电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案

1第 1 章 习 题1、 求函数 的等值面方程。DCzByAxu1解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为。)( ),(为 常 数czyx设常数 E，则， ，Ezyx即： 1zBA针对不同的常数 E（不为 0） ，对应不同的等值面。2、 已知标量场 ，求场中与直线 相切的等值线方程。xyu042yx解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：，4yx代入标量场 ，得到：C，02满足唯一解的条件： ，02416C得到： ，因此，满足条件的等值线方程为： 2xy3、 求矢量场 的矢量线方程。zyxyA2解：由矢量线的微分方程： zyxAd本题中， ， ， ，2yx22则矢量线为：，22zydxd由此得到三个联立方程：， ， ，解之，得到：xdyzzyx2， ， ，整理，2c1， ，yc3它们代表一簇经过坐标原点的直线。4、 求标量场 在点 M(2,0,-1)处沿 方向的方向导数。zyxu23 zyxt324解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场 u 在可微点 M 处沿 l 方向的方向导数为 cosscoszuyxl 、 、 分别是 l 方向的方向角，即 l 方向与 的夹角。 、 、 分别是 l 方向的 yx、 coscos2方向余弦。， ，42Mxzu0Mzyu 1232Myzxu令： 842249)3()(zyx则： ， ， ，5cosM0cos2Mxy53cosM4651Mzuyuxtu5、 求标量场 在点 M(0,0,0) 、点 M(1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度yxz6232为 0 的点。解：由梯度定义： zuyxu则： zyxyxzu )6()24()32( z6)0,(yxu)1,(若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即： 0324xy6z解之，得到： 1,2zyx即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。6、 设 ， ，n 为正整数。求 、 、 。xrrrnrf解：根据题意及梯度定义：3rzyxrzyxzyxr)(122)()( 2122rnn21rf)(7、 求矢量场 在点 M(1,0,-1)处的散度。zyxA33解：由题意及散度定义：，将 M(1,0,-1)代入：22得到： 630M8、 设 为常矢量， ， ，求 、 、 ，证明 azyxrrar2arnar)(解：由散度运算公式：1） rarr02） ar2023）4arnrraann2104）证明：因为： zyxazyxra )()(且： ， ， 均为常数，所以有：zyxraz)(得证。9、 设无限长细直导线与 z 轴重合，其上有沿正 z 轴方向流动的电流 I，导线周围的磁场yxyxIH22计算 。解：由题意及散度的定义： yxyxI2222)(/yxIHx2)(/yxIy0yHx10、已知 ，求 。xu2u2解：由题意及散度运算性质： )(25yxyxzuu)2()2(0)所以： 2u11、计算下列矢量场的旋度：（1） ； （2） ；zxyzyxzA3232 zxyzyA22解：由矢量场旋度定义式，可得：1） zxyzxz zyAyAAyzyx xzxyz 3214 rot 222） zxyzxy yAAAzyx xzxyz 222 rot 12、已知 ， ，计算 。xeuzA Au解：由题意及矢量的旋度运算公式： )2()2(zxyzxyexx 13、已知 ， ， 为常矢量，求 、 、 。rrarrfrfa解：61） 0 z)-(y)-(x)-(rxzzy2） 0)()()(rfrffrfr3） arfrfaffrfa)(1)()(14、已知 ， ，求 。zxyyA23 zxB42BA解：由题意及运算规则，先求出 ，再求旋度：AxyzB2 304yzx ()()()yzyzxzxyxABABABz232 =81x()232()zxyxz232()1(8()(1)(8) xzxyzz y22(46)3xzyx715、已知位于坐标原点处电量为 q 的点电荷产生的电位移矢量 为 ，其中 ，D34rqzyxr，计算 和 。rD解：由题意：1） 34qr()3r 31()r4 q4r 02） 34qrD() 33()()rr4 q43 3r3 q0(0)r在 r=0 处， 无意义， 不存在。D16、证明 ， 。uA证明：1）由标量场梯度的定义式： zuyxu8)(zuyxu由 zyAxyAzxAy xzxyz 令： zuyxuA则： 0 )( 222 zyxuyzxuxyzuu由此得证。2）由旋度定义： zyAxyzAxyAxzxyz 则： 0 222 zyAxyzAxy zyxAyzxyxzxyz xzxz xzxyz由此得证。17、已知 ，求 ，并计算 。sinco,22zzuuAA解：由题意及柱坐标下梯度的计算公式： zu1zzu sin2cosincos222 zii1229zzuA sin2sico1cos222 由 zA11可得： zA sin2sicocos222siin122 zsicos42Ain32z18、已知 ，计算 、 。sico,A A解：由题意及柱坐标下散度、旋度的计算公式： zA11可得： )sin(cos2A12zAAzzAz 11 z)cos(1sin)cos()sin( 22 zA)sin(1si2zcoin19、已知 ，求 。cos2sin1,32raru u10解：由题意及球坐标下梯度的计算公式： sin1ururu可得：20、已知sin21sin2cos12coi)32( 444 rarara，计算 、 。sn,33rrA A解：由题意及球坐标下散度、旋度的计算公式： rrAr sin1siin112 332ico 322 1sini1s1rrrAcosi)(co422cs4r0A第 2 章 习 题1、 三个点电荷 q1=4C、 q2=2C、q 3=2C，分别放