2015届高三数学专题复习应用题

1 / 39高三数学专题复习应用题【考点概述】数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，三角是较为常见的模型，而立几，不等式，解几等模型也应在复习时引起重视。高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。【求解应用题的一般步骤】1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系 )2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。2 / 39【常见类型】类型一：函数应用题1.1 以分式函数为载体的函数应用题例 1. 工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为： （c 为10,623xp常数， 且 0c6）. 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元，每出现 1 件次品亏损 1.5 元.（1）将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率 100%)次 品 数产 品 总 数【解】 （1）若 cx0，则 )6(29362)(3xxxy ， 若 cx，则032)(3xxy， 0)(ycx0（2）当 0，则22 )6(93)6(1(9)49(x若 3c，则y，函数在 c,0上为增函数， )(,maxcyc若 6，在 ),0(上为增函数，在 )3(上为减函数，当 时， . 329ax3(fy综上，若 ，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最大；若 ，则当日产量为 3 万件时，c 6c日盈利额最大. 3 / 391.2 以分段函数为载体的函数应用题例 2. 在等边 中, =6cm，长为 1cm 的线段 两端点 都在边 上，且由点 向点ABCDE,AB运动（运动前点 与点 重合） ， ,点 在边 或边 上； ,点 在边 或BDFABCGEC边 上，设 . Cxcm（1）若 面积为 ,由 围成的平面图形面积为 ，分别求出AF1()Sfx,EGF2()Sgx函数 的表达式；(),fxg（2）若四边形 为矩形时 ，求当 时, 设 ，求函数 的取值范围 .DEG0x0x()fxg()Fx解：（1） 当 时，F 在边 AC 上， ， ；030tan63FDx23()f当 时， F 在边 BC 上， ,35x 0(6)t()x，()(6)2fx23,()(6),5fxx 当 时，F、G 都在边 AC 上， ，00tan3FD；3(1)Ex3(1)(322xgx当 时，F 在边 AC 上，G 在边 BC 上, , ；2F3(5)EGx53(2g当 时， F、G 都在边 BC 上, , 35x 3(6)Dx1x. 3,025(),213,5xgxx（2） 当 时， 05x2259(),()4xFFx4 / 39 当 时，35x22 2653(),()4011xxFF8(),045F的 取 值 范 围 为例 3将一张长 8cm，宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段) 将纸片分成两部分，面积分别为 S1cm2，S 2cm2，其中 S1S 2记折痕长为 lcm（1）若 l4，求 S1 的最大值；（2）若 S1S 212，求 l 的取值范围解 如图所示，不妨设纸片为长方形 ABCD，AB8cm，AD 6cm，其中点 A 在面积为 S1 的部分内折痕有下列三种情形：折痕的端点 M，N 分别在边 AB，AD 上；折痕的端点 M，N 分别在边 AB，CD 上；折痕的端点 M，N 分别在边 AD，BC 上（1）在情形、中 MN6，故当 l4 时，折痕必定是情形设 AMxcm， ANy cm，则 x2y 216 2 分因为 x2y 22xy，当且仅当 xy 时取等号，所以 S1 xy4，当且仅当 xy2 时取等号12 2即 S1 的最大值为 4 5 分（2）由题意知，长方形的面积为 S6848 因为 S1S 212，S 1S 2，所以 S116，S 232 当折痕是情形时，设 AMxcm ，ANycm ，则 xy16，即 y 12 32x由 得 x 8163所以 l ， x 8 8 分x2 y2163A BCD（情形）MNA BCD（情形）MNA BCD（情形）MN5 / 39设 f(x) x2 ， x 0， 则 f (x) 2x ， x 0 故322x2 2322x3x 163（ ， 4 ）163 2 4 2 （4 ， 8）2 8f (x) 0 f(x)6449 64 80所 以 f(x)的 取 值 范 围 为 64， 80， 从 而 l 的范围是8 ，4 ； 11 分5当折痕是情形时，设 AMxcm ，DNycm，则 (xy)616，即 y x 12 163由 得 0 x 163所以 l ，0 x 62 (x y)2163所 以 l 的范围为6， ； 13 分21453当折痕是情形时，设 BN xcm，AMycm ，则 (xy )816，即 y4x12由 得 0 x 40 x 6，0 4 x 6， )所以 l ，0 x 482 (x y)2 82 4(x 2)2所 以 l 的取值范围为8，4 5综上，l 的取值范围为6，4 16 分56 / 39例 4. 如图，长方体物体 在雨中沿面 （面积为 ）的垂直方向作匀速移动，速度为 v（v0） ，EPS雨速沿 移动方向的分速度为 ， 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1） 或EcREP的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 S 成正比，比例系数为 1；（2）其他面的P vc淋雨量之和，其值为 . 记 为 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 ，面积 S= .12y 0d3S（1）写出 的表达式；（2）设 0v10,0c5，试根据 的不同取值范围，确定移动速度 ，使总淋雨量 最少.cvy解：（）由题意知， 移动时单位时间内的淋雨量为 ，故E21|03cv)|(5)21|03(1cvy（）由（）知，当 时， ；cv0 15)0()13(5vvcy当 时， 13c故 .10,5)30(,vcvcy（1）当 时， 是关于 的减函数故当 时， 1y10v230mincy（2）当 时，在 上， 是关于 的减函数；在 上， 是关于 的增函530c,0(cy,(cv数故当 时， vymin7 / 39例 5. 如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是等腰梯形，其中 AB=1 米，高 0.5 米，CD=2a（a ）米上部 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点EMN 是由电脑控制其形状变12化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆（1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S（平方米）表示成关于 x的函数 ；Sfx（2）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积解：（1） （一） 时，由平面几何知识，得 102x 21xaMN ， 3 分()MNaSfx2()()4x（二） 时， ，21x211fa221()()ax 5 分2()(),0,)4)11,(,.2axxSf a（2） （一） 时， 02x Sfx41)x ， ， 1a10()2()aa2()a ，当 时， 2 0x41mxff ，当 时， 7 分1a)12(a )12()(2)(axaff（二） 时， x22()()Sfax221()()ax，22 211()()2x aCA BM ND Em mA BCD EM N（第 19 题）8 / 39等号成立 2211()()xax11(2)(,)2xa 时， 10 分当 mafA 时， ，12a 212()()4a 时当 ， ， 0x410maxff时，当 ， 12 分12a 1(2)2(fB 时， 0)1(43)(22 aa当 时， 14 分1()xmaxf综上， 时，当 时， ，即 MN 与 AB 之间的距离为 0 米时，2a 041)0()(maxff三角通风窗 EMN 的通风面积最大，最大面积为 平方米 时，当 时，2a1(2)xa， 即 与 之间的距离为 米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最2)(maxfMNAB1()2x大，最大面积为 平方米16 分19 / 391.3 以二次函数为载体的函数应用题例 6. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道 ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E 处，飞行的轨迹是一段抛物线 CDE（抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内） ，D 为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系， 轴在地面上，助跑道一端点 A(0，4) ，另一端点 C(3，1)，x点 B(2，0) ，单位：米（1）求助跑道所在的抛物线方程；（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间（包括 4 米和 6 米） ，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值 ）24yO xEDCBA【解】 （1）设助跑道所在的抛物线方程为 ，200()faxbc依题意： 解得， ， ， ，004,2,931cab01040助跑道所在的抛物线方程为 2()fx（2）设飞行轨迹所在抛物线为 （ ） ，gabxc0a依题意： 得 解得(3),f931,6226,95 ，2 21()()5()agxaxax令 得， ， ， ，1231032a当 时， 有最大值为 ，则运动员的飞行距离 ， 3xa()gxa3da飞行过程中距离平台最大高度 ，依题意， ，得 ，1h4612即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间10 / 39例 7. 某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 x (x )名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 万元N 3105xa(a0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？【解】 （1）由题意