常微分方程答案

常微分方程测试题 1 答案一、填空题（每空 5分）1 2、 z=34、5、二、计算题（每题 10分）1、这是 n=2时的伯努利不等式，令 z= ,算得代入原方程得到 ，这是线性方程，求得它的通解为 z=带回原来的变量 y，得到 = 或者 ，这就是原方程的解。此外方程还有解 y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程 的特征方程为 ，故通解为不是特征根，所以方程有形如把 代回原方程 于是原方程通解为4、解 三、证明题（每题 15分）1、证明：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故(t)是一个解。同样如果以 (t)表示 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。又因为 det =-t 故 是基解矩阵。2、证明：（1） , (t- t )是基解矩阵。（2）由于 为方程 x =Ax的解矩阵，所以 (t )也是 x =Ax的解矩阵，而当 t= t 时， (t ) (t )=E, (t- t )= （0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 (t )= (t- t )常微分方程测试题 2 答案一、填空题：（每小题 3分，103=30 分）1. 2. 3 3. 4. 充分条件 5. 平面 6. 无7. 1 8. 9. 10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解：（每小题 8分，85=40 分）1、解：将方程变形为 （2 分）令 ，于是得 （2 分）时， ，积分得从而 （2 分）另外 ，即 也是原方程的解 （2 分）2、解：由于 （3 分） 方程为恰当方程，分项组合可得 （2 分）故原方程的通解为 （3 分）3、解：齐线性方程 的特征方程为特征根 （2 分）对于方程 ，因为 不是特征根，故有特解 （3 分）代入非齐次方程，可得 .所以原方程的解为 （3 分）4、解：线性方程 的特征方程 ,故特征根 （2 分）对于 ，因为 是一重特征根，故有特解 ,代入 ，可得 （2分）对于 ，因为 不是特征根，故有特解 ，代入原方程 ，可得 （2 分）所以原方程的解为 （2 分）5、解:当 时，方程两边乘以 ，则方程变为 （2 分）， 即 于是 有 ，即 （3分）故原方程的通解为 另外 也是原方程的解. （3 分）三、解： , ，解的存在区间为 （3 分）即 令 （4 分）又误差估计为： （3 分）四、解：方程组的特征方程为特征根为 ， （2 分）对应的特征向量应满足可解得 类似 对应的特征向量分量为 （3 分）原方程组的的基解矩阵为 （2 分） （3 分）五、证明题：(10 分)证明：设 ， 是方程的两个解，则它们在 上有定义，其朗斯基行列式为 （3 分）由已知条件，得 （2 分）故这两个解是线性相关的 由线性相关定义，存在不全为零的常数 ，使得， 由于 ，可知 否则，若 ，则有 ，而，则 ，这与 ， 线性相关矛盾 （3 分）故 （2 分）常微分方程测试题 3答案1辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性（4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2填空题（1） （2）（3） （4）3单选题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）. A （6）. B 7. A4. 计算题（1）解 当 时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）解 齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出 原方程