矩阵相似的性质与应用的研究

- 1 -矩阵相似的性质与应用的研究1 引言矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。2 矩阵相似的定义与基本性质2.1 矩阵相似的定义令 nmCS为非奇异矩阵，考察矩阵 nmCA的线性变换SB1令线性变换 的特征值为 ，对应的特征向量为 y，即y将式 ASB1代入上式，即有 AS1或 )(Sy令 yx或 x，则式 )(y可以写作x比较 B和 A两式可知，矩阵 A 和 SB1具有相同的特征值，并且矩阵 B 的特征向量 y是矩阵 的特征向量 x的线性变换，即 xSy1。由于- 2 -矩阵 和 ASB1的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似” 。于是：设 、 都是 阶方阵，若有可逆方阵 ，使 BAS1，则称 是 的n A相似矩阵。或者说矩阵 与 相似。对 进行运算 p 称为对 进行相似ABA变换。可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换阵。P2.2 矩阵相似的一些基本性质：自反性： 。A对称性： 则 。B传递性： 及 可得： 。CA如果 阶矩阵 , 相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。n相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有相同的秩。2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。4) 则 ， 、 、 （若 ， 均可逆） 、BAkNTBA1ABE从而 ， 有相同的特征值。3 相似对角矩阵的有关性质3.1 矩阵可相似对角化的引入与定义设 是复数域 上的 维线性空间， 是 的一个线性变换。又VCnTV与 是 的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是ne,21 ,21 V。则线性变换 在这两组基下的矩阵 与 相似，即PTABP1我们自然会问：矩阵 可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的A选取第二组基 ，使得线性变换 在这组基下的矩阵 是个对角矩阵n,21 TB- 3 -呢？我们逐步解决这个问题。首先设想矩阵 能相似与一个对角矩阵，即设A(1)nP211因而有 (2)nPA21若把 写成分块矩阵P，),(21nX这里 代表 的 个列向量。应用矩阵乘法规则，容易验证nX,21 P，),(21nAA ),(212 nnXP 故由(2)式可得 (3),21(iXAii 或。),(0)( niEii 这说明，若 能够与对角矩阵相似，则可逆矩阵 的每个A ),(21nXP- 4 -列向量（非零向量） 都满足(3)式。简言之，对于 阶矩阵 ， 维列向量iXnAn，并且存在 个线性无关的特征向量 相应的特征值分别为XnX,21即有 取 最终可得到 ,21 ),(niAii ),(21nPnP211即 与对角形矩阵相似。A3.2 矩阵可相似对角化的性质（1）如果两个矩阵 和 都可以相似同一个对角矩阵 ，那么 。ABPBA（2）如果 阶矩阵 的每个 重特征根 ，有 则 与niSiii SnE）秩 （对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：证明：设 阶矩阵 的互异特征根为 ，其重数分别为 ，Ai,21 i,21则有 （ 必有 个特征根） ，nSSi21A而由 式得到 。iinE）秩 （ ),()()( iiSErii 即齐次线性方程组 的基础解系有 个解向量。0XAi）（ i由 式知道 有 个线性无关的特征向),21()()( iiSrnii An量，故可得到 与对角矩阵相似。（3） 阶矩阵 可相似对角化的充分必要条件是 具有 个线性无关的特A征向量。（4）数域 上的 级矩阵 可相似对角化的充分必要条件是对每个特征值Pn均有几个重数等于代数重数。（5）数域 上的 级矩阵 可相似对角化的充分必要条件是 的最小多项AA式是 上互素的一次因式的乘积。- 5 -定理： 级矩阵 可相似对角化的充分必要条件是：nA其中 ， ,， 是 的所有互不相同的特征n1211 VV维维维 12kA根。证明：必要性若 可相似对角化，则 ，又由 ，故有Airi维 nrk21n1211 VV维维维 充分性：若 ，则 有 个线性无关的特征向n1211 维维维 A量，故 可相似对角化。A3.3 相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形 。由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵J相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵 的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。A定义：形如11iiii imJ 的方阵称为 阶若尔当块。其中 可以是实数，也可以是复数。imi定理：矩阵 的充要条件是他们相应的特征矩阵 。ABIAIB;每个 阶复矩阵 都与一个若尔当标准形 相似，且这个若尔当标准形在nJ不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵 唯一决定。A复矩阵 可对角化的充要条件是 的特征矩阵的初等因子全为一次式。4 矩阵相似的应用- 6 -4.1 矩阵相似在代数方面的应用.例 1.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟61练工经过培训及时间至年终考核有 成为熟练工。设第 年一月份统计的熟练52n工和非熟练工所占百分比分别为 和 ，记成向量 。nxynyx（1）求 与 的关系式并写成矩阵形式: = ;1nyxn 1nAn（2）验证 ， 是 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的4112A特征值；（3）当 时，求 。21yx1nyx解：（1）按题意有 )61(532nnyxy化简得 对其用矩阵表示即为nnyxy5310291= ，于是1ny53029ny531029A（2）令 ，则由 知， ， 线性无关。因14),(21PP12- 7 -。故 为 的特征向量，且相应的特征值 。114AA1因 ，故 为 的特征向量，且乡音的特征值为 。2212 2（3）由于有 =A = = = = 。1nyxn2A1nyx n1yxnA2由 ，有 。2110AP1210P于是有 又 ，故121nn 4151= 。41)2(0145nnA nn)2(41)(5因此有 = =1nyx2n)21(380例 2 著名的 Fibonacci 数列 0,1,1,2,3,5,8,13,利用矩阵特征值、对角化相似解决这个问题，并求 1limnu解：这个数列的递推关系为(1)2,10,12kukk其 中初始条件为 令,01u- 8 -,210,1kuUk因为 ，所以kku12(2)kkuu1120取 ，则(2)式成为01A(3)kkAU1由(3)式得出(4)0Ak于是，欲求 Fibonacci 数列的通项公式，只要计算 ，我们利用 的相似简化kA来计算 。kA的特征多项式为 ，它的两个根： ，12AE )51(2，是 的特征值因此 可对角化解齐次线性方程组)51(2 0)51(2XAE得到它的一个基础解系11)5(2- 9 -同理可得 的一个基础解系是0)51(2XAE11)5(22令 ，则12U2110AU于是 122111 12121215500kkkkA(5)从(4)式及初始条件得 (6)011kkAu比较(6)式两边的第 2 个分量得(7)kkkku )251()(51)(512这就是 Fibonacci 数列的通项公式。那么接下来就容易算出：2151limnu- 10 -4.2 相似矩阵与变系数线性方程间的关系为求变系数方程组 的解，其中 ， 是 连续函数矩xtA)(。 21x)(tA2阵：(1)()(221tatt定义：设 是 函数矩阵。若存在非奇异常数矩阵 ，使得)(tAP，则称 和 相似。当然在变换 下，方程组（1）可PtB)(1)(ttByx以化为方程组（2）yt)(。其中 ， 。只要求出方程组（2）的解，即可求出方程组21yPAtB)(1（1）的解。反之亦然，即方程组