概率论习题及答案习题详解

222习题七( A )1、设总体 服从参数为 和 的二项分布， 为取XNpnX,21自 的一个样本，试求参数 的矩估计量与极大似然估计量.解：由题意， 的分布律为：.()(1),0kNkPp总体 的数学期望为X(1)0 1()NNkkkNkk kEp 1Npp则 .用 替换 即得未知参数 的矩估计量为 .XEXpN设 是相应于样本 的样本值，则似然函12,nx 12,nX数为 111211(,;)()()nni innxNxnii iiLpPxp取对数，111lll()ln()nni iiiNxNx.11ln()niidLpp令 ，解得 的极大似然估计值为l0223.1nixpN从而得 的极大似然估计量为p.1niiXp2,、设 为取自总体 的一个样本, 的概率密度为nX,21 X其中参数 ，求 的矩估计.2,0(;)xf 其 它 .0解：取 为母体 的一个样本容量为 的样本，则nX,21 n20()3xExfd32用 替换 即得未知参数 的矩估计量为 .X2X3、设 总体 的一个样本, 的概率密度为12,nX0,0,);(1xexf其中 是未知参数， 是已知常数,求 的最大似然估计.0解：设 为样本 的一组观测值，则似然函12,nx 12,nX数为 1()121(),0(,;)0,ninxinxeLx 其 他224取对数 11lnlln()ln)()niiiLx解极大似然方程 1l0id得 的极大似然估计值为1nix从而得 的极大似然估计量为 .1niiX4、设总体 服从几何分布X,10,2,)()(1pkpkP试利用样本值 ,求参数 的矩估计和最大似然估计.nx,21解：因 ,1111()()kkk kEXpp用 替换 即得未知参数 的矩估计量为 .X在一次取样下，样本值 即事件12(,)nx同时发生，由于12,XxX相互独立，得联合分布律为2,n 112(,;)()(),()nLxpPxPXx ,121nxx p即得极大似然函数为2251()nixnLp取对数 1lnll()ip解极大似然方程 1l()0nixdLpp得 的极大似然估计值为p1nix从而得 的极大似然估计量为 .1niipX5、设总体 的概率密度为 为未知X;exp,2fx0参数, 为总体 的一样本,求参数 的最大似然估计.n,21解：设 为样本 的一组观测值，则似然函x 12,nX数为121 11(,;)(;)(;)exp|(nnn iniLfxf 取对数 12 1l(,;)l(2)|nn iixx解极大似然方程 21l|0niidL226得 的极大似然估计值1|niix从而得 的极大似然估计量为 .1|niiX6、证明第 5 题中 的最大似然估计量为 的无偏估计量.证明：由第 5 题知 的最大似然估计量为 1|nii故 11(|)|nni iiiEXE又 |exp2iXd0 02 ()xx 0ep|e从而 ，即 是 的无偏估计.E7,、设总体 的概率密度为 ,X220;0xefx， ， 其 它 .为未知参数 , 为总体 的一个样本 ,求参数 的20nX,21 2的矩估计量和最大似然估计量.解：因220(;)xEXxfdxed22200()| xxxdee 2 20 01x xd 227用 替换 即得未知参数 的矩估计量为XE12X从而得未知参数 的估计量为22()设 为样本 的一组观测值，则似然函数为12,nx 12,nX 21()2221121(,;)(;)(;)ninixn nLfxfxe 取对数 2211lllnni iixx解极大似然方程22241ln0nidLx得 的极大似然估计值2221ni从而得未知参数 的估计量为 .2221nix8、设总体 , 已知, 为未知参数, )(2NX为 的一个样本 , , 求参数 ,使 为n,21 niiXc1|c的无偏估计.解：由无偏估计的定义，要使 为 的无偏估计，则E又 11(|)|nni ii iEcXucEXu228由题意知总体 ，从而),(2NX2()1|xuiEuxed2 2() ()1()()xu xuu uxed 且2 2()01()xu yyuxed 220()y由对称性有 2|iEXu从而有 ，即 .2cn2cn9、设 是参数 的无偏估计量,且有 ,试证 不是 0)(D2)(的无偏估计量.2证明：因为 是参数 的无偏估计量，故 ，且E0有 2222()()(EDE即 不是 的无偏估计量.10、设总体 , 是来自 的样本,试证：估)(2NX321,X计量; ;32105 32125436都是 的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.证明：总体 , 是来自 的样本，则)(2NX321,X2291123123()5050EXEXEXu2 5344123123()66即估计量 都是 的无偏估计.3,又 2112312391()5050450DXDXDX23467 2123123()6918有 ，从而估计量 最有效.2D211,、设 是总体 的一个样本, ,12,nX 20XN:20证明： 是 的相合估计量.1nii证明：由题意，总体 ，则20,:20,EX由样本的独立同分布性知，即 是 的无偏估计 .2211()nniiiiEXE21nii2211()()nni iiiDD又 ，且242iiiXE2 2 2244 3| xxxixedeed 23022433xed故 ，24244()()2iiiDXE有 210)nii n故 是 的相合估计量21niiX12、设总体 的数学期望为 ,方差为 ,分别抽取容量为 和 的21n2两个独立样本, , 分别为两样本均值,试证明:如果 满足12 ,ab,则 是 的无偏估计量,并确定 ,使得abYaXb最小.D解：由题意， ，且 , 分别为容量为 和 的2,EuD1X21n2两个独立样本得样本均值，故 ，11,n.22,EXun当 时，有 ，即1ab12()EYaXbau是 的无偏估计量 .2Y2211()Dabn令 ，由 知函数 的稳定点为221()()gn()0ga()ga231，且 ，故 为函数唯12na1212()()0ngn12na一极小值点，即当 时， 最小.1212,abDY13、设 是总体 的一个样本, 的概率密度为12,nX XX, ,未知，已知 ,试求 的置信水平为;fx02n:的置信区间.1解：由题意，统计量 ，则给定置信度为 时，有2nX1221( )1P221nXn由置信区间的定义知， 的置信水平为 的置信区间为1.221,nn14、从大批彩色显像管中随机