2017年中考冲刺数学试卷两套汇编六附答案解析

第 1 页（共 70 页） 2017 年中考冲刺数学试卷两套汇编 六 附答案解析 中考数学试卷 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑 1 2、 0、 1、 3 四个数中，最小的数是（ ） A 2 B 0 C 1 D 3 2下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列计算中，结果正确的是（ ） A a2a3=（ 2a） （ 3a） =6a C（ 3= a2=函数 y= 的自变量取值范围是（ ） A x 3 B x 0 C x 3 且 x 0 D x 3 5我校 2016 级 2198 名考生在 2016 年中考体育考试中取得了优异成绩，为了考察他们的中考体育成绩，从中抽取了 550 名考生的中考体育成绩进行统计，下列说法正确的是（ ） A本次调查属于普查 B每名考生的中考体育成绩是个体 C 550 名考生是总体的一个样本 D 2198 名考生是总体 6如图，直线 线 直线 交于点 M， 分 1=50，则 2 的度数为（ ） 第 2 页（共 70 页） A 50 B 80 C 85 D 100 7已知 x 2y=3，则 7 2x+4y 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 8如图， O 的直径，点 D 在 延长线上，过点 D 作 O 的切线，切点为 C，若 A=25，则 D=（ ） A 40 B 50 C 55 D 60 9下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 个图形中一共有 1 个空心小圆圈，第 个图形中一共有 6 个空心小圆圈，第 个图形中一共有 13 个空心小圆圈， ，按此规律排列，则第 个图形中空心圆圈的个数为（ ） A 61 B 63 C 76 D 78 10数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 高度，如图，老师测得大树前斜坡 坡度 i=1： 4，一学生站在离斜坡顶端 E 的水平距离 m 处的 D 点，测得大树顶端 A 的仰角为 ，已知 ， 学生身高 大树高度 （ ） m 第 3 页（共 70 页） A 7 D 1在矩形 ， ， ，以 A 为圆心， 半径画弧交线段 E，连接 阴影部分的面积为（ ） A B C D 12能使分式方程 +2= 有非负实数解且使二次函数 y=x k 1 的图象与 x 轴无交点的所有整数 k 的积为（ ） A 20 B 20 C 60 D 60 二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上 13 2016 年重庆高考报名人数近 250000 人，数据 250000 用科学记数法表示为 14计算：（ ） 2+（ 3） 0 = 15如图，在 ， = ， 第 4 页（共 70 页） 16 “2016 重庆国际马拉松 ”的赛事共有三项： A、 “全程马拉松 ”、 B、 “半程马拉松 ”、 C、 “迷你马拉松 ”小明和小刚参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到以上三个项目组，则小明和小刚被分配到不同项目组的概率是 17甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面 100 米处，同时出发去距离甲 1300 米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快设甲、乙之间的距离为 y 米，乙行驶的时间为 x 秒， y 与 x 之间的关系如图所示若丙也从甲出发的地方沿相同的方向骑自行车行驶，且与甲的速度相同，当甲追上乙后 45 秒时，丙也追上乙，则丙比甲晚出发 秒 18在正方形 ，点 E 为 上一点且 F 为对角线 一点且 接 点 G，过点 F 作 点 H，连结 面积是 三、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19已知如 图，点 F、 A、 E、 B 在一条直线上， C= F， E 求证： F 第 5 页（共 70 页） 20为了掌握某次数学模拟考试卷的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩分为 5 组：第一组 75 90；第二组 90 105；第三组 105 120；第四组 120 135；第五组 135150统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图观察图形的信息，回答下列问题： 请将频数分布直方图补充完整；若老师找到第五组中一个学生的语文、数学、英语三科成绩，如表老师将语文、数学、英语成绩按照 3： 5： 2 的比例给出这位同学的综合分数求此同学的综合分数 科目 语文 数学 英语 得分 120 146 140 四、解答题：（本大题共 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 21计算： （ 1） x（ x+2y）（ x y） 2+ 2）（ x+3） 22如图，一次函数 y1=ax+b（ a 0）的 图象与反比例函数 （ k 0）的图象第 6 页（共 70 页） 交于 A、 B 两点，与 x 轴、 y 轴分别交于 C、 D 两点已知： ， ，点 B 的坐标为（ ， m） （ 1）求该反比例函数的解析式和点 D 的坐标； （ 2）点 M 在射线 ，且 面积 23 2016 年 5 月 29 日，中超十一轮，重庆力帆将主场迎战河北华夏幸福，重庆“铁血巴渝 ”球迷协会将继续组织铁杆球迷到现场为重庆力帆加油助威 “铁血巴渝 ”球迷协会计划购买甲、乙两种球票共 500 张，并且甲票的数量不少于乙票的3 倍 （ 1）求 “铁血巴渝 ”球迷协会至 少购买多少张甲票； （ 2） “铁血巴渝 ”球迷协会从售票处得知，售票处将给予球迷协会一定的优惠，本场比赛球票以统一价格（ m+20）元出售给该协会，因此协会决定购买的票数将在原计划的基础上增加（ m+10） %，购票后总共用去 56000 元，求 m 的值 24把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算， 如此重复下去，若最终结果为 1，我们把具有这种特征的自然数称为 “快乐数 ”例如： 3232+22=1312+32=1012+02=1， 7072+02=4942+92=9792+72=13012+32+02=1012+02=1， 所以 32 和 70 都是 “快乐数 ” （ 1）写出最小的两位 “快乐数 ”；判断 19 是不是 “快乐数 ”；请证明任意一个 “快乐数 ”经过若干次运算后都不可能得到 4； （ 2）若一个三位 “快乐数 ”经过两次运算后结果为 1，把这个三位 “快乐数 ”与它的第 7 页（共 70 页） 各位上的数字相加所得的和被 8 除余数是 2，求出这个 “快乐数 ” 五、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解 答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 25在 ，以 斜边，作直角 点 D 落在 ， 0 （ 1）如图 1，若 C， 0， ，点 P、 M 分别为 的中点，连接 线段 长； （ 2）如图 2，若 C，把 点 A 逆时针旋转一定角度，得到 接 延长交 点 P，求证： P （ 3）如图 3，若 D，过点 D 的直线交 点 E，交 点 F， C，请直接写出线段 间的关系（不需要证明） 26已知如图 1，抛物线 y= x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 与 y 轴相交于点 C，点 D 的坐标是（ 0， 1），连接 1）求出直线 解析式； （ 2）如图 2，若在直线 方的抛物线上有一点 F，当 面积最大时，有一线段 （点 M 在点 N 的左侧）在直线 移动，首尾顺次连接点 A、M、 N、 F 构成四边形 求出四边形 周长最小时点 N 的横坐标； （ 3）如图 3，将 点 D 逆时针旋转 （ 0 180），记旋转中的 页（共 70 页） 为 ，若直线 BC与直线 于点 P，直线 BC与直线 于点 Q，当 等腰三角形时，求 值 第 9 页（共 70 页） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、 B、 C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑 1 2、 0、 1、 3 四个数中，最小的数是（ ） A 2 B 0 C 1 D 3 【考点】 有理数大小比较 【分析】 根据有理数的大小比较法则（正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可 【解答】 解： 2、 0、 1、 3 四个数中，最小的数是 3； 故选 D 2下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形 【分析】 根据中心对称图形的概念和各图的性质求解 【解答】 解： A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误 故选： B 3下列计算中，结果正确的是（ ） A a2a3=（ 2a） （ 3a） =6a C（ 3= a2=考点】 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式 【分析】 分别根据同底数幂的乘法的性质，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的第 10 页（共 70 页） 性质，同底数幂的除法的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】 解： A、应为 a2a3= A 错误 B、应为（ 2a） （ 3a） =6 B 错误 C、（ 3=3= C 正确； D、应为 a2=2= D 错误 故选： C 4函数 y= 的自变量取值范围是（ ） A x 3 B x 0 C x 3 且 x 0 D x 3 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据分母不等于 0 即可列不等式求解 【解答】 解：根据题意得 3 x 0， 解得： x 3 故选 A 5我校 2016 级 2198 名考生在 2016 年中考体育考试中取得了优异成绩，为了考察他们的中考体育成绩，从中抽取了 550 名考生的中考体育成绩进行统计，下列说法正确的是（ ） A本次调查属于普查 B每名考生的中考体育成绩是个体 C 550 名考生是总体的一个样本 D 2198 名考生是总体 【考点】 总体、个体、样本、样本容量 【分析】 根据样本、总体、个体、样本容量的定义进行解答即可 【解答】 解：样本是：从中抽取的 550 名考生的中考体育成绩， 个体：每名考生的中考体育成绩是个体， 总体：我校 2016 级 2198 名考生的中考体育成绩的全体， 故选 B 第 11 页（共 70 页） 6如图，直线 线 直线 交于点 M， 分 1=50，则 2 的度数为（ ） A 50 B 80 C 85 D 100 【考点】 平行线的性质 【分析】 由 分 到 1=100，根据平行线的性质即可得到结论 【解答】 解： 分 1=50， 1=100， 00， 直线 2=180 0， 故选 B 7已知 x 2y=3，则 7 2x+4y 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 代数式求值 【分析】 先求得 2x 4y 的值，然后整体代入即可 【解答】 解： x 2y=3， 2x 4y=6 7 2x+4y=7（ 2x 4y） =7 6=1 故选： C 8如图， O 的直径，点 D 在 延长线上，过点 D 作 O 的切线，切点为 C，若 A=25，则 D=（ ） 第 12 页（共 70 页） A 40 B 50 C 55 D 60 【考点】 切线的性质 【分析】 连接 根据圆周角定理得 A=50，再根据切线的性质定理得 0，则此题易解 【解答】 解：连接 C， A= 5， A=50， 过点 D 作 O 的切线，切点为 C， 0， D=40 故选： A 9下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 个图形中一共有 1 个空心小圆圈，第 个图形中一共有 6 个空心小圆圈，第 个图形中一共有 13 个空心小圆圈， ，按此规律排列，则第 个图形中空心圆圈的个数为（ ） A 61 B 63 C 76 D 78 【考点】 规律型：图形的变化类 【分析】 由已知图形中空心小圆圈个数，知第 n 个图形中空心小圆圈个数为 43 页（共 70 页） （ n+2） +n（ n 1），据此可得答案 【解答】 解： 第 个图形中空心小圆圈个数为： 4 1 3+1 0=1 个； 第 个图形中空心小圆圈个数为： 4 2 4+2 1=6 个； 第 个图形中空心小圆圈个数为： 4 3 5+3 2=13 个； 第 个图形中空心圆圈的个数为： 4 7 9+7 6=61 个； 故选： A 10数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 高度，如图，老师测得大树前斜坡 坡度 i=1： 4，一学生站在离斜坡顶端 E 的水平距离 m 处的 D 点，测得大树顶端 A 的仰角为 ，已知 ， 学生身高 大树高度 （ ） m A 7 D 考点】 解直角三角 形的应用 直角三角形的应用 【分析】 根据题意结合坡度的定义得出 C 到 距离，进而利用锐角三角函数关系得出 长 【解答】 解：如图所示：过点 C 作 长线于点 G，交 点 N， 由题意可得： = = ， 解得： ， N= 第 14 页（共 70 页） = ， 设 x，则 x， 故 x，即 8+x， 解得： x= 故 3= 则 G m）， 答：大树高度 故选： D 11在矩形 ， ， ，以 A 为圆心， 半径画弧交线段 E，连接 阴影部分的面积为（ ） A B C D 【考点】 扇形面积的计算；矩形的性质 【分析】 连接 据勾股定理求出 长，进而可得出 度数，由余角的定义求出 度数，根据 S 阴影 =S 扇形 S 可得出结论 【解答】 解：连接 在矩形 ， ， ， D= 在 ， 第 15 页（共 70 页） = = ， 等腰直角三角形， 5， 5， S 阴影 =S 扇形 S 2 = 故选 A 12能使分式方程 +2= 有非负实数解且使二次函数 y=x k 1 的图象与 x 轴无交点的所有整数 k 的积为（ ） A 20 B 20 C 60 D 60 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；分式方程的解 【分析】 解分式方程，使 x 0 且 x 1，求出 k 的取值； 因为二次函数 y=x k 1 的图象与 x 轴无交点，所以 0，列不等式，求出 k 的取值； 综合 求公共解并求其整数解，再相乘 【解答】 解： +2= ， 去分母，方程两边同时乘以 x 1， k+2（ x 1） =3， x= 0， k 5 ， x 1， 第 16 页（共 70 页） k 3 ， 由 y=x k 1 的图象与 x 轴无交点，则 4 4（ k 1） 0， k 2 ， 由 得： 5 k 2 且 k 3， k 的整数解为： 5、 4，乘积是 20； 故选 B 二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上 13 2016 年重庆高考报名人数近 250000 人，数据 250000 用科学记数法表示为 105 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， 【解答】 解： 250000=105， 故答案为： 105 14计算：（ ） 2+（ 3） 0 = 2 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =4+1 3=2， 故答案为： 2 15如图，在 ， = ， 5： 8 第 17 页（共 70 页） 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 由比例的性质得出 = ，由平行线得出 出比例式，即可得出结果 【解答】 解： = ， = ， = ， 故答案为： 5： 8 16 “2016 重庆国际马拉松 ”的赛事共有三项： A、 “全程马拉松 ”、 B、 “半程马拉松 ”、 C、 “迷你马拉松 ”小明和小刚参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到以上三个项目组，则小明和小刚被分配到不同项目组的概率是 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 先画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数，然后根据概率公式计算 【解答】 解：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数为 6， 所以小明和小刚被分配到不同项目组的概率 = = 故答案为 第 18 页（共 70 页） 17甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面 100 米处，同时出发去距离甲 1300 米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快设甲、乙之间的距离为 y 米，乙行驶的时间为 x 秒， y 与 x 之间的关系如图所示若丙也从甲出发的地方沿相同的方向骑自行车行驶，且与甲的速度相同，当甲追上乙后 45 秒时，丙也追上乙，则丙比甲晚出发 15 秒 【考点】 函数的图象 【分析】 先根据图形信息可知： 300 秒时，乙到达目的地，由出发去距离甲 1300米的目的地，得甲到目的地是 1300 米，而乙在甲前面 100 米处，所以乙距离目的地 1200 米，由此计算出乙的速度； 设甲的速度为 x 米 /秒，根据 50 秒时，甲追上乙列方程求出甲的速度； 丙出发 95 秒追上乙，且丙比乙不是同时出发，可设丙比甲晚出发 a 秒，列方程求出 a 的值 【解答】 解：由图可知： 50 秒时，甲追上乙， 300 秒时，乙到达目的地， 乙的速度为： =4， 设甲的速度为 x 米 /秒， 则 50x 50 4=100， x=6， 设丙比甲晚出发 a 秒， 则（ 50+45 a） 6=（ 50+45） 4+100， a=15， 则丙比甲晚出发 15 秒； 故答案为： 15 第 19 页（共 70 页） 18在正方形 ，点 E 为 上一点且 F 为对角线 一点且 接 点 G，过点 F 作 点 H，连结 面积是 【考点】 相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】 如图，过 F 作 I，连接 到 I=IC=a，I=2a， a，由勾股定理得到 C=a，推出 ，根据正方形的性得到 分 三角形角平分线定理得到 = ，求得a=2，于是得到结论 【解答】 解：如图，过 F 作 I，连接 设 I=IC=a， I=2a， a， 则 C=a， H 为 中点， ， 四边形 正方形， 分 = ， a=2， a= ， S S （ a） 2+ 2a2a 2a a= ， 第 20 页（共 70 页） 故答案为： 三、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 19已知如图，点 F、 A、 E、 B 在一条直线上， C= F， E 求证： F 【考点】 全等三角形的判定与性质；平行线的性质 【分析】 根据平行线的性质可得 B= 利用 定 而可得 F 【解答】 证明： B= 在 ， F 20为了掌握某次数学模拟考试卷的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩分为 5 组：第一组 75 90；第二组 90 105；第三组 105 120；第四组 120 135；第五组 135150统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇第 21 页（共 70 页） 形统计图观察图形的信息，回答下列问题： 请将频数分布直方图补充完整；若老师找到第五组中一个学生的语文、数学、英语三科成绩，如表老师将语文、数学、英语成绩按照 3： 5： 2 的比例给出这位同学的综合分数求此同学的综合分数 科目 语文 数学 英语 得分 120 146 140 【考点】 频数（率）分布直方图；统计表；扇形统计图；加权平均数 【分析】 （ 1）根据第三组的频数是 20，对应的百分比是 40%，据此即可求得调研的总分人数，然后利用总人数减去其他组的人数即可求得第五组的人数，从而补全直方图； （ 2）利用加权平均数公式即可求解 【解答】 解：（ 1）调研的总人数是 20 40%=50（人）， 则第五组的人数少 50 6 8 20 14=2 ； （ 2）综合分数是 =137（分） 答：这位同学的综合得分是 137 分 第 22 页（共 70 页） 四、解答题：（本大题共 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 21计算： （ 1） x（ x+2y）（ x y） 2+ 2）（ x+3） 【考点】 分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式 【分析】 （ 1）先去括号，再合并同类项即可解答本题； （ 2）先化简括号内的式子，再根据分式的除法即可解答本题 【解答】 解：（ 1） x（ x+2y）（ x y） 2+y2+4 （ 2）（ x+3） = = = = 22如图，一次函数 y1=ax+b（ a 0）的图象与反比例函数 （ k 0）的图象交于 A、 B 两点，与 x 轴、 y 轴分别交于 C、 D 两点已知： ， ，点 B 的坐标为（ ， m） （ 1）求该反比例函数的解析式和点 D 的坐标； （ 2）点 M 在射线 ，且 面积 第 23 页（共 70 页） 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形 【分析】 （ 1）过 A 作 x 轴于点 E，在 ，可根据 长求得 A 点坐标，代入反比例函数解析式可求反比例函数解析式，进一步可求得 B 点坐标，利用待定系数法可求得直线 解析式，则可求得 D 点坐标； （ 2）过 M 作 x 轴于点 F，可证得 求得 长，代入直线 析式可求得 M 点坐标，进一步可求得 面积 【解答】 解： （ 1）如图 1，过 A 作 x 轴于 E， 在 ， = ， 设 AE=a，则 a， = a， ， a=1， ， ， A 点坐标为（ 3， 1）， 第 24 页（共 70 页） 反比例函数 （ k 0）的图象过 A 点， k= 3， 反比例函数解析式为 ， 反比例函数 的图象过 B（ ， m）， m= 3，解得 m= 2， B 点坐标为（ ， 2）， 设直线 y=nx+b，把 A、 解得 ， 直线 解析式为 y= x 1， 令 x=1，可得 y= 1， D 点坐标为（ 0， 1）； （ 2）由（ 1）可得 ， = ， 如图 2，过 M 作 x 轴于点 F，则 = = ， ，即 M 点的纵坐标为 3， 代入直线 析式可得 3= x 1，解得 x= 6， M 点坐标为（ 6， 3）， 第 25 页（共 70 页） S = 1 （ +6） = ， 即 面积为 23 2016 年 5 月 29 日，中超十一轮，重庆力帆将主场迎战河北华夏幸福，重庆“铁血巴渝 ”球迷协会将继续组织铁杆球迷到现场为重庆力帆加油助威 “铁血巴渝 ”球迷协会计划购买甲、乙两种球票共 500 张，并且甲票的数量不少于乙票的3 倍 （ 1）求 “铁血巴渝 ”球迷协会至少购买多少张甲票； （ 2） “铁血巴渝 ”球迷协会从售票处得知，售票处将给予球迷协会一定的优惠，本场比赛球票以统一价格（ m+20）元出售给该协会，因此协会决定购买的票数将在原计划的基础上增加（ m+10） %，购票后总共用去 56000 元，求 m 的值 【考点】 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】 （ 1）购买甲票 x 张，则购买乙票张，根据题意列出不等式解答即可； （ 2）根据题意列出方程解答即可 【解答】 解：（ 1）设：购买甲票 x 张，则购买乙票张 由条件得： x 3 x 375， 故： “铁血巴渝 ”球迷协会至少购买 375 张甲票 （ 2）由条件得： 5001+（ m+10） %（ m+20） =56000 30m 9000=0 0， 180 0（舍） 故： m 的值为 50 24把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算， 如此重复下去，若最终结果为 1，我们把具有这种特征的自然数称为 “快乐数 ”例如： 3232+22=1312+32=1012+02=1， 7072+02=4942+92=9792+72=13012+32+02=1012+02=1， 第 26 页（共 70 页） 所以 32 和 70 都是 “快乐数 ” （ 1）写出最小的两位 “快乐数 ”；判断 19 是不是 “快乐数 ”；请证明任意一个 “快乐数 ”经过若干次运算后都不可能得到 4； （ 2）若一个三位 “快乐数 ”经过两次运算后结果为 1，把这个三位 “快乐数 ”与它的各位上的数字相加所得的和被 8 除余数是 2，求出这个 “快乐数 ” 【考点】 因式分解的应用 【分析】 （ 1）根据 “快乐数 ”的定义计算即可； （ 2）设三位 “快乐数 ”为 100a+10b+c，根据 “快乐数 ”的定义计算 【解答】 解：（ 1） 12+02=1， 最小的两位 “快乐数 ”10， 1912+92=8282+22=6862+82=10012+02+02=1， 19 是快乐数； 证明： 43758=688912530981656137， 37 出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现 1， 所以任意一个 “快乐数 ”经过若干次运算后都不可能得到 4 （ 2）设三位 “快乐数 ”为 100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为 1，所以第一次运算后结果一定是 10 或者 100， 则 a2+b2+0 或 100， a、 b、 c 为整数，且 a 0， 当 a2+b2+0 时， 12+32+02=10， 当 a=1， b=3 或 0， c=0 或 3 时，三位 “快乐数 ”为 130， 103， 当 a=2 时，无解； 当 a=3， b=1 或 0， c=0 或 1 时，三位 “快乐数 ”为 310， 301， 同理当 a2+b2+00 时， 62+82+02=100， 所以三位 “快乐数 ”有 680， 608， 806， 860 综上一共有 130， 103， 310， 301， 680， 608， 806， 860 八个， 又因为三位 “快乐数 ”与它的各位上的数字相加所得的和被 8 除余数是 2，所以只有 310 和 860 满足已知条件 第 27 页（共 70 页） 五、解答题：（本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 25在 ，以 斜边，作直角 点 D 落在 ， 0 （ 1）如图 1，若 C， 0， ，点 P、 M 分别为 的中点，连接 线段 长； （ 2）如图 2，若 C，把 点 A 逆时针旋转一定角度，得到 接 延长交 点 P，求证： P （ 3）如图 3，若 D，过点 D 的直线交 点 E，交 点 F， C，请直接写出线段 间的关系（不需要证明） 【考点】 三角形综合题 【分析】 （ 1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出 可； （ 2）先利用互余判断出， 到 用三角形的外角得到 可； （ 3）利用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，判断出 0即可 【解答】 （ 1）解： 0， 0， ， ， = =12， B=12， 点 P、 M 分别为 的中点， ， （ 2）如图 2， 第 28 页（共 70 页） 在 截取 D， 0， 0， E， 把 点 A 逆时针旋转一定角度，得到 0 0， 在 ， ， Q， Q， P （ 3） 理由：如图 3， 第 29 页（共 70 页） 连接 C， C， C， C， D， C， 0， 在 ， B， 在 ， C 26已知如图 1，抛物线 y= x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 与 y 轴相交于点 C，点 D 的坐标是（ 0， 1），连接 30 页（共 70 页） （ 1）求出直线 解析式； （ 2）如图 2，若在直线 方的抛物线上有一点 F，当 面积最大时，有一线段 （点 M 在点 N 的左侧）在直线 移动，首尾顺次连接点 A、M、 N、 F 构成四边形 求出四边形 周长最小时点 N 的横坐标； （ 3）如图 3，将 点 D 逆时针旋转 （ 0 180），记旋转中的 ，若直线 BC与直线 于点 P，直线 BC与直线 于点 Q，当 等腰三角形时，求 值 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）先求出点 A， B 坐标，再用待定系数法求出直线 析式； （ 2）先建立 S （ m+ ） 2+ ，进而求出 F 点的坐标，再确定出点 M 的位置，进而求出点 标，即可确定出 解析式为 y= x ，和直线 析式为 y= x 1 ，联立方程组即可确定出结论； （ 3）分四种情况讨论计算，利用锐角三角函数和勾股定理表示出线段，用相似三角形的性质即可求出 值 【解答】 解：（ 1） 抛物线 y= x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点， 0= x+3， x=2 或 x= 4， A（ 4， 0）， B（ 2， 0）， D（ 0， 1）， 直线 析式为 y= x 1； （ 2）如图 1， 过点 F 作 x 轴，交 H， 设 F（ m， m+3）， H（ m， m 1）， m+3（ m 1） = m+4， S |2（ m+4） = m+8=第 31 页（共 70 页） （ m+ ） 2+ ， 当 m= 时， S 大， F（ ， ） 如图 2， 作点 A 关于直线 对称点 平行直线 向平移到 连接 直线 点 N，把点 N 沿直线 左平移 得点 M，此时四边形 周长最小 ， ， ， ， ， ， 在 ， ， ， A ， ， ）， 过 ， ， ， ， ） F（ ， ） 解析式为 y= x ， B（ 2， 0）， D（ 0， 1）， 直线 析式为 y= x 1 ， 第 32 页（共 70 页） 联立 得， x= ， N 点的横坐标为： （ 3） C（ 0， 3）， B（ 2， 0）， D（ 0， 1） ， ， ， 上的高为 根据等面积法得， = ， A（ 4， 0）， C（ 0， 3）， ， ， ， 当 Q 时，简图如图 1， 过点 P 作 点 D 作 设 a，则 a， a， C=5a， D 6a ， ， a= ， 第 33 页（共 70 页） a= ； 当 Q 时，简图如图 2， 过点 P 作 设 a，则 a， C=5a， Q a， a， D 5a 同 的方法得出， ， 当 Q 时，简图如图 1 过点 Q 作 点 C 作 设 a，则 a， Q=5a， a， 第 34 页（共 70 页） a D 5a， 利用等面积法得， C a， 的方法得出 当 Q 时，简图如图 4， 过点 P 作 H 作 设 a，则 a， C=5a， +5a， ， 同 方法得出 综上所述， 值为： ； 4 ， ， = 第 35 页（共 70 页）