齐次和非齐次线性方程组的解法12月25日

线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。一、齐次线性方程组的解法定理 齐次线性方程组一定有解：(1) 若齐次线性方程组 ，则只有零解；()rAn(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是 .（注：当 时，齐()rAnmn次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 .）0注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于 .()nrA2、非齐次线性方程组 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组” ）为XB齐次线性方程组 所对应的同解方程组。O由上面的定理可知，若 是系数矩阵的行数（也即方程的个数） ， 是未知量的个数，mn则有：（1）当 时， ，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程n()rn组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 ； 0A（3）当 且 时，此时系数矩阵的行列式 ，故齐次线性方程组只mn()rA0A有零解；（4）当 时，此时 ，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“()n”.n例 解线性方程组1234123450,346,7.xx解法一：将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵124723150713646724A显然有 ，则方程组仅有零解，即 .()rn1230xx解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即 ） （注意：方程组的个数不等mn于未知量的个数（即 ） ，不可以用行列式的方法来判断） ，从而可计算系数矩阵 A 的m行列式： ，知方程组仅有零解，即 .2315327046A12340xx例 解线性方程组12345123450,36,54.xxx解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵3201654142(5)3rr 1102621342()rr 200可得 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为()An（其中 ， ， 为自由未知量）13452 ,26.xx3x45令 ， ， ，得 ；令 ， ， ，得340512,3041x50；令 ， ， ，得 ，于是得到原方程组的一12,x3x45x125,6个基础解系为， ， .120135601所以，原方程组的通解为（ ， ， ）.123Xkk123kR例 3 求齐次线性方程组 的一个基础解系，并以该基础41230,5.xx解系表示方程组的全部解.解：将系数矩阵 化成简化阶梯形矩阵A125132()rr 11024123()rr 0可得 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为()An（其中 , 为自由未知量）1234,0,xx23x令 ， ，得 ；令 ， ，得 ，于是得2x31420314,0x到原方程组的一个基础解系为,1021所以，原方程组的通解为（其中 , 为任意实数）.12Xk1k2二、非齐次线性方程组的解法 唯一解： 线性方程组有唯一解()rAn例 解线性方程组1231,442.xx解： 13()412()21064rAB )321(4r 2()0361210r 可见 ，则方程组有唯一解，所以方程组的解为()3rA 123,0.x 无解： 线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现 ，则()r1rd原方程组无解）例 解线性方程组1231,24.xx解： 123()12()12036rAB 23r ，可见 ，所以原方程组无解.103()3()2rAr 无穷多解： 线性方程组有无穷多解()n例 解线性方程组12343,10.xx解： 123()123()2130750440rAB 231()015270r 可见 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为()24rA（其中 , 为自由未知量）13425,7.xx3x4令 得原方程组的一个特解 .340,x20又原方程组的导出组的同解方程组为 （其中 , 为自由未13425,7.xx3x4知量）令 ， ，得 ；令 ， ，得 ，于是31x4012,x30x4125,7得到导出组的一个基础解系为， 。102571所以，原方程组的通解为（ ， ）.12Xk1k2R例 求线性方程组1234,.xx的全部解.解： 21()23AB123()rr 12120323r 12103231()rr 401263331()2()1rr 3012012可见 ，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为()34rA（其中 为自由未知量） 14234,.xxxx4x令 ，可得原方程组的一个特解 .40x10又原方程组的导出组的同解方程组为 （