1_6354103_2.三角函数的有界性与换元思想

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 109 中国 高考数学母题 (第 028 号 ) 三角函数的有界性与换元思想 正弦与余弦三角函数 具有 特别的 有界 性质 ,与正弦、余弦三角函数有界性有关的典型问题是求三角函数式的最大值和最小值 ,“化一”与换元思想是解决该类问题的基本思想 . 母题结构 :正弦与余弦三角函数的有界性质 :,. 母题 解 析 :略 . 1.“化一”思想 子题类型 :(2013 年 高考 课 标 试题 )设当 x= 时 ,函数 f(x)=得最大值 ,则 . 解析 :由 f(x)= 5 (55令 55,552)= 5 (= 5 当 =1,即 =22 + 时 ,f(x)取得最大值 5 ,此时 ,2 + )=- 552 . 点评 :对 于 函数 f(x)=a0),利用 “ 化一 ” 思想可得 : x)=- 22 ,x)= 22 ;若 f( )= x),则 若 f( )=x), 则 22 同 类 试题 : 1.(1995 年全国高考试题 )函数 y=最小值是 . 2.(2000 年北京、安徽春招试题 )函数 y=xx 的最大值是 ( ) (A)22B)22+1 (C)1)子题类型 :(2016 年 高考 全国 甲 卷 试题 )函数 f(x)= 最大值为 ( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析 :令 t ,则 f(x)=g(t)=1t x)=g(1)= (B). 点评 :关于 正弦与余弦的 二次函数 的 最大 (小 )值 问题 ,换元后 ,转化为 二次函数 在区间 上 最大 (小 )值 问题 解决 . 同 类 试题 : 3.(2014 年全国 大纲 高考试题 )函数 y= 最大值 为 . 4.(2005 年浙江高考试题 )己知 k函 数 y=k(最小值是 ( ) (A)1 (B) (C)2k+1 (D) 子题类型 :(1990 年全国高考试题 )函数 y=最大值是 . 解析 :令 t= t=2 x+4) - 2 , 2 ,1( y=21(t=21(t+1)2- 1 当 t= 2 时 ,y 取 得 最 大 值 =21+ 2 . 点评 :仅含有 数 的 最大 (小 )值 问题 ,利用三个关系 换 元后 ,转化为二次函数在区间 - 2 , 2 上最大 (小 )值问题解决 . 同 类 试题 : 110 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 5.(1988 年日本高考试题 )设 求函数 f(x)=2a( 6.(2008 年四川高考试题 )求函数 y=7最大值与最小值 . 7.(2004 年全国高考试题 )函数 y=2+x)的最小值等于 ( ) (A) (B) (C) (D)8.(2004 年全国高考试题 )函数 y=最大值为 . 9.(2010 年江西高考试题 )函数 y=值域是 ( )(A) (B)1 (C) (D)5 10.(1997 年全国高考试题 )函数 y= 的最小值为 ( ) (A)2 (B)0 (C)6 11.(1989 年广东高考试题 )函数 y=2最大值是 ( ) (A) (B)21(D)2.(2008 年 课标 高考试 题 )函数 f(x)=最小值和最大值分别为 ( ) (A) (B) (C)3(D)313.(2004 年全国 高考试题 )函数 f(x)=x R)的最大值等于 . 14.(1986 年广东高 考试题 )函数 y=7的最大值是 ( ) (A)47(B)2 (C)417(D)4915.(2004年全 国高中数学联赛天津 初赛试题 )若函数 f(x)=11a,最小值为 b,则等于 ( ) (A)18 (B)6 (C)5 (D)0 16.(2008年全 国高中数学联赛 试题 )设 f(x)=+最小值为 a= . 由 y=21y 的 最小值是 由 2+ 2 x+4) y22+ (B). 令 t=,则 y=t+1 3. 当 t=1时 ,y 取 得 最小值 = (A). 设 t=2 x+4) - 2 , 2 ,则 f(x)=g(t)=2221(+21. 由 y=77+(1 ,0. 由 y=+x) (C). 由 y=2525. 令 t,则 y=t2+ (C). 令 t,则 y= (C). 令 t,则 y= (B). 令 t,则 y=t+1 3 (C).