概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

2010-2011 学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设 X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称 X 为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：（1 ）两点分布（0-1 分布）：若一个随机变量 X 只有两个可能取值，且其分布为，2,1(01)Pxpxp则称 X 服从 处参数为 p 的两点分布。1两点分布的概率分布： 12,1(01)PxPXxp两点分布的期望： ；两点分布的方差：()EX()D（2 ）二项分布：若一个随机变量 X 的概率分布由式 (1),0,1.knknPxCpn给出，则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布。记为 Xb(n,p)(或 B(n,p).两点分布的概率分布： (),0,1.knknPxCpn二项分布的期望： ；二项分布的方差：()E()()DXp（3 ）泊松分布：若一个随机变量 X 的概率分布为 ，则称 X 服从,0,12.!kPXe参数为 的泊松分布，记为 XP ( )泊松分布的概率分布：,0,12.!kPe泊松分布的期望： ；泊松分布的方差：()EX()DX4.连续型随机变量：如果对随机变量 X 的分布函数 F(x)，存在非负可积函数 ，使得对于任意实数 ，有()fxx，则称 X 为连续型随机变量，称 为 X 的概率密度函数，()()xFxPftd f简称为概率密度函数。2010-2011 学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1 ）均匀分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为 ，则称 X 在区间（a,b）上其 它,01)(bxabxf服从均匀分布，记为 XU(a,b)均匀分布的概率密度： 其 它,01)(abxf均匀分布的期望： ；均匀分布的方差：()2EX2()1baDX（2 ）指数分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为 ，则称 X 服从参数0()0xef为 的指数分布，记为 Xe ( )指数分布的概率密度： 0xef 指数分布的期望： ；指数分布的方差：1()EX21()DX（3 ）正态分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为 2()()xfxex则称 X 服从参数为 和 的正态分布，记为 XN( , )22正态分布的概率密度：2()1()xfxex正态分布的期望： ；正态分布的方差：E2()DX（4 ）标准正态分布： ，20,12 211()()x txxeed标准正态分布表的使用：（1 ） 0()()xx2010-2011 学年第一学期期末复习资料（2 ）(0,1)()XNPaxbaxbPaxb（3 ） 故2(,)0,1XYN()XxFxP()()abaPaXb定理 1： 设 XN( , ),则20,16.随机变量的分布函数：设 X 是一个随机变量，称 为 X 的分布函数。()FxPx分布函数的重要性质： 12212110()()()(),0FxPXxxFx7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布（1 ）由 X 的概率分布导出 Y 的概率分布步骤：根据 X 写出 Y 的所有可能取值；对 Y 的每一个可能取值 确定相应的概率取值；iy常用表格的形式把 Y 的概率分布写出（2 ）由 X 的概率密度函数（分布函数）求 Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤：由 X 的概率密度函数 随机变量函数 Y=g(X)的分布函数()Xfx()YFy由 求导可得 Y 的概率密度函数()YFy（3 ）对单调函数，计算 Y=g(X)的概率密度简单方法：定理 1 设随机变量 X 具有概率密度 ，又设 y=g(x)处处可导且恒()(,)Xfx有 （或恒有 ） ，则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为()0gx()0gx；其中 是 y=g(x)的反函数，且|,Yfhyyf ()xhymin(),(),ma,)gg练习题：2.4 第 7、13 、 142010-2011 学年第一学期期末复习资料总习题 第 3、6、9 、10、11、13、14 、17、18、19第三章重要知识点：1.离散型二维随机变量 X 与 Y 的联合概率分布表：YX 1y2y jy iPXx1xp1 1jp 1jp2212 2j 2jj.ix1ip2i ijp ijp.jPYy1ip2i ijp 1（1 ）要会由 X 与 Y 的联合概率分布，求出 X 与 Y 各自概率分布或反过来；类似 P63 例 2（2 ）要会在 X 与 Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似 P71 例 3（3 ）要会根据联合概率分布表求形如 的概率；,Pabcd（4 ）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2. 二维连续型随机变量 X 与 Y 的联合概率密度:设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数 f(x,y),使对任意实数（x,y） ，有 ，则称（X,Y）为二维连续型随机变(,)(,)yxFfstd量。(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数 F(x,y)，以及形如 等联合概PXY率值;P64 例 3(3) 要会根据联合概率密度求出 的边缘密度;类似 P64 例 4,xy(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：2010-2011 学年第一学期期末复习资料（1 ） ；（2）1ijip(,)1fxyd要会根据这些性质解类似 P68 第 5，6 题。4.常用的连续型二维随机变量分布二维均匀分布：设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A。若二维随机变量（X,Y ）具有概率密度函数 ，则称（X,Y）在 G 上服从均匀分布。1(,)(,)0Axyfxy5.独立性的判断：定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为 F(x,y),边缘分布函数为 ， ，若对()XFxYy任意实数 x,y，有 ,PXxYyPXxYy（1 ）离散型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；所有可能取值 ，有 ，(,)ijxy(,)()()ij ijxyxPy则 X 与 Y 相互独立。.ijijp（2 ）连续型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；联合概率密度 ，边缘密度 ，(,)fxy()XfxYfy有 几乎处处成立, 则 X 与 Y 相互独立。,xy()XYf(3)注意与第四章知识的结合X 与 Y 相互独立 ()()(),0XYEEDDCov因此 X 与 Y 不独立。()()()(,)0XYEECov6相互独立的两个重要定理定理 1 随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的任何事件与 Y 生成的任何事件独2010-2011 学年第一学期期末复习资料立，即，对任意实数集 A，B，有 ,PXAYBPXAB定理 2 如果随机变量 X 与 Y 独立，则对任意函数 ， 相互独立。1()gx2()y（1 ）要求会使用这两个定理解决计算问题练习题：习题 2-3 第 3、4 题 习题 2-4 第 2 题习题 3.2 第 5，7 ，8 题总习题三 第 4，9（1 ）-（4） ， 12,13第四、五章知识点设总体密度函数如下， 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。12,.nx(;,),0pxe（1 ） 002 22 222001() 11()xtttt ttEXdedet ede ，由此可推出 ，2()DEX(),()()DXEDX从而参数 ， 的矩估计值为,sx（2 ）似然函数为： (1)11()ep(,nniiLx其对数似然函数为： 1()ln(,)lnii由上式可以看出， 是 的单调增函数，要使其最大， 的取值应该尽可能的大，l,L由于限制 ，这给出的最大似然估计值为(1)x(1)x将 关于 求导并令其为 0 得到关于 的似然方程ln,L2010-2011 学年第一学期期末复习资料，解得12()ln(,)0niixdL1(1)()niixx第四章重要知识点：1.随机变量 X 数学期望的求法：（1 ）离散型 ；（2 ）连续型 1()iExp ()()EXxfd2.随机变量函数 g(X) 数学期望的求法：（1 ）离散型 ；（2 ）连续型 1()()iiXgx()()gxf3.二维随机向量期望的求法：（1 ）离散型 ；1(,)(,)ijijiEYxyp（2 ）连续型 ,gXgfdxy4.随机变量 X 方差的求法：（1 ）简明公式 222()()()(DEEX（2 ）离散型 21iiixp（3 ）连续型 2()()Xfxd5. 随机变量 X 协方差与相关系数的求法：（1 ）简明公式 (,)()()()()CovYEXYEXYE（2 ）离散型 ,ijijijxyp（3 ）连续型 (,)()(),vXfxyd（4 ） ()XYCoDY6.数学期望、方差、协方差重要的性质：(1) 1212()()EEX(2) 设 X 与 Y 相互独立，则 ()Y2010-2011 学年第一学期期末复习资料(3) ()()2()(),DXYDYEXYECov若 X 与 Y 相互独立，则 ()()(4) 2()C(5) 1212,(,)(,)ovovXYCv（6 ） ()abY若 X 与 Y 相互独立，则 (,)0v(7) 若（X,Y）服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立，当且仅当 0XY7. n 维正态分布的几个重要性质：（1 ） n 维正态变量（ ）的每个分量 （ ）都是正态变量，反12,.ni1,2.n之，若 都是正态变量，且相互独立，则（ ）是 n 维正态变量。12,.nX,.（2 ） n 维随机向量（ ）服从 n 维正态分布的充分必要条件是12,.nX的任意线性组合均服从一维正态分布 均服从一维正态1,. 12.nlXlX分布（其中 不全为零） 。12,.nl（3 ）若（ ）服从 n 维正态分布，设 是 的线性函,X12,.kY(1,2.)j数，则（ ）服从 k 维正态分布。12,.kY（4 ）设（ ）服从 n 维正态分布，则“ 相互独立”等价于“,n 12,.nX两两不相关”12,.nX练习题：1. 设（X,Y）的联合密度函数为 ，求 及24(1),0,(,)xyyxfxy(,)CovXYXY解： 11300()(,)24()2()5xExfydydxxd2010-2011 学年第一学期期末复习资料1122 24002()(,)24()()5xEXxfydydxxd3(5DEX同理 120()(,)24()5xYxfydydx2 31E又因 10()()1xXyyx从而 462, (57CovYEXY()27153XYD2. 习题 4.3 第 10 题8.中心极限定理（1 ）定理 4（棣莫佛拉普拉斯定理）设随机变量 相互独立，并且都服从参数为 的两点分布，则对任意实数 ，12,.,.nXpx有211lim()()n ti xipPedx（2 ）定理 3（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 相互独立，服从同一分布，且12,.,.nX则2(),()(1,.)iiEDi 211limn ti xinXPed练习题：习题 4-4 11 题 12 题 总习题四 24，25 ，26 题第五章重要知识点确定或求证统计量所服从的分布1.三大分布（1 ） 分布：设 是取自总体 N(0,1)的样本，称统计量212,.nX服从自由度为 n 的 分布。2.2（2 ） t 分布： 设 XN(0,1), ，且 X 与 Y 相互独立，则称 服从自由度为2()Y/XtYn2010-2011 学年第一学期期末复习资料n 的 t 分布。（3 ） F 分布：设 ，且 X 与 Y 相互独立，则称 服从自由22(),()XmYn /XmFYn度为（m,n ）的 F 分布。2.三大抽样分布（1 ）设总体 是取自 X 的一个样本， 为该样本的样本均值，212(,),.nN则有 ，2,/Xn(0,1)/UN（2 ）定理 2 设总体 ，是取自 X 的一个样本， 与 为该样212(,),.n 2S本的样本均值与样本方差，则有 ，2221()(1)niiSn与 相互独立X2S（3