2017年自考高等数学(工专)全章节考试试题及答案解析

第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。12 函数的概念函数的定义：y=f(x)(xD),其中 x 是自变量，f 为对应法则，y 为因变量，D 是定义域。 （对任意）xD,!(有唯一)y 与 x 对应。y 所对应的取值范围称为函数的值域。当自变量 x 取平面的点时，即 x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当 x 取空间中的点 x=(x1,x2,x3)时，f(x)是三元函数。函数的表示法主要有两种。其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。例如 y=f(x)=ex,符号函数，其中后者是分段函数。其二是图示法。如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。给定一个函数 y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于 0，对数函数的真数应大于 0 等情形。13 函数的简单性态1单调性：称函数 f(x)在区间 I（含于定义域内）单调增，若x 1,x2I,当 x11,a1),定义域为（-,+）,值域为(0,+).当 a1 时，函数为单调增；当 01,a1), 它是指数函数的反函数。其定义域为(0,+),值域为(- ,+),图像始终经过点（1,0）。当 a1 时，函数为单调增；当 0a1 时，函数为单调减。特别地，以 e 为底的对数函数称为自然对数，记为y=lnx.自然对数在高等数学的学习中占有很重要的地位。3幂函数：y=x a (a 为任意实数)。其定义域、值域、单调性等应视 a 的取值而定。注意，一般地有 或。所以 y=ealnx.可见，幂函数是指数函数 y=eu和对数函数 u=alnx 的复合函数。4三角函数正弦函数：y=sinx, -x+, 值域为-1,1, 它是周期为 2的奇函数。余弦函数：y=cosx, -x+, 值域为-1,1, 它是周期为 2的奇函数。正切函数：y=tgx, x(2k+1)/2,k=0,1, , 值域为（ -,+）, 周期为，它在 内单调增，它为奇函数。余切函数：y=ctgx,xk,k=0,1, , 周期为的奇函数。它在（0,）内单调减。正割函数：y=secx,x(2k+1)/2, k=0,1, ,其周期为 2。余割函数：y=cscx, xk,k=0, 1, , 周期为 2。5反三角函数反正弦函数：y=arcsinx, x-1,1, 值域为-/2, /2,它为单调增的奇函数。反余弦函数：y=arccosx, x-1,1, 值域为0, 它为单调减的偶函数。反正切函数：y=arctgx, x(-,+),值域为-/2, /2, 它为单调增的奇函数。反余切函数：y=arcctgx, x(-,+),值域为0, ,它为单调减的奇函数。1-7 函数关系的建立运用数学工具解决实际问题时，往往需要先找出问题中变量之间的函数，然后对它进行研究，这是解决实际问题重要的一步。至于如何建立函数关系，并无一定的法则可循，只能根据具体问题作具体处理。第一章（函数）之例题解析例 1.1 已知函数 。求 f(x)的定义域及 f(-x2).解：由 x0 及 1-x20 得，其定义域为-1,0)(0,1; 例 1.2 证明：f (x)=sinx 在(-/2,/2)内单调增。证明：设 x1,x2(-/2,/2),x1x2,则 f(x 2)-f(x1)=sinx2-sinx1= .故 f (x)=sinx 在(-/2,/2)内单调增。例 1.3 证明：对称区间-t,t上的任一奇函数与任一偶函数的乘积是奇函数。证明：设 f(x)是-t,t上的奇函数，g(x)是-t,t上的偶函数，则 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).所以 f(-x)g(-x)=-f(x)g(x).即 f(x)g(x)是奇函数。例 1.4 求 的反函数。解：由 得 x=y 3-1.将上式中 x 与 y 互换即得所求的反函数为 y=x3-1.第一章（函数）之自我检测测 1.1 单项选择题1函数 的定义域为 （ ）A. (0,1) B. (0,1)(1,4) C. (0,4) D. (0,1)(1,42. 下列各对函数中为同一函数的是 （ ）A. lnx2 与 2lnx B. 与 C. 与 D. x 与3. 下列函数中为奇函数的是 （ ）A. |x|-x B. C. ex+e-x D. xtgx4. 的周期是 （ ）A. 2 B. C. 4 D. /25. 下列函数中，在其定义域内单调减的是 （ ）A. B. 2- C. x2-x-1 D. ex-16. 函数 的反函数为 （ ）A. B. C. D. 7. 设 , 则 （ ）A. B. C. D. 8. 若 , 则 （ ）A. B. C. D. 9. 设函数 ， 则 g(x)= ( )A. B. x2 C. 2x D. 答案1. D 2. B 3. B 4. C 5. B 6. D 7. C 8. D 9. C测 1.2 证明：y=2 x-1 在(0,+ )内单调增。测 1.3 设 f(x)=x2+9, g(x)=4+ 。证明：fg(4)=5gf(4).测 1.4 某公共汽车路线全长为 20 公理，票价规定如下：乘坐 4 公里以下者收费 5 分，乘坐 4 至 10 公里者收费 1 角，乘坐 10 公里以上者收费 1 角 5 分。试将票价表成路程之函数。提示 表成分段函数。测 1.5 在半径为 r 的球面内嵌入一内接圆柱。试将圆柱的体积表为其高的函数，并确定此函数的定义域。答案第 2 章（极限与连续）之内容方法极限理论是高等数学的基石，函数连续性的概念就是在它的基础上建立起来的。极限也是研究导数、积分、级数等必不可少的基本概念和工具。本章主要研究数列的极限、函数的极限、无穷小量和无穷大量以及函数的连续性等问题。重点是函数的极限概念及极限的运算，连续函数的概念与性质及初等函数的连续性。难点是极限概念。2-1 数列的极限1、 数列：当自变量 n 按正数 1，2，3， n，增大的顺序依次取值时，所得到的一串有序的函数值： 称为数列。记 ，这数列常记为 或 ，数列中的每一项称为项， 称为数列的通项。至于几个较简单的概念，如单调增、单调减数列，摆动数列，有界数列等，这里不详细列出。数列极限的 定义：如果一个数列 和一个不确定的常数 A 具有如下的关系： 使当 时，则称 A 为数列 当 时的极限，记作 ，这时也称 收敛。若 无极限，则称之为发散数列。应当注意：数列的极限反映通项的变化趋势。通俗的说，就是 要多接近 A 就有多接近 A；而上述定义则是这种通俗说法的数学表述。数列的极限具有以下一些性质：唯一性，有界性，四则运算性质。另外，单调有界数列必有极限是一条存在性准则。以此为基础，得到了一个重要极限：。求数列的极限时，对于较简单的数列，可根据数列的通俗说法看出其极限值；另外一些可根据极限的四则运算性质求得，如。利用重要极限求极限时，一定要化为其规范形式，如。还有一些用到极限的存在性原则或一些技巧，如 可用单调有界原则或夹逼准则求得，而则用到分子分母同乘有理化因式。2-2 函数的极限函数的极限比数列的极限要复杂一些。从自变量的变化来看，分自变量趋于无穷大和自变量趋于有限值两种情形。第一种情形又有 和 三种情形，第二种情形有左右极限的情况。的 定义：若定义于 的一个函数 与一个确定的常数 A 有如下的关系：，使当 时， 。的 定义：若定义于 的某一去心邻域的函数 与一个确定的常数 A 有如下的关系：，使当 时， 。左极限 的 定义：若定义于 左侧某一邻域（不含 在内）的函数 与一个确定的常数 A 有如下的关系： ，使当 时， 。类似的可定义其它形式的极限及右极限 。从极限的定义容易得出，函数极限存在的充分必要条件是其左右极限存在且相等。象数列的极限一样，函数的极限也具有唯一性、有界性和四则运算性质。此外，函数的极限还具有保号性，即若 ，则存在某一去心邻域 ，使当 时， （其中 h,k 为常数）。反之，若在 某一去心邻域内 ，则 。由保号性可推出函数极限的一条存在准则夹逼准则，即如果已知 时，函数 有同一极限 A，且当 时有：，则当 时， 的极限也存在且等于 A。利用夹逼准则可证明另一个重要极限 。对于函数，也有相应的重要极限： 。求函数的极限的方法很多，一般来说可考虑用单调有界准则或夹逼准则，四则运算性质和两个重要极限以及函数的连续性。特别是学习微分学后有了洛必塔法则对于 型或 型的未定式的极限的计算就更方便了。有些还可利用函数的泰勒展开式计算。2-3 无穷小量与无穷大量极限为零的函数称为无穷小量，无穷小量的倒数称为无穷大量。用无穷小量可以描述极限：是无穷小。在同一极限过程中，有限个无穷小的代数和仍然是一个无穷小；有限个无穷小的乘积仍然是无穷小；无穷小与有界函数的乘积仍未无穷小。无穷小的比较在求函数的极限，研究微分中值定理及函数的泰勒展开式中得到广泛的应用。设 是同一极限过程（如 ）或 的无穷小。（1） 如果 ，则称 为 的高阶无穷小；（2） 如果 （ 为非零常数）则称 和 为同阶无穷小。（3） 如果 ，则称 和 为等价无穷小。例如 sinx 与 x 当 时是等价无穷小。在求函数的极限时，为简化计算，可用等价无穷小去替代原无穷小。2-4 函数的连续性函数的连续性概念以极限概念为基础。 当 的极限反映了 在 附近的变化趋势，它可以不考虑在 处有无定义，如果有定义， 的极限也可以不为 。而函数 在 的连续性，直观上讲应有。这意味着 必须满足以下三条，才有 在 处连续： 在 有定值 ； 存在； 。基于左右极限的概念，可得左右连续的概念：在 处左连续即 ；在 处右连续即 ；显然， 在 处连续的充分必要条件是它既左连续又右连续。区间中的连续函数是指函数在区间中每点都连续。仔细分析函数的连续性的概念，可得函数在下列三种情形下不连续（即间断）： 在 处无定义； 不存在； 有定义且 也存在，但 。由此可得间断点分成以下几类： 无穷间断点： ，如 且 在 处无定义。 跳跃间断点： 与 存在但不等，例如 是 的跳跃间断点。 可去间断点： 存在但 无定义或 ，则可补充或修改 的定义为，则 就在 处连续了。第一类间断点：左右极限均存在的点，如跳跃间断点和可去间断点属此类。第二类间断点：不属于第一类的间断点，如无穷间断点。2-5 连续函数的性质，初等函数的连续性在某点连续的函数具有以下性质：连续函数的四则运算是连续函数；两连续函数的复合是连续函数；在区间上连续且单调的函数的反函数也是单调连续函数；基本初等函数和初等函数在其定义域内是连续的。因此可利用函数的连续性求函数得极限。此外，闭区间上的连续函数还具有以下几条重要性质；最大值、最小值定理： a,b上的连续函数必在 a,b上取最大值和最小值。介值定理： a,b上的连续函数 必取得介于最大值和最小之间的任一值。零点定理： a,b上的连续函数，如果在区间两端点的值异号，则必在区间内取得零值。第 2 章（极限与连续）之例题解析例 2.1 利用单调有界数列准则证明数列的极限存在并求出该极限。证明：易知 且 ，所以 单调增。利用数学归纳法易证 ，据单调有界准则知 有极限。设 ，则由 得。例 2.2 用夹逼准则证明。证明：易知而 ，故 。例 2.3 计算下列极限。1. ； 2. ； 3. ； 4. 。解：1. 。2. 。3. 。4. 。例 2.4 计算下列极限1. ， 2. 3. ， 4.解：1. 。2. 。3. 。4. 。例 2.5 证明方程 至少有一根介于 1 和 2 之间。证明：令 ，则 在1，2上是连续函数。由于 ，据零点定理知，在1，2内至少有一个根。例 2.6 讨论函数 及 ，当 的极限及在 处的连续性。若 为间断点，则指出其间断点的类型。解： 在 处无定义，因而不连续，但 ，所以 ，是 的可去间断点。此时作，则 在 处就连续了。在 处也无定义，因而 是 的间断点，又 ，所以 不存在，且 是 的跳跃间断点。例 2.7 当 时，无穷小 和 ； 是否同阶