高等数学课后习题答案第六章

习题 621 求图 621 中各画斜线部分的面积(1)解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为0 1 所求的面积为.6123)(010dA(2) 解法一 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为0 1 所求的面积为1|)()(010xedeA解法二 画斜线部分在 y 轴上的投影区间为1 e 所求的面积为)(|lnl11yee(3) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为3 1 所求的面积为32)3(12dxA(4) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为1 3 所求的面积为32|)3()32( 121 xdA2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积(1) 与 x2y28(两部分都要计算) y解 38282)18(2 000021 dxdxxdxA34cos64t6)2(1S(2) 与直线 yx 及 x2xy解所求的面积为212ln3)(dxA(3) yexyex 与直线 x1解所求的面积为1021)(edxeAx(4)y=ln x,y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (ba0).解 所求的面积为 abedyAbalnln3求抛物线 yx24x3 及其在点(03)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解y2 x4过点(0, 3)处的切线的斜率为 4切线方程为 y4(x3)过点(3, 0) 处的切线的斜率为2切线方程为 y2x6两切线的交点为 所求的面积为)3 ,(493(6243420 22 dxxxxA4求抛物线 y2=2px 及其在点 处的法线所围成的图形的面积 ),p解 2yy2p在点 处 法线的斜率 k1),(1),2(py法线的方程为 即 )(xypx23求得法线与抛物线的两个交点为 和 ),(),9(法线与抛物线所围成的图形的面积为23232 16)13()( pyypdypA5求由下列各曲线 所围成的图形的面积(1) 2acos 解所求的面积为a22022cos4)cos(1 dadaA(2)xacos3t, yasin3t;解 所求的面积为 20402330 sinco4)cos()sin(4 tdatdtaydxAa0628ii1tt(3) =2a(2+cos)解 所求的面积为2202202 18)cos4()cos(1 adadaA 6求由摆线 xa(tsin t)ya(1cos t)的一拱(0 t 2)与横轴 所围成的图形的面积解所求的面积为 aaa dtdttydxA2022020 )cos1()cos1()(23cos1(t7求对数螺线 ae()及射线 所围成的图形面积解所求的面积为)(421)(21 22 eadeadeA8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积(1) 3cos 及 1cos解曲线 3cos 与 1cos交点的极坐标为 由对称性所求的面积为)3,2(A),(B 45)cos3(2)cos(21 230 ddA(2) 及 in解曲线 与 的交点 M 的极坐标为 M 所求的面积为sin22cos)6,2(23161)(14660 ddA9求位于曲线 y=ex 下方该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积解 设直线 ykx 与曲线 yex 相切于 A(x0 y0)点 则有kex0)(0求得 x01 y0e ke所求面积为21ln2)ln( 000 edyyedyee10求由抛物线 y24ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值解 设弦的倾角为 由图可以看出抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A显然当 2时A 10当 时A 102因此抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为203082axdaxA11把抛物线 y24ax 及直线 xx0(x00)所围成的图形绕 x 轴旋转计算所得旋转体的体积解 所得旋转体的体积为20020024xaaxdyVxx 12 由 yx3 x2 y0 所围成的图形 分别绕 x轴及 y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积解 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为7128020620 xdyVx绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 80328022 dydxy56438013 把星形线 所围成的图形 绕 x 轴旋转 计算所得旋3/2/3/2ayx转体的体积解 由对称性 所求旋转体的体积为 dxadxyVa03202)(30234342 105( aa 14 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2HRV证明 RHdydyx)(223)31(2yRH15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积(1) 绕 y 轴2xy解 103)521()(10210 ydV(2) x0 xa y0 绕 x 轴aych解 10230202 ch ch)( udaddV令 122310223 )1(4(4 uuuu eaea)sh3(3) 绕 x 轴165(22yx解 4242)165()dxdV020(4)摆线 xa(tsin t)ya(1cos t)的一拱y 0 绕直线 y2a解 aadxydxV20220)()(3 sinco18tt232027si)(aa16 求圆盘 绕 xb(ba0)旋yx转所成旋转体的体积解 aa dydbV22)()(028y17 设有一截锥体 其高为 h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为 2a、2b 和2A、2 B 求这截锥体的体积解 建立坐标系如图 过 y 轴上 y 点作垂直于 y 轴的平面 则平面与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴分别为 yhaAyhbB截面的面积为 )()(yhba于是截锥体的体积为)