高三数学第二轮复习教案

高三数学第二轮复习教案第 5 讲 解析几何问题的题型与方法（二）七、强化训练1、已知 P 是以 、 为焦点的椭圆 上一点，若 ，则椭圆的离1F2 )0(12bayx 021PF21tanF心率为 （ ） （A） （B） （C） （D） 233352、已知ABC 的顶点 A（3，1） ，AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+10y59=0，B 的平分线所在直线的方程为：x4y+10=0 ，求边 BC 所在直线的方程。3、求直线 l2：7x y+4=0 到 l1：x+y2=0 的角平分线的方程。4、已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示。现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合，制成 100kg 的混合物.如果这 100kg 的混合物中至少含维生素A44 000 单位与维生素 B48 000 单位，那么 x，y，z 为何值时，混合物的成本最小？5、某人有楼房一幢，室内面积共 180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元；小房间每间面积为 15 m2，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元.装修大房间每间需 1000元，装修小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？6、已知ABC 三边所在直线方程 AB：x6=0，BC：x2y8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。7、已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为 ，求点 A314的坐标。8、已知椭圆 （ab0）上两点 A、B，直线 上有两点 C、D，且 ABCD 是正方形。此正方形12yx kxyl:外接圆为 x2+y22y 8=0 ，求椭圆方程和直线 的方程。l9、求以直线 为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴 MN 端点的轨迹方程。:l食物 P 食物 Q 食物 R维生素 A（单位/k g） 400 600 400维生素 B（单位/k g） 800 200 400成本（元/kg） 6 5 410、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。1211、已知直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 上。1xy )0(12bayx 02:yxl（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程。l 42yx12、设 A（x 1，y 1）为椭圆 x2+2y2=2 上任意一点，过点 A 作一条直线 ，斜率为 ，又设 d 为原点到直线 的距离，l12yxlr1、r 2 分别为点 A 到椭圆两焦点的距离。求证： 为定值。dr2113、 某工程要将直线公路 l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和 B，沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处，PA=100m，PB=150m，APB=60 ，试说明怎样运土石最省工？14、已知椭圆 （ab0） ，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，F 1、F 2 为椭圆的两个焦点， （1）若12yx， ，求证：离心率 ；（2）若 ，求证： 的面积为 。21FP21 cose 21P21PFtan2b15、在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC= 。DO AB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在2E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设 ，M试确定实数 的取值范围。16、 （2004 年北京春季高考） 已知点 A（2，8） ， 在抛物线 上， 的重心与BxyCxy()()12， ， ， ypx2ABC此抛物线的焦点 F 重合（如图） 。yBOAFMxC（I）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标；（II）求线段 BC 中点 M 的坐标；（III）求 BC 所在直线的方程。八、参考答案1、解：设 c 为为椭圆半焦距， 021PF 21PF又 21tan21)(2221PFac解得： 3595)(2aceac选（D） 。说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。0ba2、解：设 B（a， b） ，B 在直线 BT 上，a4b+10=0 又 AB 中点 在直线 CM 上，21,3M点 M 的坐标满足方程 6x+10y59=0 059126ba解、组成的方程组可得 a=10，b=5 B（10， 5） ，又由角平分线的定义可知，直线 BC 到 BT 的角等于直线 BT 到直线 BA 的角，又 76ABk41T BTABCTk1 ，92kBC 所在直线的方程为 即 2x+9y65=0。)10(95y3、解法一：设 l2 到 l1 角平分线 l 的斜率为 k，k 1=1，k 2=7。 ，解之得 k=3 或 ，由图形可知 k0，k171k=3，又由 解得 l1 与 l2 的交点 ，042yx 49,Q由点斜式得 即 6x+2y3=0。39解法二：设 l2 到 l1 的角为 ，则 ，所以角 为锐角，而 ，由二倍角公式可知3412ktg 21 或 为锐角，3421tgtt ，kt71k=3 等同解法一。解法三：设 l：（x +y2）+ （7xy+4）=0 即（1+7 ）x+（1）y+（42）=0。 ，由解法一知 ，1713k ，代入化简即得：6x+2y3=0。5解法四：用点到直线的距离公式，设 l 上任一点 P（x， y） ，则 P 到 l1 与 l2 的距离相等。 整理得：6x+2y3=0 与 x3y+7=0，又 l 是 l2 到 l1 的角的平分线，50|47|2| yxk0，x3y+7=0 不合题意所以所求直线 l 的方程为 6x+2y3=0。4、分析：由 x+y+z=100，得 z=100xy，所以上述问题可以看作只含 x，y 两个变量.设混合物的成本为 k 元，那么k=6x+5y+4（100 xy）=2x +y+400，于是问题就归结为求 k 在已知条件下的线性规划问题。解：已知条件可归结为下列不等式组：。480)10(4280640yxyxx即 。402yx在平面直角坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域，这个区域是直线 x+y=100，y=20，2xy=40 围成的一个三角形区域 EFG（包括边界） ，即可行域，如图所示的阴影部分。设混合物的成本为 k 元，那么 k=6x+5y+4（100x y）=2x+y+400。作直线 ：2x+y =0，把直线 向右上方平移至 位置时，直线经过可行域上的点 E，且与原点的距离最小，此时 2x+y 的0l0l1l值最小，从而 k 的值最小。由 得 204y203yx即点 E 的坐标是（30，20） 。所以， =230+20+400=480（元） ，此时 z=1003020=50。最 小 值k答：取 x=30，y =20，z=50 时，混合物的成本最小，最小值是 480 元。5、解：设隔出大房间 x 间，小房间 y 间时收益为 z 元，则 x、y 满足。，x，yN ，8061015x图 4且 z=200x+150y。所以 ，x，y N ，40356作出可行域及直线 ：200x+150y=0，即 4x+3y=0。 （如图 4） 。l把直线 向上平移至 的位置时，直线经过可行域上的点 B，且与原点距离最大.此时，z=200x+150y 取最大值.但解0l1l6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B（ ， ） 。由于点 B 的坐标不是整数，而 x，yN，所以可行域内的点 B 不7206是最优解。为求出最优解，同样必须进行定量分析。因为 4 +3 = 37.1，但该方程的非负整数解（1，11） 、 （4，7） 、 （7，3）均不在可行域内，所以应取7206704x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时 z 取最大值 1800 元. 。6、解：解方程组可得 A（6， 3） 、B（6，1） 、C（4，2）设方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：024)1(32FED解之得：D= ，E=4，F=30 。所以所求的ABC 的外接圆方程为： 。03421yx7、分析：若直线 y=kx+b 与圆锥曲线 f（x ，y）=0 相交于两点 P（x 1，y 1） 、Q （x 2、y 2） ，则弦 PQ 的长度的计算公式为，而。|1|1| 2221kxkPQ，因此只要把直线 y=kx+b 的方程代入圆锥曲线 f（x，y）=0 方程，消去 y（或 x） ，结2121214)(|x合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设 A（x 0，0） （x 00） ，则直线 的方程为 y=xx 0，设直线 与椭圆相交于 P（x 1，y 1） ，Q（x 2、y 2） ，由 l l，可得 3x24x 0x+2x0212=0， 12y， ，则3021x31201 2020212121 3648964)(| xxx ，即|134212x 20362314xx 02=4，又 x00，x 0=2，A （2，0）8、解：圆方程 x2+y22y 8=0 即 x2+（y 1） 2=9 的圆心 O（0，1） ，半径 r=3。设正方形的边长为 p，则 ，r2 ，23p又 O是正方形 ABCD 的中心，O到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长 p 的一半即 ，由点到直线的距离公式可知 k=2 或 k=4。23（1）设 由 4:2xyCDAB082yx得 A（3，1）B（0，2） ，又点 A、B 在椭圆 上，12baa 2=12，b 2=4，椭圆的方程为 。142yx（2）设 AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4） ， （3，1）代入椭圆方程得 ，此时 b2a 2（舍去） 。16,5822b a综上所述，直线 方程为 y=x+4，椭圆方程为 。l 14yx9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率 e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合 a、b、c 的几何意义即可。解：设 M（x，y ） ，过 M 作 于 A， ， ，l2|yxO2|xMA ，ex2又过 M 作 轴于 O，因为点 M 为短轴端点，则 O必为椭圆中心，x ， ，cO| 2| yxa ，2yxae 化简得 y2=2x，22x短轴端点的轨迹方程为 y2=2x（x 0） 。10、解：若椭圆的焦点在 x 轴上，如图，四边形 B1F1B2F2 是正方形，且 A1F1= ，由椭圆的几何意义可知，2解之得： ，此时椭圆的方程为 ，同理焦点也可以在 y 轴上，综上所述，椭圆的方21bca1,2b a yx程为 或 。2yx2x11、解：（1）设 A、B 两点的坐标分别为 得1).,(),( 221byaxyxBA则则， 02)( 22 baxba根据韦达定理，得 ,2)(,212121 baxybax 线段 AB 的中点坐标为（ ） 22,ba由已知得 22222 )(,0cacbaba 故椭圆的离心率为 。e（2）由（1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为,cb),0(bF)0,(bF02:yxl,2120),( 000 yxxy且则解得 b54300且由已知得 4,)(, 22220 byx故所求的椭圆方程为 148212、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数 e（0e1）的点的轨迹是椭圆，椭圆 上任一点 P（ x1，y 1）到左焦点 F1 的距离 |PF1|=a+ex1，到右焦点 F2 的距离|PF 2|=aex 1；同理椭圆12byax上任一点 P（x 1，y 1）到两焦点的距离分别为 a+ey1 和 aey 1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在2椭圆中有着广泛的运用。解：由椭圆方程 可知 a2=2，b 2=1 则 c=1，2yx离心率 ，e由焦半径公式可知， 。21211121)( xeaxear 又直线 的方程为：l即 x1x+2y1y2=0，)(211yxy由点到直线的距离公式知， ，214yxd又点（x 1，y 1）在椭圆上，2y 12=2=x12， ，21212121 4)(4xxyxd 为定值。42121 xr13、解：以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为 M，则。|MA|+|AP|=|MB|+|BP|，即 |MA|MB|=|BP|AP|=50，750|ABM 在双曲线 的右支上。162yx故曲线右侧的土