AO D 90 ，AC BD .图3结论：BD 理由：设AC与BD的交点为O .四边形ABCD是菱形，ACBD，AOCO，BODO.ABC60 ，ABO30 ，,将RtCOD旋转得到RtC OD ，OD OD，OC OC，D ODC OC，,【例2】 2016菏泽中考如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.(1)如图1，若CABCBACDECED50.求证：ADBE；求AEB的度数(2)如图2，若ACBDCE120，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：,类型2 线段的数量关系问题,【思路分析】 (1)通过角的计算找出ACDBCE，再结合ACB和DCE均为等腰三角形可得出“ACBC，DCEC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出ACDBCE，由此即可得出结论ADBE；结合中的ACDBCE可得出ADCBEC，再通过角的计算即可算出AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论,解：(1)证明：CABCBACDECED50，ACBDCE18025080.ACBACDDCB，DCEDCBBCE，ACDBCE.ACB和DCE均为等腰三角形，ACBC，DCEC.在ACD和BCE中，,ACDBCE(SAS)，ADBE.ACDBCE，ADCBEC.点A，D，E在同一直线上，且CDE50，ADC180CDE130，BEC130.BECCEDAEB，且CED50，AEBBECCED1305080.(2)证明：ACB和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE120，CDMCEM CMDE，CMD90，DMEM.在RtCMD中，CMD90，CDM30，DE2DM BECADC18030150，BECCEMAEB，AEBBECCEM15030120，BEN18012060.在RtBNE中，BNE90，BEN60，,满分技法1.三条线段之间的数量关系(1)在证明三条线段之间的和差问题时，常用“截长补短”作辅助线的方法可使问题得到解决，在补短法中，要根据具体的情况选择补短法如证abc时可延长线段a，使延长部分等于b，然后再证明延长后的线段与c相等，也可以使延长后的线段与c相等，再证明延长的部分与线段b相等；(2)在截取中，关键是分点的选取，根据图形特点利用平行、垂直等关系取得分点，把长线段分成两部分或把短线段延长；(3)在证明两条线段相等时，可分别找出两条线段所在三角形，通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明两条线段相等如果变化后两条线段在同一个四边形中，也可证明四边形是特殊四边形，通过特殊四边形的性质证明两条线段相等2两条线段之间的数量关系,在数量关系猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两线段的倍数关系，如AB2CD或AB图形模型证明，具体情况如下：(1)利用三角形的中位线或直角三角形证明 (2)利用等腰直角三角形证明 (3)利用含30角的直角三角形证明,满分必练4.2017杭州中考如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GEDC于点E，GFBC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，AGF105，求线段BG的长,解：(1)结论：AG2GE2GF2.理由：如图，连接CG.四边形ABCD是正方形，A、C关于对角线BD对称点G在BD上，GAGC.GEDC于点E，GFBC于点F，GECECFCFG90 ，四边形EGFC是矩形，CFGE.在RtGFC中，CG2GF2CF2，AG2GF2GE2.,(2)如图，作BNAG于点N，在BN上截取一点M，使得AMBM.设ANx.AGF105 ，FBGFGBABG45 ，AGB60 ，GBN30 ，ABMMAB15 ，,解：(1)ACOECACO(2)结论仍然成立，理由：如图1，连接AD.OAB是等腰直角三角形，且D为OB的中点ADOB，ADDO，ADO90，ADCCDO90.DECD，CDEODECDO90，ADCODE.ACMN，ACO90，CADDOC3609090180.DOEDOC180，CADDOE.在ACD和OED中，ACDOED(ASA)，,ACOE，CDDE.CDE90，CDE是等腰直角三角形，理由：如图2，连接AD，则ADOD，同理，ADCEDO.CABCAOCAOAOC90 ，CABAOC.DABAOD45 ，DABCABAODAOC，即DACDOE，ACDOED，ACOE，CDDE，CDE是等腰直角三角形，CE22CD2，(OCOE)2(OCAC)22CD2，,【例3】 2016淄博中考如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点(不与点B，C，D重合)，AM，AN分别交BD于点E，F，且MAN始终保持45不变(1)求证： (2)求证：AFFM；(3)请探索：在MAN的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMNBAM？写出你的探索结论，并加以证明,类型3 线段的比值问题,【思路分析】 (1)先证明A，B，M，F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明AFM90，根据等腰直角三角形性质即可解决问题；(2)由(1)的结论即可证明；(3)由A，B，M，F四点共圆，推出BAMEFM，因为BAMFMN，所以EFMFMN，推出MNBD，得到 推出BMDN，再证明ABMADN即可解决问题,解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABDCBD45，ABC90.MAN45，MAFMBE，A，B，M，F四点共圆，ABMAFM180，AFM90，FAMFMA45，(2)由(1)可知，AFM90，AFFM.(3)结论：当BAM22.5时，FMNBAM.理由如下：A，B，M，F四点共圆，BAMEFM.BAMFMN，EFMFMN，MNBD， CBDC，CMCN，MBDN.在ABM和ADN中， ABMADN(SAS)，BAMDAN.MAN45，BAMDAN45，BAM22.5.,满分必练6.2016泰安中考(1)已知ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且DECDCE，若A60(如图1)求证：EBAD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若A60”改为“若A90”，其他条件不变，则 的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程),解：(1)证明：作DFBC交AC于点F，如图1所示，则ADFABC，AFDACB，FDCDCE.ABC是等腰三角形，A60 ，ABC是等边三角形，ABCACB60 ，,DBE120 ，ADFAFD60 A，ADF是等边三角形，DFC120 ，ADDF.DECDCE，FDCDEC，EDCD.在DBE和CFD中， DBECFD(AAS)，EBDF，EBAD.(2)EBAD成立理由如下：作DFBC交AC的延长线于点F，如图2所示同(1)得，ADDF，FDCECD，FDCDEC，EDCD.在DBE和CFD中，DBECFD(AAS)，EBDF，EBAD.,7.2016丽水中考如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且BFC90.(1)当E为BC中点时，求证：BCFDEC；(2)当BE2EC时，求 的值；(3)设CE1，BEn，作点C关于DE的对称点C，连接FC，AF，若点C到AF的距离是 ，求n的值,解：(1)证明：在矩形ABCD中，DCE90 ，F是斜边DE的中点，CFDEEF，FECFCE.BFC90 ，E为BC中点，EFEC，CFCE.在BCF和DEC中，BCFDEC(ASA)(2)设CEa，由BE2CE，得BE2a，BC3a.,CF是RtDCE斜边上的中线，FECFCE，BFCDCE90 ，BCFDEC， 解得ED26a2.由勾股定理，(3)过C 作C HAF于点H，连接CC交EF于点M，如图所示CF是RtDCE斜边上的中线，FCFEFD，FECFCE.四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，ADFCEF，ADFBCF.在ADF和BCF中，,ADFBCF(SAS)，AFDBFC90 .C HAF，C CEF，HFEC HFC MF90 ，四边形C MFH是矩形，在RtEMC和RtFMC中，由勾股定理，得CE2EM2CF2FM2，,【例4】如图，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA4，AB3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动当两个动点运动了x秒(0x4)时，解答下列问题：(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；(2)设OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由,类型4 面积问题,【思路分析】 (1)由勾股定理求出OB，作NPOA于点P，则NPAB，得出OPNOAB，得出比例式 求出OP，PN，即可得出点N的坐标；(2)由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；(3)分两种情况：若OMN90，则MNAB，由平行线得出OMNOAB，得出比例式，即可求出x的值；若ONM90，则ONMOAB，证出OMNOBA，得出比例式，求出x的值即可,解：(1)根据题意，得MAx，ON1.25x，在RtOAB中，由勾股定理，作NPOA于点P，如图1所示则NPAB，OPNOAB，,(3)存在某一时刻，使OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：若OMN90，如图2所示则MNAB，此时OM4x，ON1.25x，MNAB，OMNOAB，若ONM90，如图3所示则ONMOAB，此时OM4x，ON1.25x，ONMOAB，MONBOA，,满分技法面积最值问题一般需要建立函数模型建立函数模型的基本步骤：1巧妙地选择与问题相关并且简单适合的量，将这个量设为变量通常就是所求图形的一边的长度，或与一边有直接数量关系的量；2求面积问题通常需要两条或两条以上相关线段，如三角形或平行四边形的底和高，矩形的长和宽等，因此需要用第一步中的变量表示出其他必需的线段，常见的途径有：(1)勾股定理；(2)锐角三角形函数；(3)相似三角形的对应边成比例；(4)全等三角形的性质；(5)旋转，平移，折叠的性质等；3根据面积公式构造函数关系式；4根据面积的函数关系，利用函数的增减性求面积,满分必练8.2017自贡中考如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A(1,0)，点B(0， )(1)求BAO的度数；(2)如图1，将AOB绕点O顺时针旋转得AOB，当点A恰好落在AB边上时，设ABO的面积为S1，BAO的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？(3)若将AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断,BAO60 .(2)S1S2.理由如下：由题意得，AAAO，BAO60 ，A AO是等边三角形，AOA BAO60，A B x轴，点A，B 到x轴的距离相等ABOA OB90 60 30 ，A OA B，AOA B.等边A AO的三条高都相等，点O到AB的距离等于点B 到x轴的距离，S1S2(等底等高的三角形面积相等)(3)S1与S2的关系没变，仍然有S1S2.理由如下：如图，过点B作BCAO于点C，过点B 作B Dx轴于点D，BCOB DO90.由题意，得BODA OB 90 ，B OBOA OAO，1AOD2A OD90，12，BOCB OD(AAS)，BCB D.又AOA O，S1S2(等底等高的三角形面积相等),9.2017黄石中考在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CPBC，如图所示(1)如图1，求证：BABP；(2)如图2，点Q在DC上，且DQCP，若G为BC边上一动点，当AGQ的周长最小时，求 的值；(3)如图3，已知AD1，在(2)的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PMBN，请证明：MNT的面积S为定值，并求出这个定值,解：(1)证明：设ADBCa，则ABCD四边形ABCD是矩形，C90 .PCADBCa，(2)如图1，作点Q关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点G，此时AQG的周长最小(3)证明：如图2，作THAB交NM于点H，交BC于点K.,【例5】2016德州中考我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使APBCPD90，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明),类型5 图形的判定问题,【思路分析】 (1)如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EHFG，EHFG即可；(2)四边形EFGH是菱形先证明APCBPD，得到ACBD，再证明EFFG即可；(3)猜想比(2)中的条件更特殊的四边形一定是正方形,解：(1)证明：如图1，连接BD.点E，H分别为边AB，DA的中点，EHFG，EHGF，中点四边形EFGH是平行四边形(2)四边形EFGH是菱形证明：如图2中，连接AC，BD.APBCPD，APBAPDCPDAPD，即APCBPD.在APC和BPD中，,APCBPD，ACBD.点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是菱形(3)四边形EFGH是正方形,满分必练10.2017衢州中考问题背景如图1，在正方形ABCD的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形EFGH是正方形类比探究如图2，在正ABC的内部，作BADCBEACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F