中科院历年高数甲高数A真题

中国科学院中国科技大学2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_1、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题 5 分，共 25 分）（1）当 时， 是（ ）0xx1sinA. 无穷小量 B. 无穷大量C. 有界且非无穷小量 D. 无穷且非无穷大量（2）设 可微且满足 ，则曲线 在)(xf 12)0(lim0xffx )(xfy处的切线斜率为（ ）)0(,fA . B. C . D. 21（3）二元函数 在 处的两个偏导数存在是 在),(yxf),0 ),(yxf处可微的（ ）),(0yxA. 充分条件 B. 必要条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件（4）正项级数 收敛的充分条件是（ ）1naA . B. n)(N1na)(NC. 收敛 D. 收敛11)(nna12n（5）下列广义积分中发散的是（ ）A. B. dx02)(l dx102C. D. dx12)(ln dx02)1ln(二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）（1） _。xex20sin1lim2（2）曲线 和 轴围成的图形绕 轴旋转一周的旋转y)0(xx体的体积是_。（3）二重积分 _。dyxyx12sin3（4）平面 与椭圆柱面 相交所成的椭圆的面积为z132_。（5）向量场 的旋度为_。22zyxkjiv三、 （8 分）设二元函数 具有一阶连续偏导数，关系式 可确定f yzexf),(函数 及 求 及 。 )(xy)(zdxyz四、 （8 分）设 满足条件 ， 。f 1)(xff 2)0(f（1）求 ；)(x（2）求不定积分 。dxfxf)(ln1)(五、 （8 分）求幂级数 的收敛半径和函数。0n六、 （8 分）求微分方程 的通解。xey2七、 （12 分）设 在 中有连续二阶导函数。)(xf1,（1）证明： ； 10 10)(2)()( dxffdxf（2）当 ， 且 时，试证： 。 )(f Mf 12)(10Mf八、 （12 分）计算曲线积分 ，其中 是以 为Lxx ydeyecos)sin( L)0,(起点 ，以 为终点的上半圆周 。)0,2( 12九、 （12 分）计算曲面积分 ，其中 是有向曲面Szxydx)(3 S，其法向量与 轴正方向夹角为锐角。 2yxz)1(zz十、 （12 分）设 是以 为周期的偶函数，当 时， 。(xf2x021)(xf（1）将 在 上展开成傅里叶级数；),（2）根据（1）求 和 。12)(n14n十一、 （10 分）设函数 在 上连续，在 上可微， 。当)(xf,0),0(0)(f时， ，证明 恒等于 。0x)(xff十二、 （10 分）设 在 上一致连续，证明 在 上有界.举例说)1,( )(xf1,明逆命题不成立。中国科学院中国科技大学2009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_1、单项选择题（每题 5 分，共 25 分）1.如果函数 ， 在点 附近有定义，下列四个论断正确的是（ )(xfgax）A. 若 ，则存在 ，使得 在 上严格单调；1)(af 0)(xf),aB. 若 在 点取到极大值，则 在 点左侧单调增、右侧单x 调减；C. 若 ， 在 点处可导，则 在 点处可导的充0)(af)(xfa)(xfa要条件是 ；D. 若 和 都在 点取到极大值，则函数 在 点)(xfgx )(xgfa必取到极大值。2.当 时，下列四个无穷小量阶数最高的是（ ）0A. B. 21)ln(xdtex201C. D. xsinco344x3.设 ，则 在 处（ ）)(f0,1ix)(xf0A. 不连续； B. 连续，但不可导；C. 可导，但导函数不连续； D. 可导，且导函数连续。4.设 ，当 时 为如下四式之一，则 在点0),(f )0,(,yx),(yxf ),(yxf处两个偏导数都存在的是（ ）A. B. C. D. 2yx2yx221sinyx24yx5.下列四个论断正确的是（ ）A. 若对所有自然数 ， 满足 ，则正项级数 收敛；n0a1n1naB. 若对所有自然数 ， 满足 ，则正项级数 收敛；nna1nC. 若正项级数 收敛，则 ；1na0limnD. 若 单调减，且级数 发散，则级数 收敛。0n1)(nna1)(nna2、填空题（每题 5 分，共 25 分）6.方程 的通解为_。xey27.级数 的和为 _。1)(nn8.设 是连续函数， 是由直线 与 轴、 轴所围成的平面,yxfD1yxy域。已知关系式 成立，则积分0),(),(2)1(Defdxyf_。Ddxyf),(9.积分 _。02dxex10.积分 _。102)(nn3、解答题（每题 8 分，共 40 分）11.设 是由 确定的隐函数，求 和 。)(xyxyyxarctnln2dxy212.计算 ，其中 是球面 和 所围VzdVaz22az2成的空间区域， 为常数。0a13. （1）将 展开成带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式；xyrcsin（2）对 ，证明：存在 ，使得 ；1b),0(bbarcsin12（3）求极限 ，其中 由（2）确定。b0lim14.利用欧拉积分及 函数的余元公式 )sin()1(s计算积分 ，其中常数 满足 。)10(sbapdx)(p1015.设第二型曲线积分 与路径L xyxy dedefyf )()0(22无关。（1）求 ；)(xf（2）求 。 3,2)0( 22 )()0( dyxeydxyefy4、解答与证明题（每题 12 分，共 60 分）16.求点 到曲面 的最短距离，并作几何解释。)1,7(2yxz17.设 是二次连续可微函数，并设向量场xf是无旋场。kyjzfxiyfxfzv )1()0)()0 （1）求未知函数 所满足的微分方程初值问题；（2）求解（1）中的初值问题。18.设 ， ， ，232)(czbyaxP232)(czbyaxQ232)(czbyaxR。求第二型曲面积分 ，其中 由球面kRjQivSdPdS与抛物面 所围成的有界区域，外侧。122zyx 12yxz19.设 。xf)()0（1）将 展开成以 为周期的傅里叶余弦级数；)(xf2（2）利用（1）中结果求积分 ；20ln1dx（3）利用（1）中结果求级数和 。14n20.设 在区间 上有连续的导函数，试证明：)(xfba,（1） ； badxff 22)()（2） 。badxfx)(1(ma中国科学院中国科技大学2007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1.本试卷满分 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。_一、填空题（本题 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）1.设 ，则 _。0adxa22.设 是曲面 上的一点，曲面在 点处的切平面平行于平面Pyz P，则 点的坐标为_。793yx3.设 ： ， ，则二重积分 的值等于D2x1yDdxyysin_。4.方程 的通解为_。0y5. _。13)(n2、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）1. （ ）nndx20)(limA. B. C. D. 122. （ ）xttf02)6(5)(A. 有极值点 和拐点 ； B. 有极值点 和拐点 ；65C. 和 都是 的极值点； D. 没有拐点。)(f )(xf3. 积分 （ ）02sindxA. B. C. D. 010sindx20)sin(x4.设二元函数 可微， ， ，则 等于（ ),(yxf 2),(xffx2),( ,2fy）A. B. C. D. 无法确定 105.设曲线 ： ，则（ ）L3722zyxA. B. 62Ldl 52LdlyC. D. 4z 3x3、 （本题 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）1.求积分 。102)(lndx2.设曲面块 是上半球面 被柱面 所截下的部分，S)0(122zyxy2上有一物质分布其密度为 ，求曲面上该物质的重量。S3.设 ，向量 ，其中 ， 是 ， 轴上指xytt deeyz00)()( 22),( jilijxy向正方向的单位向量，求 。)1,(lz4.将 展开成 的幂级数，并求它的收敛域。232xx5.设 ，试将积分 用欧拉积分表示，并根据 函数的babandx1)( 余元公式 ， 算出以上积分的值。)sin()1(xx04、 （本题 5 小题，每小题 12 分，满分 60 分）1.设函数 ，求 在平面闭区域 上的最大值与xyu6),(),(u13)(2yx最小值。2.计算积分 ，其中 是球面L dzyzd)()()(222 L与平面 的交线， 的方向与 轴正向成右手系。22azyx0zyxLz3.（1）试构造一个齐次的二阶线性微分方程 ，使它以 ，0)(yxqpyx为基本