1_6354041_7.有心圆锥曲线的三个定义

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 277 中国 高考数学母题 (第 090 号 ) 有心圆锥曲线的三个定义 椭圆 与 双曲线 合称 有心圆锥曲线 ;我们知道 有心 圆锥曲线 有 第一 、第二 定义 ,实质上 ,有心 圆锥曲线 还有 第 三 定义 ;有心圆锥曲线 的三个 定义 不仅可以揭示其 本质 ,而且也 是解决 其 问题的主要工具 . 母题结构 :( )(第 一 定义 ) 椭圆上仼意一点到两焦点的距离和为定值 (2a,长轴长 ); 双曲线上仼意一点到两焦点距离差的绝对值为定值 (2a,实 轴长 ); ( )(第 二 定义 )有心圆锥曲线 C 上仼意一点到焦点的距离 与它到 相应准线 距离的 比等于离心率 e; ( )(第三定义 )若 A、 B 是离心率为 e 的有心圆锥曲线 C 上 ,且关于中心对称的两点 ,点 P 在 曲线 C 上 ,则 解 题 程序 :这里 子题类型 :(2006年江西高考试题 )的右支上一点 ,M、 x+5)2+和圆 (+上的点 ,则 |最大值为 ( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析 :在双曲线92 中 ,a=3,b=4 c=x+5)2+ 和圆 (+ 的圆心 恰是双曲线的左、右焦点 ,如图 ,则 | |2-| |2-(|1)=| |3=2a+3=9 |最大值为 (D). 点评 :第一 定义 的重要作用 :整体运用距离和或距离差的绝对值为定值 ;可 以把 有心圆锥曲线 上一点到一个焦 点的距 离 转化为该点 到 另 一个焦 点的距 离 . 同 类 试题 : 1.(2003 年上海高考试题 )给出问题 :2 焦点 ,点 P 在双曲线上 ,若 |9,则 | 双曲线的实轴长为 8,|=8,即 |9-|=8,得 |1或 正确 ,请将他的解题依据填在下面空格内 ;若不正确 ,请将正确结果填在下面空格内 . 2.(2014 年 辽宁 高考试题 )已知椭圆 C:92x+42y=1,点 M 与 C 的焦点不重合 ,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段中点在 C 上 ,则 | . 子题类型 :(2004 年福建高考试题 )如图 ,B 地在 A 地的正东方向 4 ,C 地在 B 地的 北偏东 300方向 2 ,河流的沿岸 线 )上任意一点到 的距离远 2现要在曲线 选一处 M 建一座码头 ,向 B、 C 的两地转运货物 从 M 到 B、 修建公路的费用分别是 a 万元 /2a 万元 /么修建这两条公路的总费用最低是 ( ) (A)(2 7 -2)a 万元 (B)5a 万元 (C)(2 7 +1)a 万元 (D)(2 3 +3)a 万元 解析 :以 点 直线 建立平面直角坐标系 ,则 C(3, 3 ),曲线 是 双曲线 :的右 支 , e=2;设 M 到右 准线 :x=21的 距离为 d,则 |d 总费用 =a|2a|2a(d+| 2a(3 (A). 点评 :有心 圆锥曲线的 焦点 与 其 相应准 线 是相生的 ,是一个共同体 ,由 其一作出其相对应的 量 ,是 利用 圆锥曲线 第二 定义 解决问题的 关键所在 ;第二 定义 可以 把曲线上点到焦点的距离 与该 点到 相应准 线的距离 进行相互 转化 . 同 类 试题 : 278 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 3.(2007年 辽宁 高考试题 )设椭圆252x+162y=1上一点 0,若点 M =21(+,则 |= . 4.(2008 年湖南高考试题 )若双曲线12222 a0,b0)的右支上存在一点 ,它到右焦点及左准线的距离相等 ,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) (A)(1, 2 (B) 2 ,+ ) (C)(1, 2 +1 (D) 2 +1,+ ) 子题类型 :(2015年 高考 课 标 试题 )已知 A,的左右顶点 ,点 上 , 且顶角为1200,则 E 的离心率是 ( ) (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2 解析 :以 中点 O 为坐标原点 ,直线 x 轴建立直角坐标系如图 ,由 200 00, 00 =E 的离心率 e= 2 D). 点评 :已知 A、 的 长轴 (实轴 )顶点 ,点 锥曲 线 、 若 直线 倾斜角分别为 、 ,则 =别的 ,圆锥曲线 e= 2 + =2,或23. 点评 :通过 同 类 试题 : 5.(2013 年 山东 春招 试题 )如图所示 ,点 P 是等轴双曲线上除顶点外的任意一点 ,2是双曲线的顶点 , 则直线 ) (A)1 (B) (C)2 (D).(2013 年 大纲 高考试题 )椭圆 C:42x+32y=1 的左 、 右顶点分别为 P 在 C 上 ,且直线 取值范围是 1,那么 ,直 线 取值范围是 . 7.(2002北京、内蒙古、安徽春招试题 )己知椭圆的焦点是 是椭圆上的一个动点 1,使得 |那么动点 Q 的轨迹是 ( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 8.(2012年 四川 高考试题 )(理 )椭圆42x+32y=1的左焦点为 F,直线 x=、 B,当 , . 9.(2007 年湖北高考试题 )过双曲线34 22 =1 左焦点 、 N 两点 ,则 |-|值为 . 10.(2005 年福建高考试题 )己知 22(a0,b0)的两个焦点 ,以线段 则双曲线的离心率是 . 11.(2008 年 福 建 高考试题 )双曲线22(a0,b0)的两个焦点为 P 为其上一点 ,且 |2|则双曲线离心率的取值范围为 ( ) (A)(1,3) (B)(1,3 (C)(3,+ ) (D)3,+ ) 12.(2009年辽宁高考试题 )己知 2 =1的左焦点 ,A(1,4),则 |最小值为 . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 279 13.(2009 年全国 高考试题 )己知 椭圆 C:22x+ 的右焦点 为 F,右准 线为 l,点 A l,线 段 C 于点 B,若 3则 |=( ) (A) 2 (B)2 (C) 3 (D)3 14.(2008 年 天津 高考试题 )设椭圆2222(m1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则 P 点到右准线的距离为 ( ) (A)6 (B)2 (C)21(D)77215.(2006 年 广东 高考试题 )已知双曲线 3,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 ( ) (A) 2 (B)322(C)2 (D)4 16.(2007 年四川高考试题 )如果双曲线24 22 =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 ( ) (A)364(B)362(C)2 6 (D)2 3 17.(2010 年 江 苏 高考试题 )在平面直角坐标系 ,双曲线42 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是 . 18.(2011 年 四川 高考试题 )双曲线642 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4,那 么 点 P 到左准线的距离 是 . 19.(2012年全国高中数学联赛 天津 预赛 试题 )设椭圆与 ,已知对于椭圆上不同于 A,直线 斜率之积均为 椭圆的离心率为 . 20.(2012 年全 国高中数学联赛湖北 初赛试题 )过原点 O 的直线 l 与椭圆 C:2222=1(ab0)交于 M,N 两点 ,P 是椭圆 ,N 的任一点 M,斜率之积为 椭圆 . 21.(2015 年 重庆 高考试题 )设双曲线2222=1(a0,b0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 2,过 F 做 ,若 双曲线的渐近线的斜率为 ( ) (A)21(B)22(C) 1 (D) 2 22.(2005 年全 国高 中数学联赛山东 初赛试题 )点 P 在双曲线 顶点 ,且 ) (A)300 (B) (C)250 (D) 该考生的解答不正确 ,由 |最小值为 ,所以 ,|1 应舍去 ,正确结果 是 |17. 如图 ,设 Q,则 |21|21| |2(|=12. 设右 焦点 为 E,由 0 |10e=6 |4 |=21|2. 由=e,且 |d+|+|2;又因 | 2 0 e2 + (C). 280 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 由 等轴双曲线 的离心率 e= 2 1A). 由143 21183,43. 由 |2a |2a |A). 设 右焦点为 E,则 | |4a=8,即直线 x=时 ,周长最大 ,此时 , 面积 =3. 由 |2a=4,|2a=4 |(|=8. 设 H,由 |2c | 3 c,|c;由 |2a 3 a e= 3 +1. 由 |2a,|2| |2a;又由 | 2a e B). 设 右焦点为 E,则 |4 |4 |4=5+4=9. 由 F(1,0),e=22,右准 线为 l:x= 点作 点 H,由 3 |2|由 |e| | 22| | 2 | 50 |= 2 | 2 (2 2 (A). 由 2m=3+1 m=2 e=21 P 点到右准线 = (B). 由 , e= (C). 由 右准线为 x=362,e=26 d=362 点 P 到 y 轴的距离 =362+362= (A). 由 右准线为 x=1 点 M 到 右准线 的距离 d=2 M 到双曲线右焦点的距离 = 2=4. 由 P 到双曲线右焦点的距离是 4 点 P 在双曲线右支上 点 P 到左焦点的距离 =20 点 P 到左准线的距离 =6. 由 21 e=21. 由 31e =36. 由 2ab,122 渐近线的斜率 k= C). 由 00,又由 D). 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 277 中国 高考数学母题 (第 090 号 ) 有心圆锥曲线的三个定义 椭圆 与 双曲线 合称 有心圆锥曲线 ;我们知道 有心 圆锥曲线 有 第一 、第二 定义 ,实质上 ,有心 圆锥曲线 还有 第 三 定义 ;有心圆锥曲线 的三个 定义 不仅可以揭示其 本质 ,而且也 是解决 其 问题的主要工具 . 母题结构 :( )(第 一 定义 ) 椭圆上仼意一点到两焦点的距离和为定值 (2a,长轴长 ); 双曲线上仼意一点到两焦点距离差的绝对值为定值 (2a,实轴长 ); ( )(第 二 定义 )有心圆锥曲线 C 上仼意一点到焦点的距离 与它到 相应准线 距离的 比等于离心率 e; ( )(第三定义 )若 A、 B 是离心率为 e 的有心圆锥曲线 C 上 ,且关于中心对称的两点 ,则 解题 程序 :这里 子题类型 :(2006年江西高考试题 )的右支上一点 ,M、 x+5)2+和圆 (+上的点 ,则 |最大值为 ( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析 :在双曲线92 中 ,a=3,b=4 c=x+5)2+ 和圆 (+ 的圆心 恰是双曲线的左、右焦点 ,如图 ,则 | |2-| |2-(|1)=| |3=2a+3=9 |最大值为 (D). 点评 :第一 定义 的重要作用 :整体运用距离和或距离差的绝对值为定值 ;可 以把 有心圆锥曲线 上一点到一个焦 点的距 离 转化为该点 到 另 一个焦 点的距 离 . 同 类 试题 : 1.(2003 年上海高考试题 )给出问题 :2 焦点 ,点 P 在双曲线上 ,若 |9,则 | 双曲线的实轴长为 8,|=8,即 |9-|=8,得 |1或 正确 ,请将他的解题依据填 在下面空格内 ;若不正确 ,请将正确结果填在下面空格内 . 2.(2014 年 辽宁 高考试题 )已知椭圆 C:92x+42y=1,点 M 与 C 的焦点不重合 ,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段中点在 C 上 ,则 | . 子题类型 :(2004 年福建高考试题 )如图 ,B 地在 A 地的正东方向 4 ,C 地在 B 地的 北偏东 300方向 2 ,河流的沿岸 线 )上任意 一点到 的距离远 2现要在曲线 选一处 M 建一座码头 ,向 B、 C 的两地转运货物 从 M 到 B、 修建公路的费用分别是 a 万元 /2a 万元 /么修建这两条公路的总费用最低是 ( ) (A)(2 7 -2)a 万元 (B)5a 万元 (C)(2 7 +1)a 万元 (D)(2 3 +3)a 万元 解析 :以 点 直线 建立平面直角坐标系 ,则 C(3, 3 ),曲线 是 双曲线 :的右 支 , e=2;设 M 到右 准线 :x=21的 距离为 d,则 |d 总费用 =a|2a|2a(d+| 2a(3 (A). 点评 :有心 圆锥曲线的 焦点 与 其 相应准 线 是相生的 ,是一个共同体 ,由 其一作出其相对应的 量 ,是 利用 圆锥曲线 第二 定义 解决问题的 关键所在 ;第二 定义 可以 把曲线上点到焦点的距离 与该 点到 相应准 线的距离 进行相互 转化 . 同 类 试题 : 278 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 3.(2007年 辽宁 高考试题 )设椭圆252x+162y=1上一点 0,若点 M =21(+,则 |= . 4.(2008 年湖南高考试题 )若双曲线12222 a0,b0)的右支上存在一点 ,它到右焦点及左准线的距离相等 ,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) (A)(1, 2 (B) 2 ,+ ) (C)(1, 2 +1 (D) 2 +1,+ ) 子题类型 :(2015年 高考 课 标 试题 )已知 A,的左右顶点 ,点 上 , 且顶角为1200,则 E 的离心率是 ( ) (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2 解析 :以 中点 O 为坐标原点 ,直线 x 轴建立直角坐标系如图 ,由 200 00, 00 =E 的离心率 e= 2 D). 点评 :已知 A、 的 长轴 (实轴 )顶点 ,点 锥曲 线 、 若 直线 倾斜角分别为 、 ,则 =别的 ,圆锥曲线 e= 2 + =2,或23. 点评 :通过 同 类 试题 : 5.(2013 年 山东 春招 试题 )如图所示 ,点 P 是等轴双曲线上除顶点外的任意一点 ,2是双曲线的顶点 , 则直线 ) (A)1 (B) (C)2 (D).(2013 年 大纲 高考试题 )椭圆 C:42x+32y=1 的左 、 右顶点分别为 P 在 C 上 ,且直线 取值范围是 1,那么 ,直线 取值范围是 . 7.(2002北京、内蒙古、安徽春招试题 )己知椭圆的焦点是 是椭圆上的一个动点 1,使得 |那么动点 Q 的轨迹是 ( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 8.(2012年 四川 高考试题 )(理 )椭圆42x+32y=1的左焦点为 F,直线 x=、 B,当 , . 9.(2007 年湖北高考试题 )过双曲线34 22 =1 左焦点 、 N 两点 ,则 |-|值为 . 10.(2005 年福建高考试题 )己知 22(a0,b0)的两个焦点 ,以线段 则双曲线的离心率是 . 11.(2008 年 福 建 高考试题 )双曲线22(a0,b0)的两个焦点为 P 为其上一点 ,且 |2|则双曲线离心率的取值范围为 ( ) (A)(1,3) (B)(1,3 (C)(3,+ ) (D)3,+ ) 12.(2009年辽宁高考试题 )己知 2 =1的左焦点 ,A(1,4),则 |最小值为 . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 279 13.(2009 年全国 高考试题 )己知 椭圆 C:22x+ 的右焦点 为 F,右准 线为 l,点 A l,线 段 C 于点 B,若 3则 |=( ) (A) 2 (B)2 (C) 3 (D)3 14.(2008 年 天津 高考试题 )设椭圆2222(m1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则 P 点到右准线的距离为 ( ) (A)6 (B)2 (C)21(D)77215.(2006 年 广东 高考试题 )已知双曲线 3,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 ( ) (A) 2 (B)322(C)2 (D)4 16.(2007 年四川高考试题 )如果双曲线24 22 =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 ( ) (A)364(B)362(C)2 6 (D)2 3 17.(2010 年 江 苏 高考试题 )在平面直角坐标系 ,双曲线42 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是 . 18.(2011 年 四川 高考试题 )双曲线642 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4,那 么 点 P 到左准线的距离 是 . 19.(2012年全国高中数学联赛 天津 预赛 试题 )设椭圆与 ,已知对于椭圆上不同于 A,直线 斜率之积均为 椭圆的离心率为 . 20.(2012 年全 国高中数学联赛湖北 初赛试题 )过原点 O 的直线 l 与椭圆 C:2222=1(ab0)交于 M,N 两点 ,P 是椭圆 ,N 的任一点 M,斜率之积为 椭圆 . 21.(2015 年 重庆 高考试题 )设双曲线2222=1(a0,b0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 2,过 F 做 ,若 双曲线的渐近线的斜率为 ( ) (A)21(B)22(C) 1