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概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 1 页 (共 101 页)概率论与数理统计参考答案(附习题)第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间:(1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和;(2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;(3)10 件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数;(4)测量一汽车通过给定点的速度. 解: 所求的样本空间如下(1)S= 2 ,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(2)S= (x, y)| x 2+y202. 设 A、B 、C 为三个事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列事件:(1)A 发生,B 和 C 不发生;(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生;(3)A、B 、C 都发生;(4)A、B 、C 都不发生;(5)A、B 、C 不都发生;(6)A、B 、C 至少有一个发生;(7)A、B 、C 不多于一个发生;(8)A、B 、C 至少有两个发生. 解: 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)567(8)ABCAB3在某小学的学生中任选一名,若事件 A 表示被选学生是男生,事件 B 表示该生是三年级学生,事件 C 表示该学生是运动员,则(1)事件 AB 表示什么?(2)在什么条件下 ABC=C 成立?(3)在什么条件下关系式 是正确的?B(4)在什么条件下 成立?A解: 所求的事件表示如下(1)事件 AB 表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC= C 成立. 概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 2 页 (共 101 页)(3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式 是正确的. CB(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时, 成立. A4设 P(A)0.7,P(A B) 0.3,试求 ()PA解 由于 AB = A AB, P(A)=0.7 所以P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 10.4 = 0.6.5. 对事件 A、B 和 C,已知 P(A) = P(B)P(C) ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)14= 求 A、B、C 中至少有一个发生的概率. 18解 由于 故 P(ABC) = 0,()0,P则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)115486. 设盒中有 只红球和 b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率:A两球颜色相同,B两球颜色不同. 解 由题意,基本事件总数为 ,有利于 A 的事件数为 ,有利于 B2ab 2abA的事件数为 , 111aba则 212()()babPPBA7. 若 10 件产品中有件正品,3 件次品,(1)不放回地每次从中任取一件,共取三次,求取到三件次品的概率;(2)每次从中任取一件,有放回地取三次,求取到三次次品的概率. 解 (1)设 A=取得三件次品 则.3 310 106()()272或 者CAPAP(2)设 B=取到三个次品, 则.37()8. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语,35 人会讲日语,32 人会讲日语和英语,9 人会讲法语、英语和日语,且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种,求:(1)此人会讲英语和日语,但不会讲法语的概率;(2)此人只会讲法语的概率. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语根据题意, 可得概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 3 页 (共 101 页)(1) 329()()()100PABCPABC(2) ()01()1435249. 罐中有 12 颗围棋子,其中 8 颗白子 4 颗黑子,若从中任取 3 颗,求:(1) 取到的都是白子的概率;(2) 取到两颗白子,一颗黑子的概率;(3) 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率;(4) 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设 A=取到的都是白子 则. 38124()05CPA(2) 设 B=取到两颗白子, 一颗黑子. 84312()9B(3) 设 C=取三颗子中至少的一颗黑子. ()075PCA(4) 设 D=取到三颗子颜色相同 . 38412()D10. (1)500 人中,至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)?(2)6 个人中,恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少?解(1) 设 A = 至少有一个人生日在 7 月 1 日, 则50364()1().P(2)设所求的概率为 P(B)4261().7CB11. 将 C,C,E,E,I,N,S 7 个字母随意排成一行,试求恰好排成SCIENCE 的概率 p.解 由于两个 C,两个 E 共有 种排法,而基本事件总数为 ,因此有2A7A270.94Ap概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 4 页 (共 101 页)12. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只,求这 4 只都不配对的概率. 解 要 4 只都不配对,我们先取出 4 双,再从每一双中任取一只,共有中取法. 设 A=4 只手套都不配对,则有42C451028()CPA13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件,第 i 只零件是不合格的概率为 ,i=1 ,2,3,若以 x 表示零件中合格品的个数,则ipiP(x=2)为多少?解 设 Ai = 第 i 个零件不合格,i=1,2,3, 则 1()iiPAp所以 ()1iiPp23123123()()()xA由于零件制造相互独立,有:,123123()()(PP123123()()(APA,()234234x所 以14. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7,这时射击命中目标的概率为 0.6,试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A=目标出现在射程内,B=射击击中目标,B i =第 i 次击中目标, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2,由全概率公式12()(|)PAPAB另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36由加法公式P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B 1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.70.84 = 0.58815. 设某种产品 50 件为一批,如果每批产品中没有次品的概率为 0.35,有1,2,3,4 件次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02,今从某批产品中抽取 10 件,检查出一件次品,求该批产品中次品不超过两件的概率. 概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 5 页 (共 101 页)解 设 Ai =一批产品中有 i 件次品 ,i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取 10 件检查出一件次品,C=产品中次品不超两件, 由题意 01945281093475016(|)(|)|(|)2PBCAPBC由于 A0, A1, A2, A3, A4 构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 0()()|0.196iiiPB由 Bayes 公式 0111222|)|()( .5|)| 3(PBAP故 0()|).58iiCB16. 由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏 2%,10%和 90%的概率分别为 0.8,0.15,0.05,现在从中随机地取三件,发现三件全是好的,试分析这批物品的损坏率是多少(这里设物品件数很多,取出一件后不影响下一件的概率). 解 设 B=三件都是好的,A 1=损坏 2%, A2=损坏 10%, A1=损坏 90%,则 A1, A2, A3 是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=, P(A 1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,由全概率公式 31333(|0.89.509.501.8624iiiPB由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为 1 323()|.8(| .7624|0159| 018().|(|) .8iiiiiiAPBP由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 6 页 (共 101 页)17. 验收成箱包装的玻璃器皿,每箱 24 只装,统计资料表明,每箱最多有两只残次品,且含 0,1 和 2 件残次品的箱各占 80%,15%和 5%,现在随意抽取一箱,随意检查其中 4 只;若未发现残次品,则通过验收,否则要逐一检验并更换残次品,试求:(1)一次通过验收的概率 ;(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率 . 解 设 Hi=箱中实际有的次品数 , , A=通过验收012i则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有:423142(|),5,69(|)8PAC(1)由全概率公式 0()()|)0.96iiiPAHPA(2)由 Bayes 公式 得 0|.81(|) .3()i18. 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备,调查表明,在任一时刻,每台设备被 使用的概率为 0.1,问在同一时刻(1)恰有两台设备被使用的概率是多少?(2)至少有三台设备被使用的概率是多少?解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是 5 重伯努利试验. 由题意,有 p=0.1, q=1p=0.9, 故(1) 23155()0.1)(9.072PC(2) 234P2415055.)(.)9.856C19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,如果每一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为 0.4,比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制,问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大?解 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为 32130()0.64(.6)4.8APC在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为 55324150().(.)(.6)4.82BPC因此,采用五局三胜制的情况下,甲获胜的可能性较大. 20. 4 次重复独立试验中事件 A 至少出现一次的概率为 ,求在一次试验中A 出现的概率. 概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 7 页 (共 101 页)解 设在一次独立试验中 A 出现一次的概率为 p, 则由题意0444 65()(1)81PCpq解得 p=1/3.21.(87,2 分)三个箱子,第一个箱子中有 4 只黑球 1 只白球,第二个箱子中有 3 只黑球 3 只白球,第三个箱子有 3 只黑球 5 只白球. 现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出一个球,这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为解 设 “取出白球” , “球取自第 个箱子” , 是BiAi.3,21i321,A一个完全事件组, , ,.3,21,/)(Pi 5/)|(1ABP/)|(BP,应用全概率公式与贝叶斯公式8/5)|(3AP ,1203)85(3)|()(31 i iiAB.)(|)|(222BPAP22.(89,2 分)已知随机事件 的概率 ,随机事件 B 的概率A5.0)(及条件概率 ,则和事件 的概率 6.0)(BP8.)|(BPA)(AP解 .70|)() PA23.(90,2 分)设随机事件 , 及其和事件 的概率分别是 ,AB4.和 . 若 表示 的对立事件,那么积事件 的概率 3.06BA)(P解 与 互不相容,且 于是A.B.30)()(PA24.(92,3 分)已知 , ,41)()(C)(ABP,则事件 , , 全不发生的概率为 16)()(BCPAB解 从 可知, .00)(A概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 8 页 (共 101 页)()()()( ABCPACPBPACBAP .8501604125.(93,3 分)一批产品共有 10 件正品和两件次品,任意抽取两次,每次抽一件,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 解 设事件 “第 次抽出次品” , 则 iBi.2,1i ,12/)(BP,12/0)(BP应用全概率公式.1/2)|(,| 22P)|()|(121BPBB.601226.(94,3 分)已知 , 两个事件满足条件 ,且 ,A)()(ApP)(则 )(BP解 因 ,故有).()(1)()( ABPBA)()(BAP.1, pP27.(06,4 分)设 , 为随机事件,且 , ,则必有( 0)()|()A )(APBBC )(D BPA解 选(C )28.(05,4 分)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 ,再从 1,2,X中任取一个数,记为 ,则 XY)2(概率论与数理统计 习题参考答案(仅供参考) 第一章 第 9 页 (共 101 页)解 填 .481329.(96,3 分)设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 和 ,现从由AB%12和 的产品分别占 和 的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,AB%604则该产品属 生产的概率是 解 设事件 “抽取的产品是次品” ,事件 “抽取的产品是 A 生产的” ,CD则 表示“抽取的产品是工厂 生产的”. 依题意有D .02)|(,01.)|(,40)(,60.)( CPCPDP应用贝叶斯可以求得条件概率 .73.4.6)|()|(|)|( C30.(97,3 分)袋中有 50 只乒乓球,其中 20 只是黄球,30 只是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件 “第 个人取得黄球” , . 根据题设条件可知iAi 2,1i .4920)|(,49)|(,503)(,502)( 1211 APAPP应用全概率公式 .5350)|()|()( 1211212 A31.(87,2 分)设在一次试验中,事件 发生的概率为 。现进行 次独立试pn验,则 至少发生一次

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