数学模型第二章习题答案

第一章作业解答第 1 页 共 23 页第二章(2)（2008 年 10 月 9 日）15速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车vs获得的功率 与 、S、 的关系.P解: 设 、 、S、 的关系为 ， 其量纲表达式为:0),(vPfP= , = , = , = ,这里 是基本量纲.32TMLv1s2L3MTL,量纲矩阵为：A= ()()(013svPT齐次线性方程组为： 03322144y它的基本解为 ),(y由量纲 定理得 ， ， 其中 是无量纲常数.iP13sv 13svP16雨滴的速度 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 有关，其中粘滞系数的定义vg是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 的表达式.解：设 , , , 的关系为 , , , =0.其量纲表达式为 =LM0T-1， =L-g(fvg)v3MT0， =MLT-2（LT -1L-1） -1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1， =LM0T-2,其中 L，M，T 是基本量纲.量纲矩阵为 A= )()()(2103gvT齐次线性方程组 Ay=0 ，即 02y- - 3 431第一章作业解答第 2 页 共 23 页的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲 定理 得 . ，其中 是无量纲常数.iPgv133gv16 雨滴的速度 与空气密度 、粘滞系数 、特征尺寸 和重力加速度 有关，其中* g粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 的表达式.v解：设 , , , ， 的关系为 .其量纲表达式为vg0),(gf =LM0T-1， =L-3MT0， =MLT-2（LT -1L-1） -1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1， =LM0T0 ，=LM0T-2g其中 L，M，T 是基本量纲.量纲矩阵为A= )()()()(21013gvTML齐次线性方程组 Ay=0 即 02354121yy的基本解为 )21,3,0(21y得到两个相互独立的无量纲量 2/12/31gv即 . 由 , 得 122/1/31,gv 0),(21)(121, 其中 是未定函数. (/320.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.第一章作业解答第 3 页 共 23 页解：设阻尼摆周期 ,摆长 , 质量 ,重力加速度 ，阻力系数 的关系为tlmgk0),(kltf其量纲表达式为： 12120000 )(, LTMvfTLMgTLMlt， 其中 ， ， 是基本量纲.1TL量纲矩阵为 A= )()()(1201kgmltT齐次线性方程组 025413y的基本解为 )1,2,0(21Y得到两个相互独立的无量纲量 , , glt1)(22/1mgkl ，其中 是未定函数 .)(2/1mklt考虑物理模拟的比例模型，设 和 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为gk, ； , ; , . 又 tl )(2/1lt当无量纲量 时， 就有 .lm lglt数学模型作业解答2/12/1lgt第一章作业解答第 4 页 共 23 页第三章 1（2008 年 10 月 14 日）2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ，kr在每个生产周期内，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来rk0Tt的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为)(0Tt)(g，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论1c2c和 的情况.rk解：由题意可得贮存量 的图形如下：)(tg贮存费为 ni Tit Trkcdtgctgc1 020202 )()()(lm又 )(0rTk, 贮存费变为 0 krc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrcTkrcTC)(2)()( 211.d)(21, 得0T令 )(21rkc易得函数 取得最小值，即最优周期为： 处在 C)( )(21rkcTrktrg0O第一章作业解答第 5 页 共 23 页. 相当于不考虑生产的情况.rc，Trk21时当. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.时当第三章 2（2008 年 10 月 16 日）3在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，b试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如bb下假设: ，1)(bk分母 而加的.时是 防 止中 的 0总费用函数 xcbkxtcbkxtctxC3122121 )()( 最优解为 c)(2(315在考虑最优价格问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设q， .又设单位时间的销售量为 .今将销售tqt0)(为 增 长 率 )(为 价 格pbax期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，tT2和 21,21,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T 内的总售量为 ，再求 的最优值.0Q解：按分段价格，单位时间内的销售量为Ttbpax2,01又 .于是总利润为tqt0)(20 22111 )()(),(T Tdtbpatqpdtbatpp= 2)(02)( 0201 Ttttqtba 第一章作业解答第 6 页 共 23 页= )832)()82)( 202201 TtqpbaTqpba )()( 1011)(2)832( 202 bpaTtqTpb, 得到最优价格为:,021令 )43(201Tqbap在销售期 T 内的总销量为202 2121 )()()(T pbaTdtbpdtbpaQ于是得到如下极值问题： )832)()82)(),(max 20220121 Ttqbpaqbpap ts. 021QT利用拉格朗日乘数法，解得： 8021Tbap即为 的最优值.21,p第三章 3（2008 年 10 月 21 日）6. 某厂每天需要角钢 100 吨，不允许缺货.目前每 30 天定购一次，每次定购的费用为2500 元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18 元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？第一章作业解答第 7 页 共 23 页解：已知：每天角钢的需要量 r=100(吨);每次订货费 2500（元）;1c每天每吨角钢的贮存费 0.18（元）.又现在的订货周期 T 30（天）2c 0根据不允许缺货的贮存模型： krcTC21)(得： kTC0925)(令 ， 解得：0dT35092*T由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小.*又 300100kkC1035023)(*=35333100kT950 （353.33100k）（300100k） 5333.)()* 32故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为 T = ，能节约费用约 5333 元.*50数学模型作业解答第四章（2008 年 10 月 28 日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料 1 千克, 原料 5 千克；一件乙产品AB用 原料 2 千克, 原料 4 千克.现有 原料 20 千克, 原料 70 千克.甲、乙产品每件AB售价分别为 20 元和 30 元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件，相应的利润为 S则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. Zyx,0,7452这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y70 1l2l2d第一章作业解答第 8 页 共 23 页y 2l以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域. 直线 ：20x+30y=c 在可行域内 l l平行移动.易知：当 过 与 的交点时， xl12l 1lS 取最大值. 由 解得7045yx510yx此时 20 350（元）maS312. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱） 重量（百斤/箱） 利润（百元/箱）甲 5 2 20乙 4 5 10已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24 立方米，重量不超过 13 百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为1x2z.210 maxxzZyxst,0,352412这是一个整线性规划问题.用图解法求解. 可行域为：由直线 245:1xl及 组成直线 在此凸四边形区域内32 0,21xcxl210:平行移动. 2ll 1x1lx第一章作业解答第 9 页 共 23 页易知：当 过 与 的交点时， 取最大值l1l2z由 解得 352421x142x. 9010maz3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3 和 2 个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为 2 和 3个单位,所需工时分别为 4 和 2 个单位.若允许使用原料为 100 个单位,工时为 120 个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于 6 台和 12 台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉 件,乙型微波炉 件,相应的利润为 S.xy则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. Zyxx,12,6043这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线 ：2x+3y=100, :4x+2y120 1l2l及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域. 直线 ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动 . 易知：当 过 与 的交点时, Sl l12l取最大值. 由 解得 12043yx第一章作业解答第 10 页 共 23 页.20yx3 100.maxS数学模型作业解答第五章 1（2008 年 11 月 12 日）1.对于 5.1 节传染病的 模型，证明：SIR（1）若 ，然后减少并趋于零； 单调减处 最 大先 增 加 ， 在则 )(,10 stis )(ts