以浑沌动力理论为基础之集水区雨量预报

以 浑 沌 动 力 理 论 为 基 础 之 集 水 区 雨 量 预 报摘 要本 文 利 用 渾 沌 動 力 理 論 來 探 討 淡 水 河 流 域 三 峽 與 大 豹 兩 個 時 雨 量 站 之 渾 沌 特 性 ，經 由 相 關 維 度 之 計 算 ， 發 現 兩 測 站 均 具 有 渾 沌 特 性 ， 其 吸 子 維 度 分 別 為 2.65 與3.95。 本 研 究 進 而 利 用 其 具 有 非 線 性 特 性 來 建 立 相 空 間 雨 量 預 報 模 式 ， 首 先 經 由Renyi 熵 來 定 量 描 述 其 可 預 報 尺 度 分 別 為 3.6 與 2.6 小 時 ， 因 此 預 報 前 置 時 間 採 用 1至 3 小 時 。 本 文 進 一 步 利 用 馬 可 夫 轉 移 機 率 於 相 空 間 模 式 來 進 行 1 至 3 小 時 雨 量 預報 。 最 後 相 空 間 所 建 立 之 雨 量 預 報 模 式 ， 經 由 水 文 上 常 用 的 四 種 鑑 定 準 則 來 與 傳 統自 迴 歸 (AR) 模 式 進 行 比 較 ， 發 現 具 有 合 理 的 預 報 能 力 。WATERSHED RAINFALL PREDICTION BASED ONCHAOTIC DYNAMIC THEORYABSTRACTThe chaotic dynamic theory is applied to identifying the existence of chaoticity and developing the rainfall prediction model, using the hourly rainfall data collected from two raingauges in the Daishui river basin. Chaotic attractors of the two raingauges are 2.65 and 3.95. A rainfall forecasting model is then developed based on the nonlinear characteristics of rainfall. Their upper time scales of predictability are found to be 3.6 and 2.6 hours respectively based on Renyi entropy estimation. Hence, the leading time of rainfall prediction model is set to be one to three hours. A Markov chain transition probability is further introduced into the phase-space model to forecast one to three hours ahead rainfall. The result is evaluated by a traditional auto-regression (AR) and four commonly used criteria. It is concluded that the phase-space model with Markov chain probability performs better than the AR model.一 、 前 言降 雨 的 孕 育 與 發 生 為 一 非 常 複 雜 的 物 理 過 程 ， 其 在 時間 軸 上 是 不 可 逆 的 非 線 性 動 力 行 為 。 一 般 總 認 為 複 雜 現 象是 由 許 多 自 由 度 所 造 成 的 ， 因 此 被 分 析 作 為 隨 機 過 程 。 傳統 上 ， 分 析 一 動 態 系 統 的 行 為 有 兩 種 方 式 ， 分 別 是 定 率 (deterministic) 模 式 與 序 率 (stochastic) 模 式 。 前 者 能 描 繪其 物 理 機 制 ， 但 模 式 可 能 會 過 度 複 雜 而 窒 礙 難 用 ， 雖 可 將其 簡 化 ， 但 精 度 不 高 ； 後 者 是 探 索 其 統 計 特 性 ， 係 從 機 率為 出 發 點 ， 然 一 旦 條 件 改 變 或 一 致 性 破 壞 時 ， 則 隨 機 模 式的 應 用 性 備 受 限 制 。 近 年 來 ， 有 一 種 以 渾 沌 理 論 (chaos theory) 為 基 礎 的 分 析 方 法 被 物 理 界 提 出 ， 完 全 異 於 傳 統 的兩 種 解 析 架 構 ， 它 是 一 種 檢 視 隱 藏 於 複 雜 現 象 中 之 規 律 性的 新 手 段 。 由 於 渾 沌 的 發 現 ， 使 得 吾 人 了 解 在 定 率 過 程 與序 率 過 程 的 描 述 之 間 ， 存 在 著 由 此 及 彼 的 橋 樑 。 因 此 許 多的 複 雜 現 象 ， 可 將 其 視 為 是 有 目 的 、 有 結 構 的 行 為 ， 而 非某 種 外 來 的 、 偶 然 的 舉 動 。由 於 降 雨 與 逕 流 均 屬 自 然 界 複 雜 現 象 中 的 一 環 ， 自 然成 為 渾 沌 理 論 欲 探 索 的 對 象 ， 且 已 有 部 份 成 果 。 如Rodriguez-Iturbe 等 人 1 採 用 15 秒 單 位 記 錄 的 暴 雨 過 程資 料 ， 結 果 顯 示 暴 雨 歷 程 是 一 個 低 維 度 的 渾 沌 動 力 系 統 ，雖 然 Ghilardi 等 人 2 認 為 此 一 結 論 尚 不 夠 充 分 ， 但 是 後續 針 對 降 雨 渾 沌 特 性 之 研 究 也 相 繼 提 出 。 Wilcox 等 人 3 則 驗 證 了 融 雪 逕 流 的 渾 沌 性 ， 然 結 果 顯 示 其 是 具 有 許 多 自由 度 的 隨 機 行 為 ， 因 此 認 為 應 以 隨 機 模 式 描 述 之 。 Kember與 Flower 4 採 用 最 鄰 近 狀 態 法 來 預 測 日 流 量 ， 其 提 出 了三 參 數 型 的 最 鄰 近 點 非 線 性 預 報 法 ， 又 兩 位 認 為 與 典 型 的ARIMA 模 式 相 較 ， 最 鄰 近 狀 態 應 具 有 較 高 的 預 報 能 力 。1 國 立 成 功 大 學 水 利 及 海 洋 工 程 研 究 所 博 士 (現 為 國 立 成 功 大 學 水 工 試 驗 所 助 理 研 究 員 )2 國 立 成 功 大 學 水 利 及 海 洋 工 程 研 究 所 教 授160 中國土木水利工程學刊 第十二卷 第一期 (民國八十九年)Jayawardena 與 Lai 5 則 選 用 多 筆 日 雨 量 及 日 流 量 資 料 來驗 證 其 渾 沌 特 徵 的 存 在 性 ， 並 予 以 非 線 性 模 式 之 建 立 ， 得知 非 線 性 預 測 方 法 較 優 於 傳 統 之 序 率 線 性 模 式 ， 同 時 可 延長 預 報 的 期 距 。 Porporato 與 Ridolfi 6 兩 位 亦 從 渾 沌 理 論為 出 發 點 ， 分 析 了 39 年 的 日 流 量 資 料 ， 其 特 別 著 重 於 干 擾的 降 低 與 非 線 性 問 題 ， 並 認 為 對 資 料 進 行 內 插 將 有 助 於 提升 預 報 精 度 。 陳 與 黃 7 亦 針 對 時 雨 量 及 日 流 量 兩 種 資 料 ，對 其 進 行 水 文 渾 沌 現 象 之 探 討 ， 分 別 計 算 了 碎 形 維 度 、Lyapunov 指 數 及 二 階 Renyi 熵 之 值 ， 從 該 等 數 據 顯 示 兩 種水 文 量 具 有 渾 沌 特 性 。 而 王 與 陳 8 則 以 渾 沌 動 力 學 中 之奇 異 系 統 分 析 為 核 心 ， 使 用 相 空 間 之 概 念 並 結 合 奇 異 系 統分 析 及 最 大 熵 譜 法 ， 針 對 以 旬 單 位 之 降 雨 量 、 氣 溫 及 流 量進 行 分 析 與 預 測 後 ， 顯 示 三 者 之 單 期 距 有 良 好 之 準 確 性 。再 者 ， 林 等 9 利 用 了 渾 沌 理 論 來 找 尋 臺 灣 北 部 地 區 之 日流 量 序 列 的 渾 沌 動 力 特 徵 ， 文 中 共 選 取 15 組 淡 水 河 流 域之 日 流 量 資 料 ， 樣 本 大 小 從 1370 至 8917 筆 。 經 建 立 相 關維 度 與 嵌 入 維 度 之 相 關 圖 ， 得 其 相 關 維 度 在 相 空 間 遞 增 時 ，逐 漸 趨 於 飽 和 值 ， 亦 即 存 在 渾 沌 吸 子 。 此 外 ， 由 計 算 的 渾沌 特 徵 數 Lyapunov 指 數 均 為 正 ， 表 示 其 對 初 始 條 件 的 高度 敏 感 性 。 因 此 ， 由 兩 者 的 分 析 結 果 ， 均 顯 示 此 區 域 的 日流 量 資 料 可 能 為 一 渾 沌 過 程 ， 亦 即 其 存 在 定 率 機 制 ， 而 所需 解 析 其 行 為 的 變 數 為 3 個 或 4 個 。 同 年 度 ， 接 續 前 一 篇相 同 作 者 10 則 再 度 選 用 兩 組 時 間 序 列 來 進 行 渾 沌 性 之驗 証 ， 若 此 一 特 性 存 在 ， 則 擷 取 其 特 性 來 構 建 非 線 性 模 式 。至 於 兩 組 資 料 分 別 是 Lorenz 方 程 所 產 生 的 某 變 量 值 及 淡 水河 流 域 之 日 流 量 觀 測 值 ， 經 由 相 空 間 的 重 建 且 並 配 合 局 部域 近 似 法 ， 而 後 對 該 兩 組 序 列 進 行 模 擬 與 預 測 ， 除 獲 得 超前 時 間 的 點 預 測 之 外 ， 在 給 定 顯 著 水 準 時 ， 亦 可 得 點 預 測的 信 賴 區 間 值 ， 同 時 預 報 模 式 本 身 更 能 產 生 可 能 的 最 大 及最 小 預 測 值 。 延 續 林 等 10 之 研 究 成 果 ， 林 11 更 進 一步 針 對 文 中 之 日 流 量 時 間 序 列 ， 為 能 更 適 切 地 表 徵 歷 程 的非 線 性 行 為 及 提 昇 模 式 的 整 體 效 能 ， 該 研 究 導 入 了 類 神 經網 路 (artificial neural network) 之 架 構 。 文 中 共 分 析 及 比 較了 8 種 模 式 ， 結 果 顯 示 結 合 相 空 間 理 論 與 類 神 經 網 路 架 構之 水 文 模 式 呈 現 較 佳 的 結 果 ， 不 僅 給 出 水 文 時 序 建 模 之 物理 性 闡 明 ， 更 提 昇 了 在 模 擬 及 預 報 上 之 精 度 與 能 力 。一 般 而 言 ， 降 雨 的 複 雜 性 高 於 逕 流 ， 因 此 欲 提 升 降 雨預 報 的 精 度 將 更 形 困 難 ； 此 外 ， 在 降 雨 逕 流 預 報 模 式 中 ，欲 獲 得 逕 流 的 超 前 時 刻 推 估 值 ， 亦 需 對 雨 量 進 行 預 報 ， 故雨 量 (輸 入 量 ) 預 報 的 好 壞 將 直 接 影 響 逕 流 (輸 出 量 ) 預 報的 整 體 效 能 。 因 此 ， 本 文 嘗 試 以 渾 沌 理 論 為 基 礎 ， 來 對 台灣 北 部 淡 水 河 流 域 中 的 橫 溪 集 水 區 之 三 峽 及 大 豹 兩 測 站 時雨 量 序 列 ， 進 行 渾 沌 特 徵 的 定 量 解 析 ， 同 時 提 出 將 馬 可 夫機 率 矩 陣 導 入 非 線 性 預 報 模 式 ， 並 選 用 四 種 指 標 量 來 評 鑑預 報 精 度 。二 、 研 究 區 域 及 相 關 資 訊淡 水 河 流 域 位 於 台 灣 北 部 ， 該 流 域 依 其 水 文 條 件 可 分為 淡 水 河 集 水 區 、 大 漢 溪 下 游 集 水 區 、 石 門 水 庫 集 水 區 、新 店 溪 集 水 區 、 翡 翠 水 庫 集 水 區 及 基 隆 河 集 水 區 等 六 個 流域 。 由 於 流 域 下 游 台 北 盆 地 地 勢 低 窪 ， 每 逢 暴 雨 或 颱 風 侵襲 時 ， 上 游 山 區 匯 集 大 量 雨 水 ， 順 勢 急 下 ， 但 關 渡 隘 口 河槽 狹 窄 且 易 受 潮 汐 影 響 ， 洪 流 無 法 暢 洩 ， 易 氾 濫 成 災 。 如民 國 八 十 五 年 賀 伯 颱 風 即 為 大 漢 溪 沿 岸 之 板 和 地 區 及 社 子島 帶 來 嚴 重 之 水 患 。 本 文 之 研 究 區 域 則 以 大 漢 溪 流 域 中 之橫 溪 集 水 區 為 主 ， 橫 溪 集 水 區 所 引 用 之 雨 量 資 料 係 採 用 水利 處 (原 水 利 局 ) 所 屬 之 三 峽 及 大 豹 兩 個 自 計 雨 量 測 站 所得 者 ， 且 採 用 王 等 人 12 之 研 究 結 果 得 出 各 雨 量 站 之 控制 面 積 及 權 重 值 。 圖 1 顯 示 了 該 集 水 區 的 範 圍 及 兩 個 測 站之 位 置 。至 於 本 研 究 所 採 用 之 降 雨 事 件 類 型 ， 係 從 三 峽 及 大 豹兩 測 站 之 歷 史 降 雨 資 料 中 ， 選 取 雨 量 較 大 且 延 時 較 長 者 ，按 其 發 生 時 間 的 先 後 順 序 予 以 串 併 成 一 場 降 雨 時 間 序 列 ，圖 2 顯 示 了 兩 測 站 之 各 歷 史 降 雨 事 件 的 串 聯 時 序 圖 。 為 能呈 現 出 較 大 降 雨 歷 程 的 代 表 性 ， 降 雨 時 間 序 列 包 含 了 各 種N圖 1 本 研 究 所 探 討 之 集 水 區 的 範 圍 及 雨 量 測 站 位 置 圖0120340560780910Time (hr)240680Rainfl (m)(a) 三 峽 站0120340560780910Time (hr)24068Rainfl (m)(b) 大 豹 站圖 2 串 接 降 雨 事 件 之 時 間 序 列 圖 繪不 同 的 降 雨 型 態 ， 藉 此 來 做 為 模 式 的 率 定 或 模 擬 之 用 ， 另林 淑 真 、 游 保 杉 ： 以 渾 沌 動 力 理 論 為 基 礎 之 集 水 區 雨 量 預 報 161保 留 兩 場 降 雨 事 件 來 做 為 模 式 之 驗 證 或 預 測 之 用 ， 計 包 含一 場 暴 雨 及 一 場 颱 風 雨 。 暴 雨 事 件 的 發 生 日 期 為 民 國 79年 8 月 18 日 ， 總 降 雨 延 時 為 53 小 時 ； 颱 風 雨 事 件 的 發 生日 期 為 民 國 85 年 7 月 30 日 ， 總 降 雨 延 時 為 42 小 時 。 將該 等 場 次 之 降 雨 歷 程 於 各 測 站 進 行 預 報 ， 其 結 果 再 乘 以 各站 所 屬 的 權 重 值 ， 於 是 可 得 橫 溪 集 水 區 兩 場 降 雨 之 面 積 雨量 預 報 值 。三 、 維 度 性 、 初 始 敏 感 性 與 可 預 報 性3.1 相 空 間 建 立 之 概 念一 動 態 系 統 的 行 為 可 由 相 空 間 圖 (phase space diagram) 來 加 以 描 述 ， 因 系 統 有 多 少 個 狀 態 變 量 ， 則 它 的 相 空 間 就是 多 少 維 ， 甚 至 可 達 無 窮 維 。 使 用 相 空 間 的 優 點 在 於 可 藉由 它 來 觀 察 系 統 演 化 的 全 部 過 程 及 其 最 終 的 依 歸 。 若 動 態系 統 於 相 空 間 之 軌 跡 收 縮 至 單 一 的 子 空 間 ， 則 稱 此 為 一 吸子 。 對 於 一 定 率 系 統 其 吸 子 為 整 數 的 維 度 ； 然 對 於 一 動 態系 統 其 吸 子 的 維 度 通 常 不 為 整 數 ， 常 以 一 分 數 型 態 出 現 ，故 稱 碎 形 維 度 (fractal dimension)。 此 一 吸 子 則 稱 為 碎 形 吸子 (fractal attractor)， 而 該 系 統 則 稱 為 渾 沌 動 態 系 統 (chaotic dynamic system)， 它 的 一 個 顯 著 的 特 徵 是 存 在 著 無窮 嵌 套 的 自 相 似 幾 何 結 構 ， 且 對 初 始 條 件 極 為 敏 感 ， 因 此長 期 預 測 是 不 被 保 証 的 ， 然 在 其 記 憶 力 消 失 前 ， 短 期 預 測是 可 行 的 。為 能 建 立 真 實 的 相 空 間 ， 吾 人 須 獲 得 與 該 動 態 系 統 有關 的 所 有 變 數 ， 但 很 明 顯 地 ， 此 舉 在 實 際 上 幾 乎 是 不 可 能的 ， 且 通 常 僅 有 單 一 的 動 態 變 數 可 予 以 量 測 獲 得 。 由 於 時間 序 列 本 身 反 應 參 與 此 動 態 系 統 之 全 部 變 數 的 有 關 資 訊 ，因 此 Pakard 等 人 13 即 利 用 單 一 時 間 序 列 來 重 建 動 態 系統 的 相 空 間 軌 跡 ， 並 經 Takens 14 予 以 數 學 上 的 証 明 。對 於 由 m 個 變 量 所 構 成 的 動 態 系 統 ， 吾 人 可 使 用 一 組m 個 一 階 微 分 方 程 來 表 示 ， 亦 即(1)mitxtxfdt mii ,21)(,)(,()21 將 上 式 使 用 消 去 法 進 行 處 理 ， 使 其 轉 換 為 由 一 組 m 階 非 線性 微 分 方 程 所 構 成 的 方 程 組 ， 因 此 成 為(2)(,)(,() 11)0( txtxftxmm式 中 ， x(i)(t)(i = 1, 2, , m) 表 示 第 i 次 微 分 。 將 式 (2)經 過適 當 之 轉 換 ， 則 該 系 統 的 新 軌 跡 成 為(3)(,)(,()11)0txtt 上 式 與 式 (2)是 在 動 力 學 上 是 等 值 得 ， 係 在 變 量 x(t) 及 其 (m 1) 階 導 數 所 構 組 的 相 空 間 中 來 進 行 演 變 。 為 能 描 繪 不連 續 時 間 序 列 之 動 力 行 為 ， 上 述 表 示 方 式 以 遲 滯 時 間 來 取代 ， 設 是 觀 測 某 一 系 統 而 得 的 時,)1(00Nttxx間 序 列 ， 其 中 t0 為 某 一 起 始 時 間 、 為 時 間 間 隔 、 N 為 資料 長 度 或 資 料 總 數 。 又 該 等 序 列 中 的 位 移 值 ， 可 予 以 表 示成 。 現 將 此 一 時 間 序 列 嵌 入 於 m 維 的 歐 氏 空 間ittxi0Rm 中 ， 可 擴 展 成 一 個 新 的 相 點 分 佈 或 向 量 集 X， 而 其 相 點可 表 示 成(4),(),( )1(21(2(1211000 mttttt mtttt tttt NNmNiiii xxxXxxX 式 中 ， = kt(k = 1, 2, ) 為 延 滯 時 間 。 為 簡 化 起 見 ， 令t0 = 1、 k = 1 及 t = 1， 於 是 ti = i 及 ， 其 中 i = 1, itXi2, , Nm， 而 Nm = N m + 1。 每 一 相 點 具 有 m 個 分 量 ， 而每 一 相 點 在 m 維 的 相 空 間 中 依 序 予 以 連 接 成 “線 ”， 此 條曲 線 即 為 描 繪 在 m 維 相 空 間 中 的 演 化 軌 跡 (trajectory of evolution)。 依 據 Takens 14 所 推 得 之 嵌 入 理 論 ， 對 一 具有 d 維 碎 形 維 度 的 系 統 ， 一 般 需 要 2d + 1 維 之 嵌 入 維 度 來構 建 其 相 空 間 。3.2 相 關 維 度 之 計 算為 能 計 算 相 空 間 中 之 系 統 軌 跡 的 維 度 值 ， 有 許 多 的 方法 可 予 以 計 算 ， 最 簡 單 的 計 算 法 為 容 積 維 度 (capacity dimension)， 然 在 高 維 相 空 間 中 ， 為 能 獲 得 較 準 確 的 維 度 估計 值 ， 一 般 需 有 較 多 的 資 料 點 1517。 由 於 水 文 的 資 料點 數 通 常 不 是 很 多 ， 且 於 此 計 算 中 須 計 算 至 高 維 ， 因 此 通常 改 採 相 關 維 度 (correlation dimension) 的 計 算 法 ， 該 法 是由 Grassberger 與 Procaccia 18,19 依 據 嵌 入 理 論 及 重 建 相空 間 之 概 念 發 展 而 成 ， 是 計 算 一 動 態 系 統 吸 子 維 度 最 常 被採 用 的 方 法 之 一 ， 簡 稱 為 G-P 演 算 法 ， 該 法 係 依 據 嵌 入 理論 及 重 建 相 空 間 之 概 念 所 發 展 而 成 。將 動 態 系 統 之 時 間 序 列 建 構 在 m 維 相 空 間 時 ， 任 一 相對 點 Xi = (xi, xi+1, , xi+m1) 及 Xj = (xj, xj+1, , xj+m1) 之 距離 以 歐 氏 距 離 表 示 為 rij = |Xi Xj|。 今 給 定 一 臨 界 距 離 r，計 算 距 離 小 於 r 的 “點 對 ” 在 該 系 統 所 有 “點 對 ” 中 所 佔的 比 例 ， Grassberger 與 Procaccia 定 義 其 為 相 關 積 分 函 數 (correlation integral function) Cm(r) 如 下 ：(5)Nij jimm jiXC1|)|()()(式 中 ， (r |Xi Xj|) 為 Heaviside 函 數 ， 其 定 義 為 ： 當 (r |Xi Xj|) 0 時 ， 則 = 1； 當 (r |Xi Xj|) 0 時 ， 則 = 0。 此 函 數 描 繪 了 相 空 間 中 之 任 兩 點 間 距 離 小 於 r 的 機 率 ，亦 即 代 表 相 空 間 某 參 考 點 Xi 在 r 內 的 相 點 聚 集 程 度 。 若 系統 存 在 碎 形 ， 則 在 適 當 的 範 圍 內 ， 當 r 值 增 加 時 ， Cm(r) 162 中國土木水利工程學刊 第十二卷 第一期 (民國八十九年)將 以 的 比 率 增 加 ， 亦 即mdr(6)C)(因 此 在 給 定 一 組 不 同 的 r 值 時 ， 依 據 式 (5)求 算 其 分 屬的 Cm(r) 值 ， 並 對 Cm(r) 與 r 二 者 取 對 數 ， 若 圖 上 有 一 直線 段 的 存 在 ， 該 直 線 的 斜 率 即 為 碎 形 維 度 (dm) 之 值 。對 於 一 隨 機 過 程 ， dm 值 將 隨 著 m 值 的 增 加 而 線 性 增 加 ，並 不 會 達 到 一 飽 和 值 ； 然 對 於 一 定 率 過 程 ， dm 值 將 在 某 一特 定 m 值 後 而 趨 於 固 定 或 飽 和 ， 而 此 一 固 定 值 或 飽 和 值 定義 為 該 時 間 序 列 之 吸 子 維 度 d。 由 以 上 敘 述 得 知 ， 吸 子 維度 之 計 算 建 立 在 一 已 知 維 度 m 之 相 空 間 上 ， 然 於 實 際 上 ，吾 人 無 法 事 先 得 知 相 空 間 的 維 數 ， 因 此 本 研 究 採 用 試 誤 法並 選 用 1 維 起 至 20 維 的 相 空 間 ， 來 分 別 計 算 其 碎 形 維 度dm。3.3 Lyapunov 指 數先 前 已 述 及 對 初 始 條 件 的 敏 感 相 依 性 是 渾 沌 系 統 或 奇異 吸 引 子 中 的 幾 個 重 要 物 理 特 性 之 一 ， 它 描 繪 了 非 線 性 耗散 動 力 系 統 的 訊 息 性 質 。 如 果 在 吸 引 子 上 任 取 兩 個 非 常 靠近 的 相 點 作 為 初 始 值 ， 隨 著 時 間 或 動 力 行 為 的 演 化 ， 其 軌道 呈 指 數 分 離 的 現 象 ， 最 後 導 致 無 任 何 的 關 聯 ， 或 呈 現 無序 狀 態 ， 此 即 所 謂 的 初 始 敏 感 性 。 為 能 研 究 初 始 時 刻 之 兩個 極 端 靠 近 的 相 點 ， 其 隨 時 間 演 變 而 導 致 分 離 的 情 形 ， 於是 有 Lyapunov 指 數 (Lyapunov exponent) 這 個 統 計 物 理 量的 提 出 。 簡 言 之 ， Lyapunov 指 數 是 計 算 相 空 間 中 某 一 置 信軌 跡 (fiducial trajectory) 或 參 考 軌 跡 (reference trajectory) 對 其 鄰 近 軌 跡 分 散 之 平 均 速 率 的 一 種 測 度 指 標 ， 係 表 現 在渾 沌 系 統 中 之 對 初 始 條 件 的 敏 感 相 依 性 2022， 該 指標 已 被 廣 泛 採 用 來 作 為 識 別 渾 沌 存 在 及 其 程 度 的 一 個 重 要參 考 量 。針 對 一 組 觀 測 的 離 散 型 時 間 序 列 xi | i = 1, 2, , N，由 於 無 法 事 先 獲 知 其 運 動 方 程 ， 且 因 資 料 長 度 之 限 制 及 干擾 的 影 響 ， 因 此 欲 精 確 地 計 算 Lyapunov 指 數 的 完 整 譜 是相 當 困 難 的 。 因 此 對 於 渾 沌 性 與 隨 機 性 的 識 別 ， Wolf 等 人 20 及 Wolf 22 發 展 了 一 種 相 當 簡 單 且 能 穩 健 地 計 算 最大 Lyapunov 指 數 之 方 法 。 假 設 一 時 間 序 列 在 m 維 相 空 間狀 態 下 予 以 重 組 ， 於 是 最 大 Lyapunov 指 數 定 義 如 下 ：(7)ktMkmN1121lg)(式 中 ， Nm 為 時 間 序 列 於 m 維 相 空 間 中 的 總 點 數 ， tk (k = 1, 2, , M) 為 時 間 指 標 ， M 為 所 構 成 的 組 數 ，),(1ktL為 tk 時 刻 之 參 考 相 點 與 其 最 鄰 近 相 點 的 歐 氏tLktXktX距 離 ， 亦 即 ， 為 在 tk+1 時 刻 之 演 化 至 與1kt kt1演 化 至 的 歐 氏 距 離 。 從 理 論 上 而 言 ， 當 m ktX時 ， 則 1(m) 1， 亦 即(8)(lim11而 於 實 際 上 ， 當 m 足 夠 大 時 ， 1(m) 會 達 到 一 飽 和 值 或 趨於 穩 定 ， 而 此 飽 和 值 或 穩 定 值 即 為 最 大 Lyapunov 指 數 1的 估 計 值 。當 1 0 時 ， 表 示 軌 道 呈 指 數 分 離 ， 對 應 於 渾 沌 動 力系 統 的 奇 異 吸 引 子 ； 當 1 = 0 時 ， 表 示 軌 道 既 不 收 斂 也 不發 散 ， 對 應 於 週 期 性 的 極 限 環 或 環 面 吸 引 子 ； 當 1 0 時 ， 意 指 該 時 間 序 列 是 一渾 沌 過 程 ； 而 當 1 0 時 ， 則 表 示 該 時 間 序 列 呈 現 一 種 規則 運 動 之 過 程 。 又 一 系 統 的 最 大 Lyapunov 指 數 值 愈 大 時 ，則 表 示 系 統 的 不 確 定 性 愈 高 ， 此 亦 反 應 出 對 該 系 統 給 予 未來 行 為 的 預 測 時 ， 它 是 一 種 量 度 可 信 賴 程 度 之 指 標 ， 呈 現了 可 預 測 性 之 限 制 。3.4 Kolmogorov 熵在 建 立 預 報 模 式 前 ， 應 先 了 解 該 系 統 之 可 預 報 時 間 尺度 。 由 於 Kolmogorov 熵 (Kolmogorov entropy, K) 可 以 用來 區 分 出 相 空 間 中 之 系 統 為 規 則 運 動 、 渾 沌 運 動 或 隨 機 運動 ， 本 文 採 用 Kolmogorov 熵 來 探 討 降 雨 系 統 之 可 預 報 時間 尺 度 。 對 任 一 事 件 ， 若 每 個 可 能 結 果 之 出 現 機 率 為 pi，於 是 Shannon 定 義 了 與 該 結 果 相 互 匹 配 的 資 訊 量 為(9)iipI)(lg該 式 就 是 Shannon 資 訊 量 (Shannon information)。 很 顯 然地 ， 若 有 完 全 確 定 之 結 果 ， 則 I = 0。 依 據 Shannon 資 訊 量I， 吾 人 可 以 引 入 Kolmogorov 熵 K 23。 茲 考 慮 奇 異 吸 引子 上 的 動 力 系 統 軌 跡 x(t) = (x1(t), x2(t), , xm(t)， 符 號 t 表示 時 間 、 m 為 相 空 間 維 數 。 設 m 維 相 空 間 被 劃 分 成 大 小 為 m 之 盒 子 ， 而 系 統 的 狀 態 可 在 時 間 的 間 隔 內 觀 察 。 又 設表 示 x(t = 0) 在 盒 子 i0 內 、 x(t = ) 在 盒 子 i1 內 、nip0、 x(t = n) 在 盒 子 in 內 的 聯 合 機 率 ， 於 是 依 據 式 (7)， 可得(10)nniiinpK 00)lg(式 中 ， 符 號 lg 是 表 示 以 2 為 底 的 對 數 轉 換 ， 亦 即 lg() = log2()。 又 該 式 正 比 於 以 精 度 確 定 系 統 在 特 殊 軌 道 i0* in*所 需 的 訊 息 ， 因 此 (Kn+1 Kn) 是 已 知 系 統 在 先 前 處 於i0* in*而 預 測 系 統 將 在 單 元 中 所 需 附 加 的 資 訊 ， 這 意*i味 著 (Kn+1 Kn) 量 度 了 系 統 從 時 間 n 至 n + 1 的 資 訊 損 失 。因 此 ， Kolmogorov 熵 K 定 義 為 資 訊 的 平 均 損 失 率(11)10 1010)(lglili )(lili01NNi iiNnnp 林 淑 真 、 游 保 杉 ： 以 渾 沌 動 力 理 論 為 基 礎 之 集 水 區 雨 量 預 報 163取 極 限 0 時 ， 表 示 K 與 分 劃 的 選 取 無 關 ； 又 對 離 散 時間 步 長 = 1 的 映 射 ， 則 0 可 以 省 略 24,26。 對 於 一定 率 或 規 則 系 統 ， K = 0； 而 對 於 一 隨 機 系 統 ， K = ； 至於 當 0 m + 1林 淑 真 、 游 保 杉 ： 以 渾 沌 動 力 理 論 為 基 礎 之 集 水 區 雨 量 預 報 165為 充 分 條 件 來 推 估 之 。 其 中 m 為 嵌 入 空 間 數 及 l = 1, 2, 。4.3 平 均 權 重 法 的 修 正 馬 可 夫 轉 移 機 率 矩 陣 法 30,31在 式 (17)的 預 報 值 計 算 中 ， 係 將 鄰 近 態 予 以 等 權 重 或平 均 權 重 之 處 理 ， 但 此 舉 是 乎 過 於 簡 化 ， 且 往 往 不 甚 合 理 ，因 各 種 狀 態 在 時 間 的 移 轉 中 ， 其 出 現 的 機 率 往 往 不 會 相 等 ，因 此 文 中 將 導 入 Markov 轉 移 機 率 矩 陣 法 以 取 代 傳 統 之 平均 權 重 法 ， 該 法 簡 稱 為 NNM (PROB) 模 式 ， 此 模 式 說 明如 后 。隨 著 時 間 的 演 進 ， 當 從 一 種 狀 態 轉 至 另 一 種 狀 態 所 作的 轉 移 過 程 時 ， 則 稱 此 一 行 為 是 狀 態 轉 移 過 程 。 又 假 設 每次 狀 態 所 進 行 的 轉 移 只 與 前 一 時 刻 有 關 ， 則 稱 之 為 馬 可 夫過 程 (Markov process)。 水 文 歷 程 通 常 與 前 一 時 刻 有 高 度相 關 ， 於 是 可 使 用 一 階 馬 可 夫 鏈 來 表 之 。 若 有 一 組 水 文 時間 序 列 xt | t = 1, 2, ， 此 一 過 程 在 目 前 時 刻 t 僅 受 前 一時 刻 t 1 之 水 文 量 的 影 響 ， 若 依 據 Bayes 條 件 機 率 定 理 ，則 p(xt = sj | xt1 = si) 表 示 由 t 1 時 刻 之 狀 態 si 轉 移 至 t 時刻 之 狀 態 sj 的 機 率 ， 亦 即(18)ijitjt p)|(1依 據 歷 史 資 料 ， 將 觀 測 值 劃 分 成 S 個 狀 態 區 間 ， 因 此可 進 一 步 估 算 得 現 階 段 的 S S 階 的 轉 移 狀 態 矩 陣 ， 其 表示 式 為(19)SSSij ppp 212112式 中 ， 若 從 觀 測 樣 本 中 的 第 i 階 段 轉 移 至 第 j 階 段 之 次 數或 頻 率 為 nij， 則 轉 移 機 率 (transition probability) pij 成 為(20)Sjijijijp1又 假 若 轉 移 機 率 矩 陣 p 為 已 知 ， 當 經 過 l 個 階 段 後 ， 則 所構 成 的 狀 態 機 率 矩 陣 成 為 。 此 處 ， 當 l = 0 時 ，)()(lijl則 p(0) 成 為 初 始 狀 態 矩 陣 。於 是 ， 在 m 維 的 相 空 間 中 ， 當 目 前 t 時 刻 狀 態 Xt 轉 移至 接 續 t + T 時 刻 狀 態 Xt+T 時 ， 吾 人 可 從 Xt 之 鄰 近 狀 態並 藉 由 轉 移 機 率 矩 陣 得 知 其 轉 移 至 的 機 率 值 ，ktX Ttk由 於 所 關 注 者 為 第 一 分 量 ， 因 此 以 表),21()Kp示 轉 移 至 的 機 率 值 。 又 假 設 該 等 機 率 可 反 應 出 所ktxTtk預 測 之 超 前 時 刻 的 鄰 近 狀 態 量 之 權 重 大 小 ， 因 此 式 (17)可改 寫 成(21)KkTtktpxx1)()()(該 方 法 在 文 中 以 NNM (PROB) 簡 稱 之 。4.4 預 報 精 度 之 比 較 與 評 鑑為 了 解 上 述 選 用 NNM (PROB) 方 法 的 預 報 能 力 ， 本文 採 用 在 傳 統 的 自 迴 歸 過 程 (autoregressive process) 與四個準則來加以比較。對於觀測值 xt 之 p 階自迴歸模式可表為(22)pitittxx1式 中 ， 為 常 數 項 ， i 為 參 數 ， t 為 誤 差 。 又 式 (22)經 常 以AR(p) 模 式 來 稱 呼 之 ， 至 於 最 佳 模 式 的 獲 得 ， 係 採 用 參 數的 顯 著 性 檢 定 並 配 合 較 小 的 誤 差 變 異 數 來 決 定 之 。本 研 究 採 用 水 文 學 上 經 常 選 用 的 四 項 指 標 來 評 定 模 式預 報 能 力 的 優 劣 ， 各 指 標 值 之 定 義 式 ， 分 述 如 后 ：(a) 總 累 積 雨 量 誤 差 百 分 比 (error of total cumulative rainfall, ETCR)(23)(%)10(%)1Ntttt式 中 ， Rt = 實 測 之 降 雨 量 ， = 預 測 之 降 雨 量 ， N = 資tR料 總 數 。(b) 效 率 係 數 (coefficient of efficiency, CE)(24)Nt tttttRCE12)(式 中 ， = 實 測 之 累 積 降 雨 量 ， = 預 測 之 累 積 降 雨tRt量 ， = 實 測 降 雨 量 之 平 均 值 。t(c) 相 對 均 方 根 誤 差 (relative root mean square error, RRMSE)(25) NRtt12(d) 相 關 係 數 (coefficient of correlation, CC)166 中國土木水利工程學刊 第十二卷 第一期 (民國八十九年)(26) NttNttt ttRRC1212)()(式 中 ， = 預 測 之 降 雨 量 的 平 均 值 。t4.5 結 果 分 析 與 綜 合 討 論在 預 報 模 式 中 將 前 一 章 節 經 相 關 維 度 計 算 得 三 峽 及 大豹 兩 測 站 之 吸 子 維 度 分 別 為 2.65 及 3.95 導 入 模 式 ， 亦 即重 建 相 空 間 之 維 度 以 3 維 及 4 維 分 別 予 以 構 建 ， 同 時 將 轉移 機 率 矩 陣 法 導 入 非 線 性 相 空 間 模 式 中 ， 主 要 目 的 在 於 藉由 歷 史 降 雨 量 的 發 生 轉 移 機 率 替 代 最 鄰 近 狀 態 量 之 權 重 值 。該 計 算 法 需 事 先 針 對 降 雨 量 予 以 劃 分 狀 態 區 間 ， 在 狀 態 區間 的 劃 分 上 採 用 發 生 機 率 為 0.1 為 間 距 ， 共 劃 分 成 十 個 狀態 區 間 ， 然 劃 分 後 在 某 些 狀 態 之 上 、 下 界 會 產 生 與 前 一 狀態 區 間 相 同 之 情 形 ， 遂 將 兩 個 區 間 合 併 。 表 2 及 表 3 分別是三峽及大豹兩雨量站所劃分的狀態結果。依據上述所劃分之狀態結果，進而計算並統計得前後階段所發生之機率，表4 及表 5 是以兩測站的一階段為例之轉移機率矩陣值。另 外 傳 統 線 性 自 迴 歸 模 式 對 三 峽 與 大 豹 測 站 之 最 佳 階次 ， 經 參 數 顯 著 與 否 之 檢 定 及 輔 以 最 小 誤 差 變 異 數 ， 分 別為 2 階 與 3 階 。 二 種 預 報 模 式 所 計 算 得 之 結 果 ， 經 由 四 種評 鑑 指 標 比 較 於 表 6， 顯 示 非 線 性 相 空 間 模 式 的 預 報 能 力遠 遠 優 於 線 性 AR 模 式 者 。 圖 6 及 圖 7 分 別 顯 示 本 文 所 提非 線 性 相 空 間 模 式 與 傳 統 線 性 AR 模 式 超 前 1 3 小 時 之 雨量 預 報 組 體 圖 。 又 不 論 選 用 何 種 預 報 模 式 ， 隨 著 預 報 超 前時 刻 的 遞 增 ， 預 報 精 度 明 顯 隨 之 下 降 ， 惟 線 性 的 AR(p) 模式 惡 化 程 度 更 為 明 顯 ， 特 別 是 在 總 累 積 雨 量 誤 差 百 分 比 (ETCR) 的 變 化 上 ， 該 法 有 明 顯 低 估 雨 量 的 情 事 ， 尤 其 是時 空 變 化 特 別 顯 著 時 ， 此 為 線 性 AR(p) 模 式 的 一 個 嚴 重 缺陷 。 此 外 ， 線 性 AR(p) 模 式 在 效 率 係 數 (CE) 與 相 對 均 方根 誤 差 (RRMSE) 的 變 化 上 ， 均 隨 著 超 前 時 刻 的 增 加 ， 前者 快 速 降 低 及 後 者 快 速 上 升 ， 但 非 線 性 模 式 似 有 趨 緩 現 象 ，此 凸 顯 了 以 萃 取 動 態 歷 程 之 定 量 特 徵 為 基 礎 的 渾 沌 理 論 ，配 合 相 空 間 的 軌 跡 重 構 ， 使 其 建 置 在 一 個 不 改 變 其 拓 樸 結構 的 “環 境 “中 ， 因 此 可 更 容 易 並 穩 健 地 對 其 進 行 描 述 。 因此 ， 當 一 系 統 被 驗 證 得 是 渾 沌 時 ， 雖 然 長 期 預 測 是 不 可 能或 不 被 保 證 的 ， 然 在 其 預 測 能 力 (短 的 時 間 尺 度 ) 失 去 前，其預測精度是相當準確的，且有可能優於傳統的統計模式 11,32。在本文的研究中，此一論點再一次獲得證實。表 2 三 峽 測 站 之 雨 量 狀 態 區 間狀 態 別 機 率 下 界 上 界1 0.2 0.0 0.22 0.1 0.2 1.03 0.2 1.0 2.04 0.1 2.0 3.05 0.1 3.0 5.06 0.1 5.0 8.07 0.1 8.0 14.08 0.1 14.0表 3 大 豹 測 站 之 雨 量 狀 態 區 間狀 態 別 機 率 下 界 上 界1 0.1 0.0 1.02 0.2 1.0 2.03 0.1 2.0 3.04 0.1 3.0 5.05 0.1 5.0 6.06 0.1 6.0 9.07 0.1 9.0 12.08 0.1 12.0 18.09 0.1 18.0表 4 三 峽 測 站 一 階 段 之 轉 移 機 率 矩 陣狀 態 別 1 2 3 4 5 6 7 81 0.3498 0.2193 0.2607 0.1624 0.1527 0.0714 0.0268 0.00932 0.1478 0.4035 0.0711 0.0684 0.0534 0.0238 0.0179 0.02803 0.2759 0.1316 0.2464 0.2991 0.1832 0