2018年电大高等数学形成性考核册答案1

高等数学（ B） （ 1）第一次作业初等数学知识一、 名词解释邻域： 设 a 和 是两个实数， 且 0 ， 满足不等式 x a 的实数 x 的全体称为 a 的 邻域。绝对值； 数轴上的点 a 到原点的距离称为 a 的绝对值，记为 a 。数轴： 规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。实数： 实数由有理数和无理数组成。有理数包括整数和分数。二、 填空题1 、 绝 对 值 的 性 质 有 （ 0a ） 、 （ ab a b ） 、 （aab b ） 、 （ a a a ） 、（ a b a b ） 、 （ a b a b ） 。2、开区间的表示有（ ,a b ） 、 （ a x b ） （提示：分别用区间和数轴形式表示）3、闭区间的表示有（ ,a b ） 、 （ a x b ） 。4、无穷大的记号（ ） 。5 （ -， +）表示（ 全体实数） ，或记为（ R） 。6、 （ -， b）表示（满足不等式 x b 的一切实数 x ） ，或记为（ x b ） 。7、 （ a， +）表示（ （满足不等式 x a 的一切实数 x ） ，或记为（ a x ） 。8、 去心邻域是指 （满足不等式 x a 且 x a） 的全体， 用数轴表示即为 （ P7 下图） 。9、满足不等式 112x的数 x 用区间可表示为（ 11,2） 。三、回答题1、初等数学为高等数学做了哪些准备？答： （ 1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算转变。符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力。（ 2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。（ 3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。（ 4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。2、有理数包括哪些数？答：有理数包括整数和分数。3、 数轴上二个有理数之间都是有理数吗？答：二个有理数之间有有理数，也有无理数。4、 不等式 51 x 等价于哪个区间？答：等价于 1,5 。a) 点 1x 的21 邻域如何表示？答： 1 3,2 2。5、 计算题a) 解不等式 0232 xx解： 0232 xx ， 1 2 0x x ， 2x 或 1x ；所以不等式的解为 ,1 2, 。b) 解不等式 0562 xx解： 2 6 5 0x x ， 1 5 0x x ， 5x 或 1x ；所以不等式的解为 ,1 5, 。c) 解方程 0|103| 2 xx解： 2 3 10 0x x ， 5 2 0x x ， 5x 或 2x 。函 数一、 名词解释函数答：设 x 和 y 是两个变量，若当变量 x 在其变动区域 D 内取任一数值时，变量 y 依照某一法则 f 总有一个确定的数值与 x 值对应，则称变量 y 为变量 x 的函数，记作 ( )y f x 。奇函数答：设函数 y f x 在关于原点对称的集合 D 上有定义，如果对任意的 x D ，恒有( ) ( )f x f x ，则称函数 f x 为奇函数。偶函数答：设函数 y f x 在关于原点对称的集合 D 上有定义，如果对任意的 x D ，恒有( ) ( )f x f x ，则称函数 f x 为偶函数。定义域答：在函数的定义中，自变量 x 的变动区域，称为函数的定义域。值域答：在函数的定义中， y 的取值的集合称为函数的值域。初等函数答：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。三角函数答：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。指数函数 ：答：函数 xy a ( 0, 1)a a ，称为指数函数。复合函数答：设 y 是 u 的函数 ( )y f u ， u 是 x 的函数 ( )u x ，如果 ( )u x 的值哉包含在( )y f u 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，记作 y f x ，这种函数称为复合函数，其中 u 称为中间变量。对数函数答：函数 log ay x ( 0, 1)a a ，称为对数函数。反函数答：设设 y 是 x 的函数 ( )y f x ，其值域为 G，如果对于 G 中的第一个 y 值，都有有一个确定的且满足 ( )y f x 的 x 值与它对应， 则得到一个定义在 G 上的以 y 为自变量， x为因变量的新函数，称它为 ( )y f x 的反函数，记作 1 ( )x f y ，并称 ( )y f x 为直接函数。幂函数答：函数 y x （ 为实数）称为幂函数。常数函数答：函数 y c （ c 为实数）称为常数函数，它的定义域是 . 。常量答：一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量。变量答：一类量在考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量。二、 填空题1、函数概念最早是由（莱布尼兹）引进的，有了函数概念，人们就可以从（数量）上确切地描述运动。2、 在历史上第一个给出函数一般定义的是 （狄里克雷） ， 并给出了一个不能画出图形的函数，这就是著名的（狄里克雷函数） ，它的表示式是（ 0,1,xf xx是无理数是有理数 ） 。3、函数的三种表示方法： （解析表达式） ， （图形式） ， （表格式） 。4、函数表达了（因变量）与（自变量）之间的一种对应规则。5、单值函数是当（自变量）在（定义域）中取定了一数值时，与之对应的（函数值）是唯一的函数。6、奇函数的图像特点是（图像关于原点对称 ） 。7、单调函数的图像特点是（沿 x 轴正向逐渐上升或沿 x 轴正向逐渐下 降） 。8、反函数的图像特点是（与原函数的图像关于直线 y x 对称） 。三、 回答题1、 什么是有界函数？答：设函数 ( )y f x 在集合 D 上有定义，如果存在一个正数 M ，对于所有的 x D ，恒有| ( ) |f x M ，则称函数 ( )f x 在 D 上为有界函数。2、 对于有界函数要注意哪几点？答：对于函数的有界性，要注意以下几点：（ 1）当一个函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 内有界时，正数 M 的取法不是唯一的。（ 2）有界性是依赖于区间的。3、 什么是单调函数？答： 设函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 内有定义， 如果对于 ( , )a b 内的任意两点 1x 和 2x ， 当 1x 2x时，恒有 1 2( ) ( )f x f x ，则称函数 ( )f x 在区间 ( , )a b 内单调增加；如果对于 ( , )a b 内的任意两点 1x 和 2x ，当 1x 2x 时，恒有 1 2( ) ( )f x f x ，则称函数 ( )f x 在区间 ( , )a b 内单调减少。单调增加函数和单调减少函数统称单调函数。4、 反函数存在定理是什么？答：若函数 ( )y f x 在 ( , )a b 上是单调的，其值域是 ( , )c d ，则函数 ( )y f x 存在反函数1( )y f x ，其定义域是 ( , )c d ，值域为 ( , )a b 。四、 作图题（ 1） 2xy用描点法，即多取几个 x 值，算出相应的 y 值，作出众多点 , ( )x f x 后，用光滑曲线连结即可。见 29-41 页。详细过程略。（ 2） 3xy见 29-41 页。略（ 3） xy sin见 29-41 页。略（ 4） xy cos见 29-41 页。略（ 5） xy tan见 29-41 页。略（ 6） 21xy见 29-41 页。略（ 7） xy ln见 29-41 页。略（ 8） xy 2见 29-41 页。略（ 9） xy 2log见 29-41 页。略（ 10） xy 2/1log见 29-41 页。略（ 11） xey见 29-41 页。略（ 12） xey见 29-41 页。略五、 计算题(1)已知圆的周长为 l,求圆的面积 S. 解： 12r ，22 1 12 4S r。(2)已知长方形的周长为 60cm,其中一边为 10cm,求其面积 。解：另一边为 60 2 10 202 ，求面积为10 20 200 （ cm2）（ 3）求 )1(log2 xy 的定义域。解： 1 0,x 1x ，所以所求定义域为 1, 。（ 4） )1(log 22 xy ，求 f(2), f(1/2), f(a+b), f(x 2) 解： f(2)= 22 2log (2 1) log 5 ，f(1/2) 2 21 5log ( 1) log4 4 , f(a+b) 22log ( ) 1)a b , f(x 2) 42log ( 1)x(5)求 2x xy 的反函数，并指出它的定义域。解： 2y x x， 2yx y x ， ( 1) 2y x y ， 21yxy， 所以所求反函数为 21xyx。（ 6）求复合函数，已知 1)( 2uyxf ， 1vu ， 1xv 。解： 2 1y u22( 1) 1 1 1v x ，六、 论述题你能对复合函数作几点解释？答； （ 1）复合函数是函数之间的一种运算。（ 2） 不是任何两个函数都可以构成一个复合函数， 如 arcsiny u 和 22u x 就不能构成复合函数，因为后一个函数的值域不包含在前一个函数的定义域中。（ 3）复合函数分解的结果不一定是纯粹的基本初等函数，更多的是由基本初等函数经四则运算形成的函数构成的。一、 名词解释极限答：极限分为数列极限和函数极限。无穷小量答：极限为 0 的变量称为无穷小量，简称无穷小。连续答： 函数 ( )y f x 在 0x 及其邻域有定义， 且00lim ( )x x f x f x 成立， 则称函数 ( )y f x 在点 0x 处连续。否则称 ( )y f x 在点 0x 处不连续，或称间断，点 0x 称为间断点。数列极限答：对于数列 nx ，如果当 n 无限增大时， nx 无限地靠近一个常数 A，则称数列 nx 以 A 为极限，记为： lim nn x A 。函数极限答：对于函数 ( )y f x 在 0x （此可为 ）的邻域内有定义，且当 0x x 时， ( )f x 无限地靠近一个常数 A ，则称 ( )y f x 在 0x 处有极限 A，记为：0lim ( )x x f x A。无穷大量答：如果当 0x x （ x ）时， | ( ) |f x 的值无限地增大，则称 ( )f x 是无穷大量，简称无穷大，记为0lim ( )x x f x 或 ( )f x 。二、 填空题1、从极限产生的历史背景来看， 极限概念产生于（解决微分学与积分学的基本问题） ： 求面积，体积，弧长， （瞬时速度）以及（曲线在一点）的切线问题。2、极限概念描述的是（变量在某一变化过程中）的终极状态。3、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的庄子。天下篇中说： （一尽之棰） 、 （日取一半） 、 （万世不竭） ，就是极限的朴素思想。4、公元 3 世纪中国数学家（刘徽）的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼近（圆周长）这一极限思想近似地计算（圆周率）的。5、极限概念产生于（抛物线下的面积）和（曲线的切线）两个实际问题。三、 ；回答题1 简述连续性概念答： 设函数 ( )y f x 在 0x 及其邻域有定义， 且00lim ( )x x f x f x 成立， 则称函数 ( )y f x在点 0x 处连续。否则称 ( )y f x 在点 0x 处不连续，或称间断，点 0x 称为间断点。2、间断点分为几类？答：间断点分为第一间断点和第二间断点。3、什么是单侧连续？答：如果函数 ( )y f x 在 0x 及其邻域有定义，且000lim ( )x x f x f x ，则称 ( )y f x 在点0x 处右连续。类似地，如果函数 ( )y f x 在 0x 及其邻域有定义，且000lim ( )x x f x f x ，则称 ( )y f x在点 0x 处左连续。4、什么是连续函数？答：若函数 ( )y f x 在它的定义域上的每一点都是连续的，则称 ( )y f x 是连续函数。5、述复合函数的连续性定理答 ： 设 ( )y f x 在 点 0z z 连 续 ， ( )z x 在 点 0x x 连 续 ， 而 0 0z x ， 并 设y f x 在点 0x x 的某一邻域内是有定义的， 则复合函数 y f x 在点 0x x连续。四、论述题极限思想的意义答：极限思想体现了两个转化：（ 1）有限与无限的相互转化。如极限式 lim nna a ，从左向右看，是无限向有限的转化；从右向左看， 是有限中包含着无限。 在学习极限的时候， 我们较多地注意到无限向有限转化的这个侧面，而常常忽略有限包含无限这个侧面。（ 2） 近似与精 确相互转化。 定积分是一种和式的极限， 定积分的近似计算就是用有限和去代极限值，得用了近似与精确这对矛盾的转化。另外， 如果我们从哲学上来看待极限概念， 首先它表现了量变质变律： 量的变化引起了质的变化。例如， 有理数的序列可以有无理数的极限；还有近似转化为精确， 也是量变引起了质变；其次，它表现了否定之否定律：有限 -无限 -有限；最后，它反映了对立统一律：有限与无限的对立与统一， 近似与精确的对立统一， 质与量的对立统一； 运动与静止的对立统一等等。极限概念的含义是丰富的，它的多种应用就基于此。五、计算题（ 1）1324lim22nnn解：1324lim22nnn22244lim1 33nnn。（ 2）xxx 2sin2lim0解：xxx 2sin2lim0 02 1lim4sin 2 4xxx 。（ 3） nnn 1lim解：1 1lim 1 lim1n nn n n nn nn n1lim1nn nn n1lim 01n n n（ 4）xx x11lim解：xx x11lim ( 1) 11 1lim 1 xx ex e。六、讨论0,00,1)(xxxxf在 0x 处的极限是否存在。解：0 0lim ( ) lim 1 1x xf x x ，0 0lim ( ) lim 0 0x xf x ，所以 ( )f x 在 0x 处的极限不存在。作业二一、 名词解释导数答：设函数 ( )y f x 在点 0x 的某领域内有定义，给 x 以改变量 x ，则函数的相应改变量为 0 0( ) ( )y f x x f x ，如果当 0x 时，两个改变量比的极限：0limxyx存在， 则称这个极限为函数 ( )f x 在 0x 可导或具有导数， 也称为 ( )f x 在 0x可微。平均变化率答：设函数 ( )y f x 在点 0x 的某领域内有定义，给 x 以改变量 x ，则函数的相应改变量为 0 0( ) ( )y f x x f x ，则称 yx为平均变化率瞬时变化率答：设函数 ( )y f x 在点 0x 的导数，称为在在点 0x 的瞬时变化率导函数答：若函数 ( )y f x 在点 x 可导，导数为 ( )f x ，则可建立一个函数 : ( )f x f x ，这就是导函数高价导数答： ( ) ( 1)( ) ( ( ), ( ) ( ( ), , ( ) ( ( )n nf x f x f x f x f x f x ，都称为高阶导数。驻点答：若函数 ( )y f x 在某一点 0x 的导数 0( )f x =0，则称 0x 为函数 ( )y f x 的驻点。极值答 ： 若 函 数 ( )y f x 在 点 0x 的 领 域 0 0,x x 内 有 定 义 ， 若 对 任 意 的0 0,x x x ，都有 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x或 ，则称 0( )f x 为函数 ( )f x的极大值（或极小值） 。二、 填空题1、导数的物理意义是（距离函数的导数为速度，速度函数的导数为加速度）2、导数的几何意义是（函数在某点处的导数，就是该函数在这点处的切线的斜率）3、导数的第三种解释是（函数的微分除以自变量的微分）4、导数是一种特殊的极限，因而它遵循（极限运算）的法则。5、可导的函数是连续的，但连续函数（不一定可导） 。三、回答题1、什么是费马定理？答： 设函数 ( )y f x 在点 0x 的领域 0 0,x x 内有定义并且在 0x 处可导， 如果对任意的 0 0,x x x ，有 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x或 ，那么 0( ) 0f x 。2、什么是罗尔定理？答：设函数 ( )y f x 在 ,a b 上连续，在开区间 ,a b 可导，并且满足条件 ( ) ( )f a f b ，那么至少存在一点 ,a b ，使得 ( ) 0f 。3、什么是拉格朗日中值定理，它的哺助函数 (