振动力学课件

,振动力学,教学内容,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,2,教学内容,绪论单自由度系统自由振动单自由度系统受迫振动多自由度系统的振动振动问题的近似解法连续体系统的振动,绪论 绪论 基本概念与学习目的 振动问题的提法 力学模型 振动及系统分类,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,3,定义从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小 的反复变化，就可以称这种运动为振动如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移、 速度，加速度、应力及应变等等，这种振动便称为机械振动振动是自然界最普遍的现象之一 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动（1）心脏的搏动、耳膜和声带的振动，（2）桥梁和建筑物 在风和地震作用下的振动，（3）飞机和轮船航行中的振动,，2（006年4）5月4机日 床和刀具在加工时的振动中国力学学会学术大会2005,4,基本概念与学习目的,绪论,各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,5,力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理 论来处理各种振动问题振动力学借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明 振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，位合理解决各种振动问题提供理论依据,绪论, 学习目的许多情况下，振动是有害的 它常常是造成机械和结构破坏和失效的直接原因,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,6,例如：1940年美国的Tacoma Narrows吊桥 1972年日本海南电厂的一台66万千瓦的气轮发电机组 美国第一颗人造卫星“探险者I号” ，“国际通讯卫星V号”振动会影响精密仪器的功能，降低加工精度，加剧构件疲劳和磨损 桥梁因振动而倒塌，飞机机翼的颤振、机轮的抖振而造成事故 强烈的振动噪声而形成严重公害,绪论,学习振动力学的目的之一：,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,7,掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振 动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害 影响,绪论,振动也有它积极的一方面，是可以利用的例如：振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础 工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送以及地震仪等学习振动力学的目的之二：运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪器 及自动化装置,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,8, 学习目的,绪论,绪论 绪论 基本概念与学习目的 振动问题的提法 力学模型 振动及系统分类,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,9,振动问题的提法,系统,（输入）,激励,（输出）,响应,通常的研究对象被称作系统它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等外部激振力等因素称为激励（输入） 系统发生的振动称为响应（输出）,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,10,绪论,振动问题按这三个环节可分为三类问题第一类：已知激励和系统，求响应 第二类：已知激励和响应，求系统 第三类：已知系统和响应，求激励,系统,（输入）,激励,（输出）,响应,绪论,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,11,第一类：已知激励和系统，求响应,动力响应分析 主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符 合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过 程就是所谓的振动设计,正问题,系统,（输入）,激励,（输出）,响应,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,12, ,?,绪论,第二类：已知激励和响应，求系统,系统识别，系统辨识求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和 阻尼系数等）和系统关于振动的构有特性（如固有频率、主振 型等）的认识以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识，以估计系统振动,第一个逆问题,系统,（输入）,激励,（输出）,响应,固有特性为任务的叫做模态参数辨识或试验模态分析2006年5月4日中国力学学会学术大会2005,13,?,绪论,第三类：已知系统和响应，求激励,环境预测例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车 记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振 动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根 据地为产品设计可靠的减震包装,第二个逆问题,系统,（输入）,激励,（输出）,响应, ,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,14,?,?,绪论,绪论 绪论 基本概念与学习目的 振动问题的提法 力学模型 振动及系统分类,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,15, 力学模型,2006年5月4日,数学工具：常微分方程,16,中国力学学会学术大会2005,振动系统三要素：质量，刚度，阻尼质量是感受惯性（包括转动惯量）的元件，刚度是感受弹性的元件， 阻尼是耗能元件描述振动系统的两类力学模型：（1）连续系统模型（无限多自由度系统，分布参数系统） 结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布 数学工具：偏微分方程,（多自由度系统 ，单自由度系统）,（2）离散系统模型,结构参数为集中参量,绪论,绪论 绪论 基本概念与学习目的 振动问题的提法 力学模型 振动及系统分类,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,17, 振动及系统分类,按运动微分方程的形式可分为：,描述其运动的方程为线性微分方程，相应的系 统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是 线性叠加原理成立,描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的 非线性振动 需要称为非线性系统。对于非线性振动，线性叠加原理不成立,线性振动,绪论,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,18, 振动及系统分类,按激励的有无和性质，振动可以分为：,固有振动,自由振动,强迫振动 系统在外部激励作用下所做的振动,2006年5月4日秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式,19,中国力学学会学出术现大，会2而00摆5,长的变化由人体的下蹲及站立造成,随机振动 系统在非确定性的随机激励下所作的振动。例如行驶在公路,自激振动 系统受其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动。,例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等参数振动 激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。例如,无激励时系统所有可能的运动集合（不是现实的振动，仅反 映系统关于振动的固有属性）,激励消失后系统所作的振动（现实的振动）,上的汽车的振动,绪论,主要参考文献,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,20,Thomson, W. T. , Theory of Vibration with Applications, Prentice - Hall, 1972Merovitch, L., Elements of Vibration Analysis, Mc Graw - Hill, 1975Timoshenko, S., Vibration Problems in Engineering, 4ed, John Wiley & Sons, 1974Tse, Francis S., Mechanical Vibration Theory and Applications, 1978倪振华，振动力学，西安交通大学出版社，1994方同，薛璞，振动理论及应用，西北工业大学出版社，1998季文美，机械振动学，科学出版社， 1985,主要参考文献,要求: 预习：每次上课前进行预习 作业：认真和独立完成作业 实验：认真完成实验报告,2006年5月4日 中国力学学会学术大会2005,21,要求,单自由度系统自由振动,教学内容,2006年5月4日振动力学,2,单自由度系统自由振动,无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼, 无阻尼自由振动,令 x 为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，为静变形。,当系统受到初始扰动时，由牛顿第二 定律，得：m&x& mg k ( x),mg k,在静平衡位置：,固有振动或自由振动微分方程 ：m&x& kx 0,单自由度系统自由振动, 0,m,x,静平衡位置,弹簧原长位置,k, 0,静平衡位置,弹簧原长位置,m,k,2006年5月4日振动力学,3,x,固有振动或自由振动微分方程 ：,m&x& kx 0,令 ：,k m,0,单位：弧度/秒（rad/s）,&x& 0x 0,2,则有 ：,通解 ： x(t) c1 cos(0t) c2 sin(0t) Asin(0t )c1 , c2： 任意常数，由初始条件决定,2,c1 c2,2,振幅 ： A ,2006年5月4日振动力学,4,2, tg 1 c1,c,初相位 ：,固有频率,单自由度系统自由振动,5,m&x& kx 0,k m,0,&x& 0x 0,2,2,A c1 c2,2,2, tg 1 c1,c,x(t) c1 cos(0t) c2 sin(0t) Asin(0t ),单自由度系统自由振动,x,t,0,A, 0,T 2 / 0,2006年5月4日振动力学,m&x& kx 0,k m,0,&x& 0x 0,2,2,A c1 c2,2,2,2006年5月4日振动力学,6, tg 1 c1,c,0：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如 何进行振动的方式都毫无关系A,：不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到 过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关,x(t) c1 cos(0t) c2 sin(0t) Asin(0t ),单自由度系统自由振动,x&( ) x&,c1 b1 cos(0 ) b2 sin(0 )c2 b1 sin(0 ) b2 cos(0 )x(t) b1 cos0 (t ) b2 sin 0 (t ),令 ：,b1 x,有 ：,单自由度系统自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动x(t) c1 cos(0t) c2 sin(0t) Asin(0t ),0,2006年5月4日振动力学,7,设 t ,的初始位移和初始速度为：,x( ) x,2,bx&, 时刻以后的自由振动解为：,xt x cos0 t ,sin t ,x,0,0,&,0 ,0,x&,零时刻的初始条件：x(0) x0零初始条件下的自由振动：x&0,2006年5月4日振动力学,8,x&(0) x0,2, x&0 ,2,A x0, , tg 1 x00,sin(0t) Asin(0t ),x(t) x0 cos(0t) ,0,单自由度系统自由振动,x(t) x0 cos(0t) sin(0t) Asin(0t ),0,零初始条件下的自由振动：x&0,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0为振动频率的简谐振动，并且永无休止,初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能,单自由度系统自由振动,x,t,0,A, 0,T 2 / 0,x 0,2006年5月4日振动力学,9,x(t) x0 cos(0t) sin(0t) Asin(0t ),0,零初始条件下的自由振动：x&0,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0为振动频率的简谐振动，并且永无休止,单自由度系统自由振动,初始条件：x0 2,x&0 0固有频率从左到右：0 ,20 ,30,时间,位置,2006年5月4日振动力学,10,单自由度系统自由振动固有频率计算的另一种方式：,m&x& kx 0,k m,0 ,mg k,在静平衡位置：,kg,m,0,则有：,对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该 式计算是较为方便的, 0,m,x,静平衡位置,弹簧原长位置,k,2006年5月4日振动力学,11,例： 提升机系统,重物重 量,W 1.47 105 N,钢丝绳的弹簧刚度,k 5.78 104 N / cm,重物以 v 15m / min的速度均匀下降W求： 绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。,单自由度系统自由振动,v,2006年5月4日振动力学,12,解：振动频率,gk 19.6rad / s,0,则 t=0 时，有： x0振动解：, 0,重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置, v,x&0,(cm),x(t) sin( t) 1.28sin(19.6t)0,0,v,x&0,单自由度系统自由振动,W,静平衡位置,k,x,W,v,x(t) x0 cos(0t) ,sin(0t),2006年5月4日振动力学,13,0,(cm),x(t) sin( t) 1.28sin(19.6t)0,0,振动解：v, 2.21105 (N ), Ts kA W kA 1.47 105 0.74 105,Tmax,由于,0,为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度,v绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的 动张力之和 ：,动张力几乎是静张力的一半,kA k v vkm,单自由度系统自由振动,W,2006年5月4日振动力学,14,例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞,梁长 L，抗弯刚度 EJ,求： 梁的自由振动频率和最大挠度,单自由度系统自由振动,m,h,0,2006年5月4日振动力学,15,l/2,l/2,解：取平衡位置以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系,由材料力学 ：,自由振动频率为 ：, mgl 48EJ,3,g,0,单自由度系统自由振动,静变形,48EJml3,m,h,0,l/2,l/2,x,静平衡位置,2006年5月4日振动力学,16,撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：x0 ,则自由振动振幅为 ：,2,0 , x&0 ,2,A x0, ,梁的最大扰度：, A ,max,x(t) x0 cos(0t) sin(0t),x&0,单自由度系统自由振动, 2h,2,2gh,x&0,m,h,0,l/2,l/2,x,静平衡位置,2006年5月4日振动力学,0,17,单自由度系统自由振动例：圆盘转动圆盘转动惯量 Ik,在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置,I& k 02,0 k / I,扭振固有频率, 0,0,&,k为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩 (N m / rad ),I,2006年5月4日振动力学,18,由牛顿第二定律：,单自由度系统自由振动由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振 动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、 k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完 全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广 义的,m&x& kx 0,0 k / m,I& k 0,k/ I,k,I, 0,m,x,静平衡位置,弹簧原长位置,k,0,2006年5月4日振动力学,19,单自由度系统自由振动从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。,m&x& kx 0,0 k / m,I& k 0,k/ I,k,I, 0,m,x,静平衡位置,弹簧原长位置,k,2006年5月4日振动力学,0,20,例：复摆,刚体质量 m,对悬点的转动惯量I0,重心 C,mg求： 复摆在平衡位置附近作微振动时的微分方程和固有频率,单自由度系统自由振动,I0,a,2006年5月4日振动力学,21,0,C,解：由牛顿定律 ：I0& mga sin 0,因为微振动：,sin ,I0& mga 0,则有 ：,mga / I0,固有频率 ： 0,若已测出物体的固有频率 0 ，则可求出 I0，再由移轴定理，可 得物质绕质心的转动惯量：,2,Ic I 0 ma,单自由度系统自由振动,mg,I0,a,2006年实5月验4日确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法振动力学,22,0,C,单自由度系统自由振动,例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动,斜面倾角 300质量 m=1kg弹簧刚度 k=49N/cm,开始时弹簧无伸长，且速度为零,重力角速度取 9.8求： 系统的运动方程,2006年5月4日振动力学,23,m,300,k,2006年5月4日振动力学,x(t) x0 cos(0t) sin(0t2)4,单自由度系统自由振动解：,x,0,以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系振动固有频率：, 70(rad / s),0 k / m49 102 /1,振动初始条件：,kx mg sin 300,0,x 0.1 (cm),0初始速度： x&0 0,考虑方向,0,x&0,x(t) 0.1cos(70t)(cm),运动方程：,m,300,k,教学内容,2006年5月4日振动力学,25,无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,单自由度系统自由振动能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能V 之和保持不变 ，即：T V const或： d T V 0dt,2006年5月4日振动力学,26,弹簧质量系统,动能：T 1 mx& 2,2,势能：,mgx（重力势能）,（弹性势能）, k ( x)dx,x,0, mgx kx 1 kx22m&x& kx 0 d T V 0,(m&x& kx)x& 0x& 不可能恒为 0,k xdx,V mgx ,x,0,单自由度系统自由振动,mg k,2,12,kx,0,m,x,静平衡位置,弹簧原长位置,k,dt,2006年5月4日振动力学,27,单自由度系统自由振动如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位 置，而是取在弹簧为自由长时的位置,动能：,T 1 mx& 2,2,势能：V mgx 0 kxdx,x, mgx 1 kx22m&x&x& mgx& kxx& 0,m&x& kx mgm&y& ky 0 d T V 0,设新坐标,y x mgk, x ,0,m,x,静平衡位置,k,2006年5月4日振动力学,dt,28,如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位 置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中 就不会出现重力项,2006年5月4日振动力学,29,单自由度系统自由振动,T V constTmax Vmax2006年5月4日,x(t) Asin( t 3)0,单自由度系统自由振动考虑两个特殊位置上系统的能量,静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大, 0,12,Vmax,2max,max,T,mx,&,最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大,V 1 kx2,max,max,Tmax,2, 0,0 k / m, 0 xmax,x&max, 0max,对于转动： &max,x 是广义的,0,m,x,静平衡位置,k,静平衡位置,最大位移位置,x,0 max,m,x,k,0,振动力学,例：如图所示是一个倒置的摆,摆球质量 m,刚杆质量忽略,每个弹簧的刚度,k2,求:(1) 倒摆作微幅振动时的固有频率(2) 摆球 m 0.9kg时，测得频率 f 为 1.5HZ,， m 1.8kg,时，测得频率为 0.75HZ，问摆球质量为多少千克时恰 使系统处于不稳定平衡状态？,单自由度系统自由振动,l,m,a,k/2,k/2,2006年5月4日振动力学,31,解法1：,广义坐标,动能,T 1 I&2 1 ml 2&2,211,2,势能, U max,Tmax,&max 0max,ka mgl ml 2,2 ,0,平衡位置1,ka mgl,1 cos ,2 2,V 2 ,2,零平衡位置1,单自由度系统自由振动, 1 (ka2 2 mgl 2 ) 1 (ka2 mgl) 222,2,2,22,2 ,ka mgl11 2 sin,22,11, ,l,m,a,k/2,k/2,2006年5月4日振动力学,32,解法2：,平衡位置2,动能,T 1 I&2 1 ml 2&222,势能,ka mgl cos,2 2,11,V 2 ,2,2ml 2& 2 (ka2 mgl)& 0 2ml 2& 2(ka2 mgl) 0,ml 2,ka2 mgl,0,零平衡位置2,单自由度系统自由振动,2 ,ka mgl1 2 sin,121212,2,22,ka2 2 mgl mgl 22(ka2 mgl) 2 mgl,1,l,m,a,k/2,k/2,d T U 0,2006年5月4日振动力学,33,dt,教学内容,2006年5月4日振动力学,34,无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,瑞利法,利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑 了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动 能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在 许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本 身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算 出的固有频率明显偏高。,单自由度系统自由振动,km,x,0,2006年5月4日振动力学,35,设弹簧的动能:,2,2,1,T m x,tt,&,系统最大动能：,2,tmax,2max,Tmax ,12,12,m x,mx,&,&,系统最大势能：,V 1 kx2,max,max,2,x&max 0 xmax,单自由度系统自由振动例如：弹簧质量系统,k m mt,0,若忽略 m，则增大,t,0,2max,(m m )x,12,t,&,mt弹簧等效质量,kmt,m,x,0,2006年5月4日振动力学,36,教学内容,2006年5月4日振动力学,37,无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,等效质量和等效刚度,方法1： 选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：,2,12,Mx,T ,e,&,V 1 Kx 2,2,e,当 x& 、 x分别取最大值时：,则可得出：,T Tmax,V Vmax,0 Ke / Me,2006年能5月分4日别相等振动力学,38,Ke：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量 这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势,单自由度系统自由振动,动能T 1 I&2 1 ml 2&222,势能,ml 2,ka2 mgl,0 ,V 1 (ka2 mgl) 22,M ml 2,e,Ke ka mgl,2,单自由度系统自由振动零平衡位置1m,l,a,k/2,k/2,2006年5月4日振动力学,39,方法2：定义法等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量,2006年5月4日振动力学,40,单自由度系统自由振动,例：串联系统,1,1,k, P,弹簧1变形： ,2,2,k, P,弹簧2变形： ,总变形： 1 2, ( 1 1 )P,k1k2k1k2,k1 k2,K P ,e,1 1 1 Kek1k2,在质量块上施加力 P,根据定义：,或,P,m,k1,k2,单自由度系统自由振动,使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力， 叫2做006系年5统月在4日这个坐标上的等效刚度振动力学,41,例：并联系统,在质量块上施加力 P两弹簧变形量相等：,受力不等：P1, k1P2 k2 ,由力平衡： P P1 P2 (k1 k2 ),根据定义： Ke, k k12,P,并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和,P,m,k1,k2,单自由度系统自由振动,m,k1,k2,使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力， 叫2做006系年5统月在4日这个坐标上的等效刚度振动力学,42,例：杠杆系统,杠杆是不计质量的刚体,求：系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度,单自由度系统自由振动,k1,k2,m1,m2,l1,l2,l3,x,2006年5月4日振动力学,43,解法1：能量法,动能：T m xm (,x&)2,l12,2,2,2,1,2,1l,2,1,&,势能：,V 1 k x2 1 k (l3 x)2,22l1,12,2,22,1,l 2,1,m,l, m,1,l,等效质量：M e,2,32,l 2,1,k, k,等效刚度：Ke,0Ke / Me,单自由度系统自由振动,2,222,1,1,m )x,(m ,2,1l,l,&,2,2,32,1,2,1,k )x,(k,12,l,l,固有频率：,k,1,k,2,m,1,m2,l1,l2,l3,x,2006年5月4日振动力学,44,解法2：定义法,设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P,Pl1 (m1 1)l1 (m2 l )l2,1,则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：l2,2,2 2,1,l 2,1,m,l,Me P m ,设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P 则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：l3,Pl1 (k1 1)l1 (k2 l )l3,1,2,3 2,l 2,Ke P k1 ,k,P,单自由度系统自由振动,2l1,2,l,m ,x& 1m1 1,k 1,1,1,k l3,2,l,P,x 1,k1,k2,m1,m2,l1,l2,l3,x,l,2006年5月4日振动力学,1,45,教学内容,2006年5月4日振动力学,46,无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,阻尼自由振动,2006年5月4日振动力学,47,前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的 机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中 将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结 构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是 实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动 或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。,单自由度系统自由振动,单自由度系统自由振动粘性阻尼力与相对速度称正比，即：Pd cv,c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数单位： N s / m建立平衡位置，并受力分析,m&x& cx& kx 0,&x& 2x& 2 x 000,动力学方程：,或写为：,k m,0, c 2km,固有频率,相对阻尼系数,m,k,c,m,kxcx&,m&x&,x,0,2006年5月4日振动力学,48,动力学方程：,&x& 2x& 2 x 000令：x et,k m,0, c 2km,特征方程：,2 2 2 000,特征根：,1,2 0 0 1,2006年5月4日振动力学,49,2,三种情况：, 1, 1临界阻尼, 1欠阻尼,过阻尼,单自由度系统自由振动,第一种情况： 欠阻尼, 1,动力学方程：,&x& 2x& 2 x 000,2 2 2 0,001,2 0 0 1,特征方程： 特征根：,2, 0 id,1,2,特征根：,2,2006年5月4日振动力学,50,d 01 ,阻尼固有频率,有阻尼的自由振动频率,t csin t),cos,x(t) e(c,2,1,0t,d,d,振动解：,c1、c2：初始条件决定,单自由度系统自由振动,两个复数根, 1x(t) e,欠阻尼,(c1 cosd t c2 sin d t),0t,振动解：,设初始条件：,0,x(0) x,0,x&(0) x&,则：x(t) e0t (xcost x&0 0 x0 sin t),0d,d,d,x(t) e0t Asin(t ),d,或：,2,x&0 0 x0,2,A x0 (,),wd,00,2006年5月4日振动力学,51,0,0d,1, x,x&,x , tg,单自由度系统自由振动, 1,欠阻尼,d,T0：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期,2,01 ,2,1 ,振动解： x(t) e0t (xcos t x&0 0 x0 sin t) e0t Asin( t ),2006年5月4日振动力学,52,2,d 01 ,阻尼固有频率,阻尼自由振动周期：,Td, 2,单自由度系统自由振动,2,T0,0d,dd,d,Ae0t, Ae0t,Td,t,x(t),A,A,0, 1,欠阻尼,响应图形,振动解： x(t) e0t (xcos t x&0 0 x0 sin t) e0t Asin( t ),单自由度系统自由振动,0d,dd,d,=01,时间,位置,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动2006年5月4日振动力学,53, 1,欠阻尼,响应图形,振动解： x(t) e0t (xcos t x&0 0 x0 sin t) e0t Asin( t ),单自由度系统自由振动,0d,dd,d,1 =0,Ae0t, Ae0t,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动2006年5月4日振动力学,54,Td,t,x(t),A,A,0,不同阻尼大小下的振动衰 减情况不同阻尼，振动衰减的快慢不同阻尼大，则振动衰减快 阻尼小，则衰减慢,2006年5月4日振动力学,55,单自由度系统自由振动,：阻尼小,：阻尼大,评价阻尼对振幅衰减快慢的影响,i1,i, , e0Td 与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为 d，振幅衰减的快慢取决于0 ，这两个重要的特,征反映在特征方程的特征根的实部和虚部, 0 id,1,2,减幅系数 ,单自由度系统自由振动,定义为相邻两个振幅的比值：,0 (ti Td ),0ti,Ae, Ae,x(t) e0t (xcos t x&0 0 x0 sin t) e0t Asin( t )0ddd,Ae0t,d,2006年5月4日振动力学,56, Ae0t,d,T,t,x(t),A,A,0, e0Td,Ae0 (ti Td ),Ae0ti,i1, i ,A含有指数项，不便于工程应用,2006年5月4日振动力学,57,单自由度系统自由振动x(t)减幅系数：,实际中常采用对数衰减率 ：,0d,i1, lni ln T,Ae0t, Ae0t,Td,t,A,0,2006年5月4日,实验求解 利用相隔 j 个周期的两个 峰值 进行求解,i j,i,i j, 1 lni,j,得：,01 2,0,2, ,0d, lni, ln T,2, 2 2,d,T,当 较小时（ 0.2 ）, 2, 2,单自由度系统自由振动, ( i)( i1 )L( i j 1 ) ji 1i2i j, e0Td,i, , 2 1 2,Ae0t,0,1 ,d,58,i1振动力学,i1, Ae0t,Td,t,x(t),A,A,0,2006年5月4日,第二种情况： 过阻尼, 1,动力学方程：,&x& 2x& 2 x 000,2 2 2 0,001,2 0 0 1,特征方程： 特征根：,2,*, 0 ,1,2,特征根：,* 2 1,0,两个不等的负实根,振动解：,x(t) e0t (c ch*t csh*t)12c1、c2：初始条件决定,单自由度系统自由振动,2ex e x,ex e x,shx ,chx ,59,2,振动力学, 1,过阻尼,振动解：,设初始条件：,0,x(0) x,0,x&(0) x&,则：,x(t) e0t (c ch*t csh*t)12,sh*t),x(t) e0t (x ch*t x&0 0 x0,*,0x(t),一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生,单自由度系统自由振动,x0响应图形,2006年5月4日振动力学,60,t,0,第三种情况： 临界阻尼, 1,动力学方程：,&x& 2x& 2 x 000,2 2 2 0,001,2 0 0 1,2006年5月4日振动力学,61,特征方程： 特征根：,2,1,2 0,特征根：,二重根,振动解：,c1、c2：初始条件决定,(c1 c2t),x(t) e,0t,单自由度系统自由振动,临界阻尼 振动解：,(c1 c2t), 1x(t) e,0t,x(0) x0,x&(0) x&0,则：,仍然是按指数规律衰减 的非周期运动，但比过 阻尼衰减快些,x0 (x&0 0 x0 )t,x(t) e,0t, c 2km,临界阻尼系数,cr,c, 2km,ccr,单自由度系统自由振动,设初始条件：,响应图形,x(t),2006年5月4日