1_6354110_11.由函数的对称性到对称函数

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 079 中国 高考数学母题 (第 021 号 ) 由函数的对称性到对称函数 函数的对称性是函数奇偶性的拓展 ,函数的对称性是一个函数所具有的性质 ,而对称函数则 是 两 个函数 之间的关系 ;对称 又分为 轴对称 和 中心对称 ;函数的对称性 与 对称函数 是 课标 高考命题 的一个突出的特色 . 母题结构 :( )(函数的对称性 ) (轴对称 ):f(a+x)=f( f(x)的 图像关于直线 x=2称 ; (中心对称 ): f(a+x)+f(2c f(x)的图像关于点 M(2c)对称 ; ( )(对称函数 ) (轴对称 ) 若函数 g(x)的图象与函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称 ,则 g(x)=f(2函数 f(x)与反函数 x)的图象关于直线 y=x 对称 ; (中心对称 )若函数 g(x)的图象与函数 f(x)的图象关于点 M(a,b)对称 ,则g(x)=2 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016年 高考 全国甲卷 文 科 试 题 )已知函数 f(x)(x R)满足 f(x)=f(2若函数 y=| y=f(x)图象的交点为 (x1,(x2, ,(xm,则mi ) (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 解析 :由 y=| y=f(x)图象 都关于直线 x=1 对称 每对 ;当 m 为偶数时 ,mi 2m=m;当 m 为奇数时 ,mi 21m+1=B). 点评 :函数的轴对称性是 偶函数的拓展 ,也可以视为 偶函数 平移的结果 ;如偶函数 y=f(x+a)向右平移 y=f(x)的图象关于直线 x=若 g(x)=f(a+ x)f(x),则 g(x)关于直线 x=2称 . 同 类 试题 : 1.(2014 年 高考 课 标 试题 )已知 偶 函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称 ,f(3)=3,则 f( . 2.(2010 年 第 二十一 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )方程 f(x+3)f(10有 5 个不相等的实数根 ,则这 5 根之和为 ( ) (A)0 (B)5 (C) (D)子题类型 :(2016 年 高考 全国甲卷 理科 试 题 )已知函数 f(x)(x R)满足 f(2-f(x),若函数 y=与 y=f(x)图象的交点为 (x1,(x2, ,(xm,则 mi ii (=( ) (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 解析 :由 y=与 y=f(x)图象 都关于 (0,1)对称 每对 ,且对 mi ii (=mi mi +22m=B). 点评 :函数的 中心对称 是 奇 函数的拓展 ,也可以视为 奇 函数 平移的结果 ;如 奇 函数 y=f(x+a)向右平移 y=f(x)的图象关于 点 M(a,0)对称 ; 三次函数 f(x)=cx+d(a 0)的对称中心 M(f(. 同 类 试题 : 080 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 3.(1998 年北京市中学生数学竞赛高一 试 题 )设 函数 f(x)=(x+a)3对任意 实数 x 都有 f(2+x)=则 f(f(3)= . 4.(2011 年课标 高考试题 )函数 y=11y=2x(x 4)的图像所有交 点的横坐标之和等于 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 子题类型 :(2015年 高考 课 标 试题 )设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+y=且 f(f(1, 则 a=( ) (A) (B)1 (C)2 (D)4 解析 :在 y=f(x)的图像 上任取一点 P(x,y),则点 P(x,y)关于直线 y=称 点 Q(x)在 y=2x+ 2-y+a= y=x) f(x)=x);由 f(f(1 (1 a=D). 点评 :求函数 y=f(x)的图象关于 点 M(或 直线 l)的对称图象的解析式 ,基本的方法是逆向变换 ,即在所求函数上任取一点 P(x,y),并求出点 P(x,y)关于 点 M(或 直线 l)的对称点的坐标 Q(用 x,把点 y=f(x)的解析式中得关于 x,y 的方程 ,由此解出 y,即得所求函数的解析式 ,并且要关注函数的定义域 .若 f(x)为单调 函数 ,且方程 f(x)+根为 程 x)+根为 x1+b. 同 类 试题 : 5.(2013 年 北京 高考试题 )函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度 ,所得图象与曲线 y=y 轴对称 ,则 f(x)=( ) (A) (B) (C) (D).(2012 年 高考 课 标 试题 理科 第 12 题 )设点 P 在曲线 y=21点 Q 在曲线 y=x)上 ,则 |最小值为 ( ) (A)1 (B) 2 (1 (C)1+ (D) 2 (1+ 7.(2014年 山东 高考试题 )对于函数 f(x),若存在常数 a 0,使得 都有 f(x)=f(2则称 f(x)为准偶函数 ) (A)f(x)= x (B)f(x)= (C)f(x)= (D)f(x)=x+1) 8.(2014 年 大纲 高考试题 )奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数 ,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( ) (A) (B) (C)0 (D)1 9.(2009 年山东高考试题 )己知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(-f(x),且在区间 0,2上是增函数 f(x)= m(m0),在区间 上有四个不同根 x1,x2,x3, x1+x2+x3+ . 10.(2011 年 第 二十二 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试 题 )已知函数 y=f(x)满足 f(3f(3+x),且方程 f(x)=0 有 x1, , x1+ + . 11.(2010 年全国高中数学联赛 河北 预 赛试题 )函数 f(x)=x+1 的图象的对称中心为 ( ) (A)() (B)(1,2) (C)(2) (D)(1,12.(2013 年 第 二十 四 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )函数 y=x+1 的图像关于 ( ) (A)点 (1,2)成中心对称 (B)点 ()成中心对称 (C)直线 x=1 成轴对称 (D)直线 x=轴对称 13.(2010 年 全 国高中数学联赛山东 初赛 试题 )函数 f(x)=x+4 图像的对称中心为 . 14.(2008 年全 国高中数学联赛 湖南初赛 试题 )设函数 f(x)=x+14,且 f(a)=1,f(b)=19,则 a+b= . 15.(2008 年全国高中数学联赛 湖南 预 赛试题 )设函数 f(x)定义在 R 上 ,给出下述三个命题 :满足 f(x+2)+f(24 的函数图象关于点 (2,2)对称 ;满足 f(x+2)=f(2函数图象关于直线 x=2对称 ;函数 f( f()在同一坐标系中 ,其图象关于直线 x=2 对称 真命题的个数是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 16.(2006年全国高考试题 )函数 y=f(x)的图象与函数 g(x)=x0)的图象关于原点对称 ,则 y=f(x)的表达式为 ( ) (A)f(x)=x0) (B)f(x)=x)( (D)f(x)=x)( x1+(x3+ 2=4 x1+x2+x3+12+4=由 f(3+x)=f(3 f(x)的图象关于直线 x=3 对称 每 两根之和 =6; 当 n=2k 为偶数时 ,x1+ +k=3n; 当n=2k+1 为 奇 数时 ,有一根为 3,另 外 每 两根之和 =6 x1+ +6k=3(2k+1)=x1+ +n. 由 a=1,b= f(1)=2 对称中心为 (1,2)B). 由 a=1,b= f(1)=2 对称中心为 (1,2)A). 由 a=1,b=2 32 f(2770 对称中心为 (770). 由 a=1,b=3 1 f(10 f(x)图象 的 对称 中心 M(0);又因2191=102a+b=由 是真命题 ;又由 x+2 x=2 是真命题 D). 在 函数 y=f(x)的图象上任取一点 P(x,y),由题知 ,点 P(x,y)关于原点的对称点 Q(y)在 g(x)=x0)的图象上 -y=x) y=x) f(x)=x