2004天津市人文类竞赛真题及答案

2004 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 设函数 ，则函数 的定义域为 。xf1ln)( xff12 )2,1(,(或21x2 设 ，则 。82limxaaln3 设要使函数 在区间 上连续，则 。0,)(cos)21xxf ),(a21e4 。10dx1545 设函数 由方程 所确定，则 。)(y0)cos(exyyx dydxyyx)sin(e二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 已知 ，则 ( A )1etan)(lim20xxf )lim0xf（A） 12； （B）3； （C） 1； （D ）0。2 设 ，若 ，则（ B ）,aaaxxpln)(li1（A） ； （ B） ； （C） ； （D） 。1p22p21p3 设函数 在 的一个邻域内有定义，则在 点处存在连续函数 使)(xf0 0x)(xg是 在 点处可导的（ C ）)(0gfx)(xf0（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。4设 f (x)在a,b上连续，且 f (x) 0 为周期的连续函数，且 。求f),(TAdxf0)(。 （本题 8 分）xdtx0)(lim解：对于充分大的 x 0，必存在正整数 n，使得。Tx)1(又 ，),21(,)()()()( 0)1(200 kAdtfktfdtftfdtf TkTTkT故有 ，AntfnAx0及 。nTtfxdTt T)1()()1()( )1(0注意到： ，Tnn)(limli且当 时， 。由夹逼定理可知nx。Axdtfx0)(li八、求使得对所有正整数 n 都成立的不等式 nn1e1中的 的最大值，以及 的最小值。 （本题 9 分）解：由于欲使 ，即nn1e1，nn1l)(l)(即 。n1l因此，只需求 的最大值和最小值。n1l命 。则 。,0(,ln)(xxf xxf 1ln)(1)(22命： ，显然 。221l)g0g，且 ；xxx)(l)(2 )(。 （此处利用了不等式：当 时， 。 ）01)n(x)1ln(x由此知：当 时， 单调递减，即 。从而可知 单调递减， 。所以x(xg 0)(gg0(g，即在 上 单调递减，因此在区间的右端点处取得最小值，最小值为0)(f,()f。12ln)(f左端点处的右极限即为最大值。 1)1ln(im)(li00 xxfx九、设正整数 ，证明方程 至少有两个实根。 （本题 7 分） 012122 xaannn证明：设 ，则其在区间 上连续，且 ，)( 1212xxaxf nn ),(1)0(f。lifx因而，当 时，必存在 ，使得 。由连续函数的介值定理可知，至少有一点x01x0)(1xf，使得 。),0(1)(1f同理，当 时，必存在 ，使得 。由连续函数的介值定理可知，至少有一点x2x)(2xf，使得 。),(20)(2f综上可知，方程 至少有两个实根。0121xaxannn十、设函数 在闭区间 上具有非零的二阶导数，且 ，证明存在唯一的)(f,b )(bfaf，使得 。 （本题 8 分）),(ba0)(f证明：存在性：因为 在闭区间 上具有非零的二阶导数，所以 必不为常数，且具有连续的一阶导函数。)(xf,ba)(xf又 ，所以 在闭区间 上的一个最值必在区间内部，即至少存在一点 为函ba)(xf, ),(ba数 的极值点，因此必有 。)(xf 0唯一性：（用反证法）若存在 使得 ，则导函数 在区间 （或 ）上满),(ba0)(f )(xf,足罗尔定理的条件，也就是说至少存在一点 ） ，使得 。这与已知条件),或c0c在闭区间 上具有非零的二阶导数矛盾。故原命题为真。)(xf,ba十一、设 。证明 存在，并求之。 （本题 9 分）),21(2)1(,0nxnn nxlim证明：证明 存在：nxlim注意到：对于一切的 n 恒有，121nnxx，1nn因此知数列 有界。又nx，)2(2222 1111 nnnnnnn xxxx ，)(1211nnnx，)(1012x于是可知 与 同号，故当 时，数列 单调递增；当 时，数列 单nx1