§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

1.4 矢量的线性关系与矢量的分解一、矢量的分解1. 线性运算: 矢量的加法和数与矢量的乘法统称为矢量的线性运算. 2. 线性组合: 由矢量 , , 与数量 1， 2， n所组成的矢量 1 +2+n 叫做矢量 , , 的线性组合.我们也说矢量 可以用矢量 , ,线性表示，或者说，矢量 可以分解成矢量 , , 的线性组合. 3. 矢量在直线上的分解：定理 1 如果矢量 ，那么矢量 与矢量 共线的充要条件是 可以用矢量 线性表示，或者说 是 的线性组合，即 x ，且系数 x 被 ， 唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底. 证明 如果 x 成立，那么由数乘矢量的定义立刻知 与 共线. 反过来，如果与非零矢量 共线，那么一定存在实数 x，使得 x . 显然，如果 ，那么 0 ，即 x=0. x 的唯一性：如果 x ，那么（ x ， 而 ， 所以 x .4. 矢量在平面上的分解：定理 2 如果矢量 , 不共线，那么矢量 与 , 共面的充要条件是 可以用矢量, 线性表示，或者说矢量 可以分解成矢量 , 的线性组合，即 x +y ，且系数 x, y 被 , , 唯一确定. , 称为平面上矢量的基底. 证明 因为矢量 , 不共线，所以 , . 设 与 , 共面，如果 与 (或)共线，那么根据定理 1 有 x +y ，其中 y =0(或 x=0)；如果 与 ， 都不共线，则把它们归结到共同的始点 O，并设 = ， （ i=1，2），那么过 的终点分别作 OE2， OE1的平行线依次与 OE1， OE2交于 A， B. 因为 , ,那么根据定理 1可设 = x ， y ，根据平行四边形法则得 = + ，即 x +y .反过来，设 x +y ，如果 x, y 有一个是零，那么 与 (或 )共线，则 与, 共面.如果 xy0，那么 x , y ,根据平行四边形法则得 与 x ， y共面，因此 与 , 共面.最后证明 x, y 被 , , 唯一确定. 假设 x +y = + , 那么 ( x ) （ y ） ,如果 x ，那么 = ,即 , 这与定理条件矛盾，所以 x= . 同理 y = ,因此 x, y 被唯一确定.5. 矢量在空间的分解：定 理 3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量 可以由 矢量 , , 线性表示，或者说矢量 可以分解成矢量 , , 的线性组合，即 x +y +z ，且系数 x, y, z 被 , , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底. 证明 因为矢量 , , 不共面，所以 （ i=1，2，3），且被此不共线.如果 与 , ， 之中的两个矢量 , ( ， 或 ， )共面，那么根据定理 2有 x +y +0 ( x +0 +z 或 0 +y +z ).如果 与 , ， 之中的任意两个矢量都不共面，则把它们归结到共同的始点 O，并设 = ， （ i=1，2，3），那么过 的终点分别作三个平面分别与平面OE2E3， OE3E1， OE1E2平行，且分别与直线 OE1， OE2， OE3相交于 A， B， C 三点，从而作成了以 、 、 为三棱， = 为对角线的平行六面体，于是得到：= + + ，由定理 1 可设 = x ， = y ， = z ，所以 x +y +z . 下面证明 x, y, z 被 , , , 唯一确定. 假设 x +y +z + + ，那么 ( x ) （ y ） ( z ) ,如果 x ，那么 ,有定理 2 可知 , , 共面，这与定理条件矛盾，所以 x= . 同理， y= ， z= .因此 x, y, z 被 , , , 唯一确定.二、矢量的线性关系1. 定义对于 n (n1)个矢量 , , , ，如果存在不全为零的 n 个数 1, 2， , n, 使得1 +2 +n = ,那么 n 个矢量 , , , 叫做线性相关. 矢量 , , , 线性无关是指，只有当 1 2 n0 时，上式才成立 . 2. 判断方法推论 1 一个矢量 线性相关的充要条件是 = . 证明：由矢量线性相关的定义即得.定理4矢量 , , (n2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合. 证明：设 , , , 线性相关，则 1 +2 +n = ,且 1, 2， , n 不全为零，不妨设 n 0，那么 = ，即 是其余矢量的线性组合. 反过来，设 n 个矢量 , , , 中有一个矢量，不妨设 是其余矢量的线性组合，即 =1 +2 +n-1 ，即 1 +2 +(1) = ,且 1, 2， , (1) 不全为零,因此 , , , 线性相关.定理 5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关. 证明：设一组矢量 , , , ，, (sr )中，有一部分矢量 , , , 线性相关，那么存在不全为零的 n 个数 1, 2， , s, 使得1 +2 +s = ,即 1 +2 +s +0 +r = ,且 1, 2， , s不全为零.所以这一组矢量 , , , ，, 线性相关.推论 2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关. 证明：由推论 1 和定理 5 即得.根据矢量的分解定理和线性相关概念，可得如下定理：定理 6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关. 定理 7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关. 定理 8 空间任何四个矢量总是线性相关. 推论 3 空间四个以上矢量总是线性相关. 证明：由定理 5 和定理 8 即得.例 1. 设一直线上三点 A, B, P 满足 (1), O 是空间任意一点，求证：证明：如图 1-11，因为 , ,所以 ( ),(1+) + , 所以 .例 2. 在 ABC 中，设 ， ， AT 是角 A 的平分线（它与 BC 交于 T 点），试将 分解为 , 的线性组合.分析：如图 1-12，利用三角形的角平分线定 理.解：因为 ,且 与 方向相同，所以 .由上题结论有 .例 3. 用矢量法证明： P 是 ABC 重心的充要条件是 + + .分析：如图 1-13，利用三角形重心的性质. 证明： ) 若 P 为 ABC 的重心，则2 + , 从而 + = ,即 + = .) 若 + = , 则+ ,取 E， F， G 分别为 AB， BC， CA 之中点，则有 ( + ).从而 2 . 同理可证 2 , 2 .故 P 为 ABC 的重心. 例 4. 证明三个矢量 +3 +2 , 4 6 +2 ， 3 +12 11共面，其中 能否用 , 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.证明：题中的矢量 , , 不共面，即它们线性无关. 考虑表达式 + +v ，即 ( +3 +2 )+ (4 6 +2 )+v (3 +12 11 ) ,或 ( +43 v) +(36 12 v) +(2+211 v) .由于 , , 线性无关，故有解得 10， 1， v2.由于 100，所以 能用 , 线性表示 .例 5. 如图 1-14， , 是三个两两不共线的矢量，且 + ，试证 A, B, C 三点共线的充要条件是 +1. 证明： ) 因为 A， B， C 共线，从而有/ ,有 m1, 使 m , m ( ),(1+m) m , .但已知 . 由 对 , 分 解的唯一性可得 , 从而 + + 1. ) 设 +1. 则有 (1 )= +( ), ( ),所以 ,从而 / .所以 A， B， C 三点共线. 例 6. 梅尼劳(MeneLaus)定理：如图 1-15， A， B， C分别是 ABC 三边 BC， CA， AB 上的定比分点，如果它们把 ABC 的边分成定比 , , v ,那么 A， B， C三点共线的充要条件是 v1.证明：由 , , v ,可知 , , v ,由第 1 题有 , = ,从而 (1+ ) , v v( + ),所以 , + .由上题结论知三点 A， B， C共线的充要条件是+ 1，化简即得 v1.作业题：1. 在平行四边形 ABCD 中，(1) 设对角线 , ，求 , , , ;(2) 设边 BC 和 CD 的中点为 M 和 N，且 , ,求 , .2. 在 ABC 中，设 , , D、 E