3_8064920_22.妙解导数零点不可求问题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 757 中国 高考数学母题 (第 212 号 ) 妙解导数零点不可求问题 利用导数研究函数的关键“点”是求导数的零点 ,在高考中 ,存在 一类试题 ,其 导数的零点 不可求 ,那 么 如何破解“ 导数的零点 不可求 ”的困局 ?我们 给出破解困局的 三 法 . 母题结构 :( )(分离函数 )对 导 函数 f (x)进 行 等价变形 ,分离出 函数 g(x),使 f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒负 ,或其 零点 可求 ,然后 ,研究 函数 g(x)的零点 ; ( )(设而不求 )若 f(x)的 导 函数 f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒负 ,函数 g(x)在 f(x)的定义域內存在唯一的不可求 零点 ;则 求 g(x)在 f(x)的定义域內 的 唯一 零点 的取值范围 ;由 g( )=0,消去参数 ,或 消去 零点 ,将 f( )表示为不含参数 的 的 函数 ,或 表示为不 零点 的 参数 函数 ;由的取值范围 ,或 参数 的 取值范围 ,求 f( )的 取 值范围 ; ( )(二次求导 )求 导 函数 f (x),并 分离 构造 函数 g(x),使 f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒负 ;求 函数 g(x)的导 函数 g (x),研究 函数 g (x)的零点 和 g(x)的性质 ;由 函数 g(x)的性质 ,分析确定 函数 f(x)的性质 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2012 年课标高考 试题 )设函数 f(x)= )求 f(x)的单调区间 ; ( )若 a=1,k 为整数 ,且当 x0时 ,(f (x)+x+10,求 k 的 最大值 . 解析 :( )由 f(x)=f (x)=当 a 0 时 ,f (x)0 f(x)在 (- ,+ )上 单调 递增 ;当 a0 时 ,f(x)在 (- , 单调 递 减 ,f(x)在 ( )上 单调 递增 ; ( )当 a=1时 ,f (x)=以 ,当 x0时 ,(f (x)+x+10 当 x0时 ,则 g (x) =2)1( e(由 ( )知 ,f(x)= (0,+ )上 单调 递增 ,且 f(1)=f(x),即 g (x)在 (1,2)内存在唯一的零点 ,且是 g(x)的极小值点 ,也是 g(x)的最小值点 ;由 g ( )=0 +2 g( )= 11e+ =1+ (2,3) k 的 最大值 =2. 点评 :对于函数 f(x)满足 :f (x)=M(x)g(x),其中 M(x)或恒正 ,或恒负 ,g(x)不含参数 ,研究函数 f(x)的性质 ;确定g(x)的零点范围 ;判断是 f(x)的极大值点 ,还是极小值点 ?由 g( )=0及的范围 ,求 f( )的取值范围 . 同 类 试题 : 1.(2013 年课标 高考试题 )已知函数 f(x)=x+m).( )设 x=0 是 f(x)的极值点 ,求 m,并讨论 f(x)的单调性 ; ( )当 m2 时 ,证明 :f(x)0. 2.(2015 年 四川 高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=中 a0. ( )设 g(x)是 f(x)的 导函数 ,讨论函数 g(x)的单调性 ; ( )证明 :存在 a (0,1),使得 f(x) 0 在区间 (1,+ )内恒成立 ,且 f(x)=0 在区间 (1,+ )内有唯一解 . 子题类型 :(2015 年课标 高考试题 )设函数 f(x)= )讨论 f(x)的导函数 f (x)的零点的个数 ; ( )证明 :当 a0 时 ,f(x) 2a+解析 :( )f(x)的定义域为 (0,+ );由 f(x)=f (x)=2x0);当 a 0 时 ,f (x)0 f (x)的零点的个数 =0;当 a0 时 ,f (x)在 (0,+ )内 单调递增 ,且 f (a)0,f (8a)1. 4.(2013 年 辽宁 高考试题 )( )证明 :当 x 0,1时 ,22x x; ( )若不等式 ax+3x+2(x+2)4 对 x 0,1恒成立 ,求实数 a 的 取值范围 . 子题类型 : (2008 年 湖南 高考试题 )已知函数 f(x)=+x)2. ( )求函数 f(x)的单调区间 ; ( )若不等式 (1+n1)n+a e 对任意的 n N*都成立 (其中 e 是自然对数的底数 ).求 a 的最大值 . 解析 :( )由 函数 f(x)的定义域是 ( ),f (x)=1 )1( )2( =2)1( 1x2(1+x)+x)-x(x+2);设 g(x)= 2+x)-x(x+2),则 g (x)=2+x)g (x)=x122 g(x)在 ()上为增函数 ,在 (0,+ )上为减函数 g (x)0. ( )设 g(x)是 f(x)的 导函数 ,讨论函数 g(x)的单调性 ; ( )证明 :存在 a (0,1),使得 f(x) 0 在区间 (1,+ )内恒成立 ,且 f(x)=0 在区间 (1,+ )内有唯一解 . ( )m=1;f(x)在 ()内 单调递减 ;在 (0,+ )内单调递增 ; ( )当 m2 时 ,f(x)=x+m) x+2),故只需证明当 m=2 时 ,f(x)=x+2)0;由 f (x)= )内单调递增 ,且 f( f(x)的最小值点 (),且 210x=0 ln()=x)=f( ln()=210x+. ( )g(x)在 (0,1)内 递 减 ,在 (1,+ )内 递增 ; ( )由 ( )知 f (x)=g(x)在 (1,+ )内 递增 ,且 f (1)=f (x)在 (1,+ )内存在唯一零点 ,且 x=是 f(x)的极小值点 ,也是 f(x)的最小值点 ,所以 ,f(x) 0 在区间 (1,+ )内恒成立 ,且 f(x)=0 在区间 (1,+ )内有唯一解 f( )=0;由 f ( )=0 a= 1 f( )= 22 ( =1)2;令 h(x)=)2,则 h(1)=1,h(e)=4(1)=0,T(e)=g(t)=( 则 g (t)=e+2(1 g (t)=224t( g t)=g (2e)=e+2-4 e 0,g(e)=1(2(1 )=2e1. ( )当 x=0 时 ,22x x 成立 ;当 x (0,1时 ,在 y=任取一点 P(x,取一点 A(4,22),则2,且 f (1)0,f (41)1 时 ,f(x) 0;由 f (x)= f(x)=1x( f (x)在 (0,1)上单调递减 ,在 (1,+ )上单调递增 f (x) f (1)=10 f 在 (0,+ )上单调递增 当 01 时 ,f(x)f(1)=(f(x) 0. ( )f(x)在 (- ,0)上 单调 递减 0,+ )上 单调 递增 ;( )由 f(x)=f (x)=f (x)=当 a21时 ,f (x) 0 f (x)在 0,+ )上 单调 递增 f (x) f (0)=0 f(x)在 0,+ )上 单调 递增 f(x)f(0)=0;当 a21时 ,f (x)在 0, 单调 递减 当 x 0, ,f (x) f (0)=0 f(x)在 0, 单调 递减 当 x 0, ,f(x) f(0)=0,不合题意 a 的取值范围 是 (- ,21. ( )x)=g(1)=( )由 f(1)=0 b= f(0)=0,所以 ,f(x)在区间 (0,1)内有零点 f(x)在区间 (0,1)内 至少有 三个单调区间 ;由 ( )知 ,当 a21或 a2f (x)在区间 0,1上单调 f(x)在区间 (0,1)内至少有二个单调区间 ,不合题意 ; 当210,g(1)= a (),x)=2a)a) h(x)= 3x)x (),则 h (x)=1x) x)=h(2e)=2a0) g (x)=22x(a); 当 a41时 ,g (x) 0 g(x)在 (0,+ )内 递增 ; 当 02(30 f (x)在 (1,+ )内存在唯一 零点 ,且 x=是 f(x)的极小值点 ,也是 f(x)的最小值点 ,所以 ,f(x) 0在区间 (1,+