一个双列滚动轴承的非线性平衡问题的统一和简化处理

一个双列滚动轴承的非线性平衡问题的统一和简化处理。第1部分：滚动轴承模型摘 要 ： 为 了 增 加 轴 承 -轴 系 统 的 刚 度 ， 轴 通 常 被 一 系 列 的 双 排 滚 动 轴 承 来 支 撑 。 随 着 小 工 作 量 的多 排 滚 动 轴 承 的 出 现 ， 提 出 了 一 种 综 合 型 的 模 型 ， 这 种 模 型 能 够 测 定 内 部的 相 互 作 用 力 。 轴 承 套 圈 之 间 弹 性 形 变 量 是 用 矩 阵 向 量 的 形 式 来 表 示 的 。各 种 双 排 滚 子 轴 承 类 型 进 行 了 分 析 ， 如 圆 锥 滚 子 轴 承 ， 圆 柱 滚 子 轴 承 ， 球面 滚 子 轴 承 ， 调 心 球 轴 承 ， 角 接 触 球 轴 承 。 应 考 虑 基 本 的 内 部 几 何 形 状 （包 括 内 部 间 隙 ） 和 载 荷 的 影 响 （ 就 初 始 轴 向 压 缩 而 言 ） 。关 键 词 ： 双 列 滚 动 轴 承 ， 五 个 自 由 度 ， 负 荷 分 布 ， 矩 阵 向 量 法符 号 ：A 内 圈 和 外 圈 滚 道 的 曲 率 中 心 之 间 的 距 离 （ m）ACBB 角 接 触 球 轴 承CRB 短 圆 柱 滚 子 轴 承dm 节 距 圆 直 径 （ m）D 滚 动 体 直 径 （ m）DB 背 对 背 配 置DF 面 对 面 配 置e 轴 承 列 中 滚 子 的 惯 性 坐 标 系 原 点 之 间 的 轴 向 距 离E0 有 效 弹 性 模 量 （ N/m2）Fx,Fy,Fz 轴 承 受 到 载 荷 的 力 分 别 沿 X,Y,Z方 向 的 分 力 (N)K 对 于 线 接 触 （ 定 义 单 位 长 度 上 ） （ N/m19/9） 和 点 接 触 (N/m3/2)在 固 定 载 荷下 的 位 移L 滚 动 体 有 效 长 度 （ m）M 轴 承 倾 覆 矢 量 力 矩n 幂 指 数 依 据 接 触 形 势 而 定 ， 点 接 触 用 3/2,线 接 触 用 10/9n 单 位 向 量q 接 触 载 荷 强 度 （ N/m）q 接 触 载 荷 强 度 矢 量Q 接 触 载 荷 （ N）Q 接 触 载 荷 矢 量ri 内 滚 道 曲 率 半 径 （ m）r 惯 性 坐 标 系 中 的 标 称 位 置 矢 量r 惯 性 坐 标 系 中 的 可 替 代 位 置 矢 量R 从 滚 动 体 保 持 架 中 心 到 轴 承 轴 线 的 距 离 （ m）SABB 调 心 球 轴 承SRB 球 面 滚 柱 轴 承T 从 滚 动 体 到 惯 性 系 的 矩 阵 变 换TRB 圆 锥 滚 子 轴 承u 游 隙 (m)x 滚 动 体 轴 向 坐 标 （ m）（ x,y,z） 滚 动 体 坐 标 系（ X,Y,Z） 轴 承 惯 性 坐 标 系 接 触 角 （ rad）p 轴 向 游 隙 /轴 承 一 端 压 紧 （ m）x,y,z 分 别 沿 x,y,z方 向 的 轴 承 相 对 线 性 位 移 (m) 轴 承 的 位 移 向 量 轴 承 套 圈 之 间 总 的 距 离 （ m） 半 圆 锥 滚 子 角 度 （ rad）轴 承 分 别 围 绕 Y,Z方 向 的 相 对 倾 斜 角 度 (rad),yz外 部 替 换 到 外 部 固 定 的 变 换 矩 阵 外 圈 滚 道 在 滚 子 保 持 架 中 的 位 置 矢 量 曲 率 总 和 （ m-1）滚动体的角位置(rad)脚 注 ：a 轴 向i 内 圈m 轴 承 列o 外 圈r 径 向s 轴 承 载 荷 矢 量 的 组 成 部 分1. 引言在 一 些 机 械 应 用 领 域 双 列 滚 子 轴 承 被 使 用 ， 例 如 齿 轮 箱 ， 机 床 主 轴 或者 一 些 旋 转 系 统 中 ， 了 解 滚 动 体 之 间 的 载 荷 分 布 ， 以 及 载 荷 是 随 着 单 个 滚动 体 长 度 的 变 化 而 变 化 的 这 种 理 论 是 十 分 重 要 的 。 这 就 要 考 虑 滚 动 体 滚 道的 接 触 负 荷 变 形 和 轴 承 平 衡 方 程 的 非 线 性 问 题 了 。滚 动 体 的 平 衡 问 题 已 经 成 为 许 多 研 究 人 员 和 设 计 师 研 究 的 主 题 ， 有 关滚 动 体 的 文 献 中 提 供 了 三 种 确 定 轴 承 内 部 载 荷 分 布 的 方 式 ：方 式 1： 当 轴 承 套 圈 之 间 的 载 荷 分 布 能 够 分 析 时 ， 就 总 的 方 法 来 说 第 一种 方 法 应 是 一 个 整 体 的 处 理 方 式 。 基 于 这 种 方 式 ， 基 于 这 一 方 法 ， Stribeck把 对 滚 动 轴 承 的 机 械 相 互 作 用 （ 只 有 径 向 加 载 ） 理 论 研 究 追 溯 至 1907年 。之 后 ， Harris1用 Sjovall的 积 分 思 想 分 析 了 滚 动 轴 承 在 两 个 自 由 度 上 承 载的 问 题 。 最 近 ， Houpert3已 经 丰 富 了 Harris的 研 究 成 果 ， 这 种 成 果 是 单 列球 和 滚 子 在 五 个 自 由 度 上 的 承 载 问 题 ， 把 数 据 输 入 电 脑 这 种 方 式 能 够 完 全替 代 真 正 的 实 验 。方 式 2： 在 第 二 种 方 式 中 ， 独 特 的 相 互 配 合 和 每 一 个 滚 动 体 滚 道 赫 兹 接触 刚 度 都 要 考 虑 到 。 每 一 个 轴 承 中 滚 动 体 的 位 置 与 滚 柱 轴 承 上 三 个 任 意 的滚 子 和 球 轴 承 上 任 意 两 个 球 相 联 系 的 。 换 句 话 说 ， 这 种 方 式 要 求 我 们 采 用 3Z来 补 充 滚 柱 轴 承 的 未 知 滚 动 体 ， 对 于 球 轴 承 要 采 用 2Z来 补 充 ， 其 中 Z是 滚 动 体 的 个 数 。 许 多 已 经 致 力 于 分 析 程 序 发 展 的 研 究 是 以 这 种 方 式 为 基础 的 。 考 虑 到 内 圈 五 个 相 对 位 移 Liu4提 出 了 很 好 的 分 析 方 法 用 来 推 导 圆 出锥 滚 子 轴 承 的 平 衡 分 析 方 法 。 DeMuletal5,6丰 富 和 发 展 了 Liu的 球 和 滚 子轴 承 的 模 型 。 这 些 工 作 者 为 滚 动 体 和 轴 承 确 定 了 雅 克 比 矩 阵 。 最 近 以 来 ， Bourdonetal7,8为 轴 承 的 静 态 非 线 性 特 性 提 出 了 一 种 普 遍 的 理 论 方 法 。 这 种方 式 把 轴 承 的 每 一 个 滚 动 体 定 义 一 个 元 件 （ 有 限 元 分 析 ） 作 为 主 要 组 成 部分 。 使 用 这 种 方 法 开 发 的 模 型 是 相 当 精 密 的 ， 并 且 每 个 套 圈 和 滚 动 体 都 需要 三 个 平 衡 方 程 来 确 定 。方 式 3： 第 三 个 方 式 是 最 高 效 的 方 式 ， 这 种 方 式 以 同 时 求 解 出 每 一 个 滚动 体 （ 包 括 保 持 架 ） 的 六 个 动 态 方 程 为 主 要 部 分 ， 这 种 方 式 是 由 Gupta9实现 的 ， 但 是 几 乎 大 多 精 密 的 方 式 都 要 求 大 量 的 计 算 机 运 作 和 复 杂 的 数 据 来进 行 数 据 分 析 。 这 种 方 法 对 单 列 滚 动 体 的 进 一 步 研 究 是 最 适 合 的 ， 这 种 方法 独 立 于 轴 承 的 工 作 环 境 。在 以 前 的 研 究 的 基 础 上 ， 这 篇 论 文 提 出 了 一 种 新 的 通 用 理 论 方 法 ， 这种 方 法 适 用 于 在 所 有 形 式 的 双 列 滚 动 轴 承 中 模 化 的 静 态 机 械 作 用 。 这 种 模型 综 合 了 上 面 方 式 1和 2所 呈 现 的 理 论 。 因 此 ， 这 种 理 论 的 构 想 可 以 分 成 两部 分 ：首 先 ， 所 有 的 （ 套 圈 之 间 的 总 的 计 算 方 法 ） 几 何 相 互 作 用 能 用 矢 量 和矩 阵 的 方 式 确 切 地 阐 述 。其 次 ， 正 常 触 点 压 力 只 能 通 过 其 中 一 个 套 圈 的 平 衡 方 程 来 估 算 （ 换 句话 说 就 是 内 圈 或 外 圈 ） 。使 用 赫 兹 弹 性 接 触 理 论 这 种 传 统 的 方 法 是 为 了 表 示 接 触 载 荷 与 位 移 的关 系 。 对 于 一 个 滚 子 轴 承 而 言 ， 目 前 的 分 析 对 滚 子 和 滚 道 的 轮 廓 修 正 线 （无 修 正 ） 或 更 复 杂 的 轮 廓 线 （ 鼓 形 ， 对 数 型 等 ） 是 有 效 的 ， 自 从 切 片 技 术被 用 来 测 定 接 触 压 力 分 布 和 相 关 的 弹 性 挠 度 。 一 个 简 单 的 直 线 轮 廓 对 于 预测 轴 的 挠 度 是 足 够 的 ， 但 是 可 能 导 致 最 大 水 平 应 力 的 低 估 ， 这 种 低 估 发 生在 受 灾 最 剧 烈 的 滚 动 体 的 力 矩 载 荷 端 部 ， 正 如 以 前 的 研 究 所 显 示 的 那 样 ，例 如 Ioannouetal10。在 这 种 方 式 下 ， 由 于 每 一 个 滚 动 体 精 确 的 平 衡 被 打 破 ， 使 得 计 算 时 间变 得 有 限 。2. 几何参数双 列 滚 动 轴 承 的 有 以 下 几 种 形 式 ：(a) 圆 锥 滚 子 轴 承 （ TRBs） ，(b) 圆 柱 滚 子 轴 承 （ CRBs） ，(c) 调 心 滚 子 轴 承 （ SRBs） ，(d) 调 心 球 轴 承 （ SABBs） ，(e) 角 接 触 球 轴 承 （ ACBBs） 。用 来 分 析 轴 承 的 主 要 参 数 包 括 滚 动 体 的 直 径 D和 滚 动 轴 承 滚 动 体 的 有 效长 度 L， 滚 动 体 的 数 量 ， Z， 节 距 圆 直 径 dm， 滚 道 沟 曲 率 半 径 ri和 ro， 接 触角 和径向游隙u。3. 套圈之间的总的相对方式用 矢 量 和 矩 阵 来 描 述 滚 动 体 之 间 的 位 移 分 布 。 为 了 方 便 计 算 引 入 以 下坐 标 系 统 ：(1) 以 内 圈 的 轴 线 作 为 惯 性 坐 标 系 (X,Y,Z)的 一 个 轴 线 ， 并 且 坐 标 原 点 与 轴 承 中 心 重 合 ；(2) 两 个 局 部 坐 标 系 (x1,y1,z1)和 (x2,y2,z2)各 自 附 属 于 1列 和 2列 滚 动 体 的 几何 中 心 ， 除 了 每 一 个 圆 锥 滚 子 因 为 坐 标 系 的 原 点 相 当 于 滚 动 体 中 截 面的 中 心 。所 有 的 坐 标 系 都 是 右 手 系 的 。 通 常 ， 人 们 认 为 滚 动 轴 承 的 外 载 荷 是 由内 圈 承 受 的 ， 从 而 可 以 把 外 圈 固 定 在 空 间 方 便 地 对 轴 承 进 行 平 衡 分 析 。 通常 情 况 下 ， 轴 承 在 五 个 自 由 度 方 向 上 受 载 ： 三 个 沿 坐 标 轴 方 向 的 力 Fx,Fy和Fz， 还 有 两 个 倾 覆 力 矩 My,和 Mz。 因 此 ， 内 圈 的 运 动 通 过 线 性 位 移 x,y和 z还 有 旋 转 角 度 和 来表示。当内圈固定不动并且外圈有沿X,Y,Z 方向的位移( -xy，- ，- ，- ，- )时，滚动体之间的机械作用基本上是相同的。 xyzyz承载能力和对齐方式无 低 中 高 图.1 双列滚动轴承受力分析和相对应的坐标系统(a)圆锥滚子轴承（背对背）(b) 圆锥滚子轴承（面对面）(c)圆柱滚子轴承(d)调心滚子轴承(e)角接触球轴承(f)调心球轴承首先，正如图1所表示，与决定套圈之间研究方式相联系的矢量和矩阵将被引用于双列滚动轴承的大部分型号。外滚道接触点的位置用位置矢量符号r o来表示名义上的位置，用r o表示位移矢量，在惯性系统中用(X,Y,Z) 表示向量。轴承套圈之间总的(变形 )分析方法现在能够表示为如下：（1）()momorn在 上 述 公 式 中 下 标 o和 m分 别 表 示 外 滚 道 和 轴 承 列 （ m=1指 左 边 的 那 一列 ， m=2指 右 边 的 那 一 列 ） 而 nom表 示 与 套 圈 和 滚 子 接 触 面 垂 直 的 单 位 矢 量， 如 图 2所 示 。图.2 外圈和滚动体的相互作用对 于 外 滚 道 上 的 一 个 接 触 点 ， 它 的 位 置 矢 量 ro是 通 过 坐 标 (X,Y,Z)表 示的 ， 如 下 所 示 ：(2)romoom在 上 式 中 代 表 外 圈 的 位 移 矢 量 ， 表 示 外 圈 的 转 动 变 换 矩 阵 。o对 于 相 同 的 接 触 点 标 称 位 置 矢 量 可 以 用 惯 性 坐 标 系 中 的 (X,Y,Z)表 示o为 如 下 ： (3),ombomrT在 上 式 中 是 惯 性 系 中 滚 子 的 坐 标 系 统 原 点 的 位 置 矢 量 ； 矢 量 的 位bmr om置 由 滚 子 坐 标 系 的 (xm,ym,zm)确 定 ， 其 中 m=1或 2， 滚 子 从 外 滚 道 进 入 接 触状 态 。 是 从 坐 标 系 T(xm,ym,zm)到 (X,Y,Z)的 转 换 矩 阵 。 通 过 方 程 式 (1)和 (3)的 联 合 ， 总 的 相 关分 析 方 式 （ 或 变 形 ） 能 通 过 以 下 方 式 获 得m(4)obmomrTn依 据 图 1给 出 的 每 个 滚 动 体 的 各 种 形 式 ， 给 出 矢 量 ， 和 还 有 转 换bro矩 阵 和 如 下 。omT3.1 定义向量（ 5）12oxpyzc在 上 式 中 表 示 各 列 轴 承 之 间 的 初 始 轴 向 挤 压 力 ； 系 数 c1和 c2依 据 轴p承 的 型 号 而 定 ，对 于 TRBs, ACBBs和 SRBs c1=1对 于 CRBs c1=0对于CRBs, ACBBs 和 SRBs c 2=0对 于 TRBs (DB) c2= 1对 于 TRBs (DF) c2= 1（ 在 最 后 两 个 中 左 边 一 列 用 大 写 字 母 ， 右 边 一 列 用 小 写 字 母 。 ）(6)3cosinbmerRR指 的 是 滚 动 体 原 点 到 轴 承 轴 心 的 距 离 ， 指 的 是 滚 动 体 的 位 置 角 ， 系数 c3与 符 号 m有 关 系 。 所 以 ， 对 于 左 边 的 一 列 c3=-1（ 此 时 m=1） ， 对 于 右 边 的 一 列 c3=1（ 此 时 m=2） 。(7)34tan0oxDcD表 示 圆 锥 滚 子 轴 承 滚 子 的 二 次 平 均 直 径 ， 调 心 滚 子 轴 承 滚 子 的 最 大 直径 ， 圆 柱 滚 子 轴 承 、 角 接 触 球 轴 承 和 调 心 球 轴 承 的 滚 动 体 的 直 径 。 x是 沿 着轴 向 的 坐 标 长 度 ， e表 示 圆 锥 滚 子 圆 锥 角 的 一 半 (对 于 其