2007天津市人文类竞赛真题及答案

2007 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 设函数 ， ，且当 x0 时， 与 为等价无穷小，xtafsin02d43xgxfg则 a = 3 。2 设函数 在 点处取得极小值，则 。x2y00ln213 。01dee4 设 f (u)具有二阶导数，且 ，则 。2xfy2dy224xfxf5 设曲线 ，则其上垂直于直线 的切线方程为 。532xy 016063y二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 设函数 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ A ）xf（A） ； （B） ； tft0d xtftf0d（C） ； （D） 。xf2 22 设函数 具有一阶导数，下述结论正确的是（ D ）（A）若 只有一个零点，则 必至少有两个零点；xf xf（B）若 至少有一个零点，则 必至少有两个零点；（C）若 没有零点，则 至少有一个零点；xfxf（D）若 没有零点，则 至多有一个零点。3 设函数 在区间 具有二阶导数，满足 ， ，又 ，则当xf,00fxfba0时恒有（ B ）bxa（A） ； （B ） ；aff bff（C） ； （D ） 。b ax4函数 在闭区间 上的第一类间断点是 x =（ B ）extan1x1f ,（A） ； （B）0；2（C）1； （D ） 。25 设函数 具有一阶导数， 是曲线 的拐点，则（ C ）xf 00x,fxxfy(A) 必是 的驻点；0(B) 必是 的拐点；0xf,xfy(C) 必是 的拐点；0(D) 对任意 与 ， 的凹凸性相反。0x0xfy三、设 a 为常数，求 。 （本题 7 分）and1silim解：由积分中值定理有 ， （ 位于 n 与 n+a 之间） ，于是sinixan。aan 1silimd1ili四、已知曲线 与曲线 在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并xfyxtyarctn0e2求极限 。 （本题 7 分）nfn2lim解：由已知，显然有 ，且在点(0,0)处0f，101e2arctnf,xf因此，所求切线方程为 y = x。202lim2li fnffnfn五、设函数 在区间 内有定义，且对任意 都有 ，又xf,0,xyyfxyf存在且等于 a ，试讨论 在任意 时的可导性，并求 。 （本题 8 分）1f xf,0xf解：命：y = 1，则由 得 。yfy1f故当 x 0 时，有xafxff xfxfxfxffxx 11lim 1limlimli0 000六、设 ，求 。 （本题 8 分）fsin230nfn解：利用牛顿莱布尼兹公式： 。nknknn uvuvuuv C1设 ，x,usi22注意到： ；30, j,j，2sinsin2xxv， 1ii11nn。 2si2si2 nxxvnn故， 2sin21nsin2sinsin22 xxxx于是有 。3si2i10 f nn 七、设当 时， ，且 ，试确定常数 a 的值，使 在 x = x2xfxaff1f0 点处可导，并求此导数。 （本题 8 分）解：首先写出 在 x 2 时， 。 （本题 8 分）02e2xx证明：设 ，e,xx，02e4e222 。xxxee2 又设： ，则 。ufff