各种利率期限结构模型的比较评价研究

各种利率期限结构模型的比较评价研究李彪（天津大学 管理学院，300072）摘要：本文将各种利率期限结构模型按两种不同的方法（无套利方法和广义均衡方法）分为了两大类。一般认为，广义均衡方法在理论上是优于无套利方法的，原因有二：其一，各相关变量诸如及其理论和利率风险溢价都是内生的；其二，现实经济变量和金融变量之间的关系对于理解利率期限结构理论具有十分重要的意义。然而，就实际应用而言，广义均衡理论相对于无套利方法的优势就不再明显，这是因为在各种刻画利率期限结构模型的实证研究中起决定作用的是这些模型捕捉利率波动的能力。而就目前所掌握的相关文献而言，还不存在一种能够优于其他各模型的刻画利率期限结构的模型，这一点在实证方面尤其如此。关键词：套利；广义均衡；利率；期限结构；波动1引言对利率期限结构进行分析（TSIR）进行分析遇到的首要问题就是研究对象（利率期限结构）的定义。在目前的文献研究中，学者们对利率期限结构达成的一致定义是“利率期限结构是对仅到期期限不同的无违约证券收益率关系的测度” （Cox, Ingersoll and Ross, 1985b） 。从解析上讲，利率期限结构是折现债券的到期时间与它的当前价格或者到期收益率之间的函数映射。因此，寻找一个好的利率期限结构理论不仅对利率期限结构自身的研究非常重要，而且也助于大量利率敏感性要求权（Interest Rate Sensitive, IRS）的定价。利率期限结构的早期理论诸如预期假说（the expectation hypothesis） 、流动性偏好（the liquidity preference） 、市场分割（ the market segmentation）和优先栖息地（the preferred habitat theory）理论等在本质上都是建立在确定性的架构之上的。上个世纪七十年代的金融市场动荡加重了将利率期限结构分析置于随机环境中的必要性。一个很自然的做法是将资产定价理论也就是跨期资本资产定价模型（ICAPM）和期权定价理论（OPT）扩展到利率敏感性要求权的定价中来。然而，利率期限结构理论却并不为跨期资本资产定价模型所容，原因是利率敏感性要求权的风险并不能采用与股票相同的风险分散方式进行化解，这是因为利率敏感性要求权的收益率彼此之间是高度相关的。而在另一方面，即使已经给定了利率敏感性要求权和股票价格或有要求权的差异之后，Black-Scholes 期权定价公式也不能简单扩展到对利率或有要求权的定价中。自从上个世纪 70 年代末以来，基于无套利假定和鞅分析的随机模型则开始用来尝试解释利率期限结构。在这些研究利率期限结构随机方法的文献中，值得一提的有Vasicek（1977） 、Dothan （1978 ） 、Cox ，Ingersoll 和 Ross（1985a,b） 、Ho 和 Lee（1986） 、Heath, Jarrow 和 Morton（1992） 。尽管关于利率期限结构随机性研究方面的文献数量飞速增长，可是大多数的实证研究均是利用某一种模型对利率期限结构进行分析，而没有各种模型之间存在的差异和相似性进行分析。因此，就很有必要在各文献中所给出的特定而又不同的假定的基础上，侧重于对各文献中所提出的主要理论和方法的研究，以比较研究利率期限结构利率的各随机模型。而本文恰是为了弥补以前文献的不足，对研究利率期限结构理论和相关的利率敏感性或有要求权定价的各种随机方法进行一个文献综述式的分析。为便于对比研究，本文将所有的相关方法分成两大不同的方法类：套利定价理论（the Arbitrage Pricing Theory）和广义均衡理论（the General Equilibrium Theory） 。其中，前者是在折现债券价格动力学（the dynamic）由伊藤微分方程描述和将无套利假定作为一种均衡条件进行施加的基础上来推导不同期限的均衡到期收益率也就是利率期限结构的。并且，这种利率期限结构除其他决定因素之外主要受制于一个外生设定的风险市场价格。而后者则是建立在一个跨期广义均衡模型的基础之上的，且在这个模型中，利率风险的市场价格主要是内生决定的。因此，本文的研究旨在突出这两种方法的不同特征和强调在何种条件下这两种方法具有实际等价性。同时，也对适用于每一种方法的不同假定进行了讨论并对各种利率期限结构模型进行了实证评价。本文的组织架构如下：第一部分介绍了套利定价理论并讨论了它的各种不同形式；第二部分，分析研究了广义均衡理论及其各种模型；第三部分对两大类模型方法从理论和实证角度进行比较评价；最后一部分，则是总结全文和对未来研究进展的展望。2套利定价理论2.1 基本模型根据最为普遍性的定义，套利定价理论的基本模型旨在描述利率期限结构也就是只有到期期限不同的无违约证券收益率之间的关系。因此，利率期限结构可以用到期收益率或者折线债券价格 进行描述。本文按照 Vasicek（1977）和 De Felice and (,)htT(,)vtTMoriconi（1991 ）文的方式对基本模型进行描述，其中，前者在一个套利假定的基础上对利率期限结构进行了极为清晰的描述，而该假定与 Black 和 Scholes（1973）对期权进行定价时所做出的假定相似；后者则是在随机免疫的框架下对利率期限结构进行了详细的解释。无套利基本模型主要基于如下假定：假定 1，市场假定：市场是无摩擦和高度竞争的；代理商是价格接受者；交易是连续且一致的也就是不存在无风险套利机会。假定 2，基本模型假定：令 表示到期收益率， 表示瞬时利率。即期利率(,)htT(,)tT是基本变量，被定义为 或者等价表示为： 。)rtd1lim(,)Tttrud在此模型中，即期利率是无风险利率且是唯一的不确定性来源，也就是说该模型是一个单因子或者单变量模型，其中 是状态变量。()t假定 3，即期利率的随机过程假定：即期利率遵循一个马尔可夫过程，也就是未来即期利率值 的概率分布是由当前的即期利率值 唯一确定的，并且被假定为连续的，()rt ()rt也就是债券市场不存在任何冲击。假定 4，同质性假定：代理商对未来即期利率值 的概率分布持相似预期。t假定 1 到 4 暗含着折现债券的价值函数 是唯一确定的。()vt根据上面的各条假定，该模型的建模过程可以分为如下的五个主要步骤：第一步，该模型即期利率的动力学变化是由如下的伊藤偏微分方程（PDE）来进行描述的，（1）(),)(),(drtftdgrtZt式（1）中， 是过程的漂移项； 是过程的扩散系数，而 是一个,f ()Zt均值为 0、方差为 的标准布朗运动。t第二步，折现债券的价值函数 对即期利率 的依赖通过下式来进行刻画：(,)vtT()rt（2）,trT式（2）中， 被设定为 的一个单调函数，且其一阶导数 、 和二阶()vrt tvr导数 连续。rv第三步，在以上两步的基础上，可以利用伊藤引理来推导收益率的动力学变化，即（3）(),(),(),()dvrtTrtdtrtTdZt式（3） ， 221(),(),1(),(),(), (),(),vrtvrt vrtTrtTftgtvrt(),(), (),(),vrtTrtgtvrtT式（3）表明收益率可以被分解为一项预期的变化和一项未预期的变化，而这项未预期的变化是由用维纳过程表示的冲击所造成的，它的大小依赖于 。同时，从表达(),rtT式 中还可以得到下面的偏微分方程：(),rtT（4）210trrvfgv在式（4）中，忽略了各变量之间的相关性。另外，为在公式中便于表示，本文用表示 ， 表示 ， 表示 ， 表示 ， 表(),tvrtf(),tr(),rtTg(),rtrv示 ， 表示 ， 表示 。TrTv第四步，由于即期利率过程的漂移项 和方差 通常被假定为已知或,ft(,)rt者可估计得出，因而，如果函数 已知，则式（4）中的偏微分方程可以求解从(),t而得到债券价值函数 的函数形式，整个利率期限结构也就得以确定。然而，事(),vrt实是函数 的形式常常未知，且不能从模型中推导得到。为了确定(),tT的函数形式，必须设定无套利假定，即对于任意时刻 、 且 ，下(),rtT 1t21tt面的结果可以证明成立：（5）12(,)(,)trttr式（5）中的每一边均可被解释为一个风险溢价，或者更准确地说是期限溢价，且该期限溢价与具体期限无关，因而，可以认为它们是代表利率风险市场价格的公共市场价值。实际上，这个期限溢价是代理商为承受与未预期到的即期利率变化相关的风险而索要的均衡补偿，即（6）(),()(),rtTrtqrt根据式（6）并利用 的表达式，则可以得到用利率风险市场价格表示的,tT函数形式，如下所示：(),rtT（7）(),(),)(,(),/(),rrtrtqtgtvtTvrt由于利率风险的市场价格是一个均衡价格，取决于市场中代理商的风险偏好，因而函数 也与代理商的风险偏好密切相关。所以，无偏好定价尽管常常被认为是基于(),rt无套利假定的资产定价理论的一个进步，但对于本文所要讨论利率期限结构理论却不成立。第五步，将式（7）带入式（4） ，即可得到一个不依赖于 的新偏微分方程，(),rtT如下所示：（8）21()0trrvfqgvv在式（8）中，只要即期利率过程的变动特征 和 已知，且设定了利率风险价格 ，fgq则偏微分方程式（8）可以用边界条件 进行求解。债券价值函数,tT的解也可以表示成积分形式，如下所示：(),vrtT（9）(,)(),SttvrtEe其中， 。21(,) (),()TTTt t tStudqrudqrudZ在得到债券价值函数 的解后，就可以确定与每一到期期限相对应的到期收(),r益率，也就是整个利率期限结构。上面所描述的无套利基本模型与其他的无套利模型的不同之处在于它假定即期利率是模型中的唯一不确定性来源。这就意味着不同到期期限的证券收益率完全相关。而在下一部分所要描述的模型则克服了这个局限性。本文所要强调指出的最后一点在对无套利和广义均衡类模型的比较中是至为重要的：在本节中给出的无套利基本模型为了使得偏微分方程的解具有封闭性要求利率风险的市场价格是外生给定的，而在广义均衡类模型中则不必如此。此外，对无套利假定也不能任意设定，必须验证与无套利假定相关的模型一致性。这一点将在第四部分进行更详细地讨论。2.2 其他无套利基本模型在上一小节中所给出的无套利基本模型为使模型能够得到解析解，要求设定利率风险的市场价格 ，且均为一个单因子模型，因为在模型中即期利率是唯一的不确定性来源。q自从上个世纪七十年代末以来，出现了许多基于无套利理论的基本模型。为便于说明起见，在本小节中，本文给出了一些模型，这些模型之间或者在利率风险市场价格的设定形式方面不同，或者用于分析的模型因子个数多于一个，也或者上面的两种情形都存在。1、Vasicek 模型Vasicek 模型假定利率风险的市场价格和即期利率的变动过程分别作如下形式设定：（10）(),qrtTq（11）()()drtdzt由式（10）和式（11）可知利率风险的市场价格被设定为一个常数，而即期利率过程被设定为一个奥伦斯坦-乌伦贝克（ Ornstein-Uhlenbeck）过程。其中， 表示即期利率0恢复到长期利率的速度， ， 表示长期利率水平。并且，如果 ，那么01式（11）描述的是一个均值回复的自回归过程。由于 是一个常数，即期利率围绕着长期利率水平 作上下波动。然而，不幸的是，Vasicek 模型可能使得利率出现为负的情况。不过对于很大的 和 值，出现利率为负的概率是非常低的，因此这个模型还是得到了很大的应用。2、Dothan（1978）模型在利率风险的市场价格方面，Dothan 采取了与 Vasicek 模型相同的假定，但却对即期利率的变动过程所遵循的假定进行了修正，如下所示：(12)()()drttz在 Dothan 模型中，债券价值函数是在 的情况下给出的，并且得到的结果与传统0q的纯预期理论也是相同的：预期利率等于即期利率。该模型求解结果的另外一个优点是折现债券的价格总是大于 0。3、Brennan 和 Schwartz（1979）两因子模型本文上面给出那些无套利基本模型，都隐含着不同期限的折现债券的价格都是完全相关的。Brennan 和 Schwartz 模型通过假定利率期限结构有两个因子决定，从而克服了这种局限性。在该模型中所假定的两个因子分别是即期利率 和长期利率 ，它们的变动()rt()lt过程如下所示：（13）111222(),),()(drtltdltZl r式（13）中， 和 是均值为 ，方差为1()Zt()t1)0Etdt的标准维纳过程，且 。221()dZttd2()d在 Brennan 和 Schwartz 两因子模型中，引入长期利率并将其假定为第二个因子的设想正是基于传统的预期理论和流动性溢价理论。在 Schaefer 和 Schwartz（1984）中也构建了一个两因子模型，但是在那篇文章中他们选用了两个不同的因子：长期利率和长短期利率之间的价差。由于进行了两个因子的假定，无违约折现债券价格的偏微分方程包含了两个效用相关的参数：瞬时风险的市场价格和长期风险的市场价格。其中，如果假定存在一个可交易的永久债券（consol bond） （对应于模型中的第二个状态变量：长期利率） ，长期风险的市场价格可以被消除。2.3 套利定价理论的最新发展在本文献综述中，根据定价方法：套利定价和均衡定价，将有关利率期限结构研究的模型的进行了归类。此外，还可根据另外一种分类方法，对研究利率期限结构的模型进行分类，这种方法就是所考虑的研究出发点不同。后一分类体系下的第一种方法将对短期利率变动过程的合理假定作为研究出发点，并由此模型推导出了当前的收益率曲线。由于用于推导收益率曲线的模型可能是套利定价模型也可能是广义均衡模型，因此，可以将这种方法同时归入套利定价模型如 Vasicek（1997） 、Dothan（ 1978）等和广义均衡模型如 Cox, Ingersoll 和 Ross（1985b） 、Longstaff 和 Schwartz 模型等。后一分类体系下的第二种方法将当前的利率期限结构作为预先给定，再在此基础上研究无套利的收益率曲线，因此，这种方法是与实际的市场数据完全一致的。正因为如此，Longstaff 和 Schwartz（1992）指出，这种方法可以认为是“套利定价方法的一种变异（variation） ”。建立这种方法基础上的利率期限结构模型代表了当今套利定价理论的最新研究进展。Ho 和 Lee（1986）是采用这种方法建立模型进行利率期限结构研究的第一篇论文。在该文中，作者将初始的债券价格和债券价格变动过程看成是外生给定的也就是他们将当前的利率期限结构作为给定。在一个离散交易经济中，他们对利率期限机构的变动施加限定以确保不存在套利机会，具体来讲，他们将债券价格假定为根据一个二项式过程随时间变化进行随机波动。一旦无套利利率变动被确定下来，则或有要求权就可以根据观测倒的利率期限结构进行定价。因此，这个模型是一个相对定价模型（相对于当前观测到的利率期限结构而言） ，其主要优点是利用当前利率期限结构中所暗含的信息内容来对或有要求权进行定价。Heath ，Jarrow 和Morton（1992）则对这个模型进行了扩展，用于描述含多个因子的连续时间经济。与 Ho-Lee 模型不同的是，该文的作者将初始的远期利率曲线作为给定，并通过一个时间连续的随机过程来描述它的波动。他们利用了 Harrison 和 Kreps（1979）与 Harison 和Pliska（ 1981）的研究结果来保证不存在套利和对或有要求权进行定价。该模型的时间连续特性同时也便于对模型过程相关参数的估计，而这在 Ho-Lee 模型中则可能是有困难的。相对于传统的套利定价理论模型而言，该类模型最可取的是或有要求权估价不再显式依赖于风险的市场价格，而是仅依赖于可观测到的利率期限结构和远期利率波动。就本文的观点而言，由 Ho 和 Lee（1986 ）与 Heath，Jarrow 和 Morton（1992）所采用的这类方法的主要缺点是它并没有对观测到的当前利率期限结构的形状做出解释。他们的方法主要体现了利率期限结构演变理论和根据观测到的利率期限结构对或有要求权进行定价。因此，在某种意义上讲，它们不是一种利率期限结构理论，这是说在本文的文献综述中，上面所提到的 Ho-Lee 模型和 HJM 模型不能够解释当前观测到的利率期限结构的形状，仅仅是把它简单作为外生给定的。在本节中所简单描述的无套利收益曲线模型类可参见 Hull 和White（1992） ，该文对对构建这类模型的各种方法进行很好的对比分析。此外，在无套利分析方法中，Hull 和 White（1990）还提出了另外一种类型的模型。他们扩展了 Vasicek（1977）模型，并假定模型中即期利率变动过程的系数是时间的函数，并选择这些系数来反映短期利率的当前和未来波动。3 广义均衡理论3.1 研究框架刻画利率期限结构的另外一种方法是建立在广义均衡理论的基础上的。利率期限结构广义均衡模型的理论框架是资产市场的广义跨期均衡，而用于求解它们的工具则是动态随机优化理论。在这个领域具有开创性的工作是由 Merton（1970）完成的。由于 Merton 的模型旨在对公司的资本结构进行定价，利率期限结构刚一开始是被假定为水平或者不存在的，也就是说对模型没有施加无风险利率假定。该模型最终被扩展成利率随时间而随机变动，在这种情况下，该模型可以用来解释利率期限结构的存在性、确定利率期限结构的形状和判断与其他模型如无套利模型的一致性。上面所提到这些由广义均衡模型设定所暗含的优点正是 Cox, Ingersoll 和 Ross（1985a,b）模型的主要特征。并且，这两篇论文在此基础上更前进了一步，理由如下：1）这两篇论文给出了一个广义跨期均衡模型。其中，该模型中的资产价格及其随机特性都是内生确定的，因为它们仅依赖于潜在真实经济变量；2）由于采用广义均衡理论框架来研究利率期限结构，可使得影响利率期限结构的传统因素（预期、风险规避、投资选择与偏好）通过与代理商的最优化行为、均衡和理性预期相一致的方式引入到模型研究中。此外，在 Merton（1990）中由于供给动力学过程的外生性使得即期利率变动过程仍然是外生的，而与此相反，在 Cox, Ingersoll 和 Ross（1985b）中即期利率变动过程是内生的，因为它是由对驱动真实经济的随机变量假定来确定的。鉴于Cox, Ingersoll 和 Ross（1985b）模型（以下简称 CIR 模型）相对更完善，具有较好的实证特性，并在实际中得到了广泛应用，因此，本文将这个模型作为广义均衡模型的代表性模型进行研究。3.2 Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型在上个世纪 80 年代中期，Cox, Ingersoll 和 Ross 连续发表了两篇论文，这两篇论文代表了金融学中广义均衡理论方法的里程碑。首先，Cox, Ingersoll 和 Ross（1985a ）对一个简单而又完备的经济体提出了一个时间连续的广义均衡模型，并且用它来检验资产价格的行为。其次，Cox, Ingersoll 和 Ross（1985b）则是用在 Cox, Ingersoll 和 Ross（1985a）中提出的模型来对利率期限结构进行研究。在简要介绍了上面提到的两篇论文的学术价值后，本文将简要概述仅与利率期限结构模型比较研究相关的一些特征。3.2.1 CIR 模型的基本形式Cox, Ingersoll 和 Ross（1985a）是一个广义均衡模型，该模型对时间连续跨期完全竞争经济进行了完备描述，并且将一个偏微分方程（该文中的一个基础估价方程）的解作为任意资产的均衡价格给出。实际上，该文作者证明了任意或有要求权的价格必须满足下面的微分方程： *1 12 2,11 1(var)cov(,)cov()(,)(,), ,0i ijii k kWiWYijY Wi ijk kYi ijii jFFFrWtCYtFJJ tt （14）式（14）中， 是该模型的均衡利率， 代表财富， 表示或有要求权的(,)rYt (.)F的价值， 表示支出， 是技术工艺状态变量。尽管式（14）的定价方程对于任意或有要求权都成立，但支出 的形式和合适边界条件的给定则依赖于特定或有要求权的,Wt和约条件。3.2.2 利率期限结构模型Cox, Ingersoll 和 Ross（1985b）通过对上一节描述的资产定价广义均衡模型限定某些特殊条件得到了他们的利率期限结构模型。在本小节中，将给出由他们描述的最基本的利率期限结构广义均衡模型。该模型建立在如下假定条件之上：假定 1：效用函数被假定为具有恒定不变风险规避（CRRA） ，且与状态变量 相独立，Y具体形式如下：（15）(),ln()isUCe对偏好结构的假定隐含着无风险利率或者风险溢价因子 均不依赖于财富 。此外，YW模型中所要估价的证券，其合约条款也不明显依赖于财富 ，也就是。因此，式（14）中的基本估价方程变为：0WYF（16）*12()0YYttrSFaGSFr式（16）中， 和 表示描述生产和技术工艺水平的方差协方差矩阵。假定 2：技术工艺水平可以由一个简单充分统计量来代表。假定 3：生产收益率过程的均值和方差均与技术工艺水平 成比例。假定 4：状态变量的演变形式被设定如下：（17）12()d()dYtytvYWt其中， 和 是常数， ， 是一个 向量，向量中的各个分量均为常1y220nk数 。0v在上述假定条件下，就可以具体化在上一小节中得到的结果。为了便于说明，本文采用 Cox, Ingersoll 和 Ross（1985b ）的作法根据下面的定义形式引入了三个常数：， ， （18）/aY/G/SY根据式（18）中定义的三个常数，则模型中的均衡利率现在可以写成如下形式：（19）111()IIaIr式（19）中， 是一个单位向量。利用式（19） ，很容易可以验证均衡利率是产出收益率期望和方差的线性函数。同样，均衡利率也服从一个扩散过程，其漂移项和方差可以通过伊藤公式得到：漂移项： （20112()()()IarYYykr）方差： （21122var()Ivr）式（20）和式（21）中， ， 和 均是常数，且 ，k20k2根据上述定义，无风险利率的动力学过程可以表示成如下形式：（22）1()()drtrdzt式（22）中， 是一个一维维纳过程，且有 。1()zt ()tvYdWtCIR 模型的一个最基本的特征是利率变动过程的内生性，且该利率变动过程是一个时间连续的一阶自回归均值回复过程，其长期值是 。之所以讲无风险利率的随机变动过程是内生的，这是因为它依赖于对现实经济的基本假定（例如技术工艺水平的随机过程和偏好结构） ，且它也可以作为驱动均衡利率的演变过程进行推导。因此，对技术工艺水平、产出和偏好结构的不同假定将得到不同的 形式。此外，Cox, Ingersoll 和 Ross（1985b）中dr所采用的各种假定是非常有用的，因为这些假定隐含着很好的利率实证特性：均值回复过程保证了利率永远非负；如果 ，则即期利率不可能达到 0 边界；方程中的绝对方2k差直接与利率自身成比例；就利率自身而言，存在一个稳定状态分布。现在，就可以根据上面的结果来求解在 时刻支付 1 单位货币的无违约折现债券的价T值，也就是可以确定利率期限结构。令 表示在 时刻到期折现债券在 时刻的价(,)Prt t格，将式（20）和式（21）代入式（16） ，则式（16）中的基本定价方程变为：（23）21)0rrtrkqp式（23）满足边界条件 。 表示风险溢价因子，根据前面的各假定条件，(,1T其可由下式来确定：（24）11IaaIYq根据伊藤公式，可以证明债券的预期收益率是 ，且与自身的利率弹性成()/rP比例。 表示最优投资时财富百分比变化与利率变化的协方差。qr关于 CIR 模型，本文