金融数学引论北大版答案

第四章习题答案1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2年底的未结贷款余额。解： 设每个季度还款额是R ，有Ra(4)5p6% = 1000解得R ，代入 B2 的表达式B2 = Ra(4)3p6%= 635.32 元2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解：n =100002000= 5B5 = 10000 (1 + i)n 2000snp12% = 4917.72 元3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。解： 以季度为时间单位， i = 2.5% 。B0 = B1 v + 1500a4pi = 16514.4 元4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。解： 对现金流重新划分，有B7 = 2000a 8p + 1000a 3p北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。解： 设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有5000 = Ra3p4% L = Ra7p4% 整理得：L = 5000 a 7pa 3p= 10814.16 元6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+ i)4 = 2 ，计算第4 次还款后的未结贷款余额。解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有20000 = R a12pi L = R a8pi 把(1 + i)4 = 2 代入整理得：L = 5000 1 (1 + i)81 (1 + i)12= 17142.86 元7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20年内还清。计算调整后的每次还款额。解： 设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较日，有20000 = Ra2 0pXa1 3p v2 = Ra1 5p整理得：X = 20000 a15p a2 0p (1 + i)2a1 3p8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明：K =a2 0p a1 5pa2 5p a 5p L证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有L = Ra2 5pKs 5p (1 + i)10 = Ra 5p整理即得。9 设 Bt 表示未结贷款余额，证明：(1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (Bt+1 Bt+2)2;(2) Bt + Bt+3 L2Bk1 = Rank+ 1p 1故K = n + 1 ln(vn + 1) ln 2ln v + 1其中x 表示取整函数。21 设有年利率2.5%的15000 元贷款，每年偿还1000 元。计算第几次还款中本金部分最接近利息部分的4 倍解： 设第k 次还款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法Bk1 = L(1 + i)k1 Rsk 1p Ik = iBk1 = iL(1 + i)k1 R(1 + i)k1 1Pk = R Ik = R(1 + i)k1 iL(1 + i)k1再由 Pk = 4Ik 得 k 11。22 某贷款在每年的2 月1 日等额还贷。已知1989 年2 月1 日的还款中利息为103.00 元，1990 年2 月1 日的还款中利息为98.00 元，年利率8% 。计算：(1)1990 年还款中的本金部份；(2) 最后一次不足额还款的日期和金额。解： (1) 设 In, Pn 为别为n 年的利息部分和本金部分，I1990 = I1989 iP1989 P1989 = 62.5又 I1989 + P1989 = I1990 + P1990 P1990 = 67.5(2) 利用递推公式容易求得2000 年2 月1 日还款后未结贷款余额为101.43 元，已经小于165.5 元。同时易得 B1989 = 1225 。设最后一次还款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足1225 = 165.51 v11+ti t = 0.653故最后一次还款时间为2000 年9 月24 日，金额为165 .5 1.08t10.08 = 106.67元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一年的等价时间偿还的方法。与原答案有出入23 某贷款通过2 n 次偿还。在第n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额的3/4 ，计算下一次还款中利息部份的比例。解： 由题意得34L = Ranpi L = Ra2npi vn =13而 In+1 = R(1 vn)，故利息部分所占的比例是23。24 某银行提供月利率1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清，只需对当时余额多付出K% 。如果某人在第5 年底找到另一家银行提供月利率0.75% 的10 年贷款，对这个借款人来说K 的最大可接受值为多少？解： K 最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。a120p0.75% = (1 + K%)a120p1% K = 13.258%25 现有10000 元贷款利率10% 。已知借款人以8% 累积偿债基金，第10 年底的偿债基金余额为5000 元，第11 年的还款金额为1500 元。计算：(1) 1500 元中的利息量；(2) 1500 元中的偿债基金存款；(3) 1500 元中偿还当年利息的部分；(4) 1500 元中的本金量；(5) 第11 年底的偿债基金余额。解： (1) I11 = 10000 10% = 1000 元；(2) 偿债基金存款额为1500 1000 = 500 元；(3) 也即是计算净利息: 1000 5000 8% = 600 元；(4) 本金量1500 600 = 900 元；(5) 11 年底的偿债基金余额5000 (1 + 8%) + 500 = 5900 元。26 证明： anpi&j =snpj 1 + isnpj 。证： 利用L = Ranpi&j L = (R iL)snpj 消去R可得(Lanpi&j iL)snpj = L再适当变形便可得结论。27 现有利率为9%的10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以利率7%向偿债基金存款K 。如果在第10 年底偿债基金的余额恰足以偿还贷款。计算K。解： 由题意得Ks10p7% = 104 K = 676.4328 现有10 年期贷款年利率5%，每年底还贷1000 元。贷款的一半按摊还方式进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。解： 设贷款额为X ，有X/2 = R1a10p5% X/2 = R2anp5%&4% 1000 = R1 + R2整理得到X2(1a10p5% +1anp5%&4% ) = 1000X = 7610.48 元29 为期10 年的12000 元贷款，每半年还款1000 元。已知前5 年以 i(2) = 12%计息，后5 年以 i(2) = 10% 计息。每次还款除利息