3_8064931_13.证明函数不等式典型技法

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 721 中国 高考数学母题 (第 203 号 ) 证明函数不等式 典型技法 函数不等式成为 高考命题热点 ,是因为它不仅处于函数 与不等式的交汇点 ,而且其 解决问题 的 思路独特 ,方法 灵活 ,技巧性高 ,其中 ,分离 放缩法 、 构造切线法 和 几何 构造法 是证明函数不等式 的 典型 技 法 母题结构 :( )(分离 放缩法 )首先分离函数 f(x),使得 : f(x)=g(x)+h(x),其中 ,h(x)易于 放缩 为 :h(x) m(x),然后解决 不等式 g(x)+m(x) 0 问题 ; f(x)=m(x)g(x),其中 ,易于求 m(x)的最小值 m(m0),然后解决 不等式 mg(x) 0 问题 ; ( )(构造切线法 ) 若 f(x)在区间 导 ,且 f (x)在区间 调 递增 ,则 当 f(x) f (f(当且仅当 x=等号成立 ; 若 f(x)在区间 且 f (x)在区间 减 ,则当 f(x) f (x- f(当且仅当 x=等号成立 ; 若 f(x),g(x)在区间 D 上 均 连续 可导 ,两 曲 线 y=f(x),y=g(x)有公 切 线 ,且 f (x)在区间 D 上 单调 递增 ,g (x)在区间 D 上单调递减 ,则当 x D 时 ,f(x) g(x); ( )(几何 构造法 ) (距离模型 ):F(x)=f(x)+(; (斜率模型 ):F(x)=ax )(. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2012 年 山东 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=xe kxln(k 为常数 ,e=2071828 是自然对数的底数 ),曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线与 x 轴平行 .( )求 k 的值 ; ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )设 g(x)=(x2+x)f (x),其中 f (x)为 f(x)的导函数 ,证明 :对任意 x0,g(x)0,则 h (x)=)=0 f (x)0 f(x)在 (0,1)上单调 递增 ;当 x (1,+ )时 ,h(x)x+10 00),则 (x)= (x)在 (0,单调 递增 ,在 ( )上单调 递减 x)= (1+11+点评 :研究关于函数 f(x)的不等式 ,把 f(x)分离为乘积式 m(x)g(x)是 放缩法 的一种 重要应 用 形式 ,其中 ,m(x)恒正或恒负 ,且其 取值范围易于确定 ,由此可把 关于函数 f(x)的不等式 问题转化为 关于 函数 g(x)的不等式 问题 ,而函数 g(x)相对于函数 f(x)较简单 ,这样可利于问题 的 解决 . 同 类 试题 : 1.(2013 年课标 高考试题 )已知函数 f(x)=x+m).( )设 x=0 是 f(x)的极值点 ,求 m,并讨论 f(x)的单调性 ; ( )当 m2 时 ,证明 f(x)0. 2.(2012 年 山东 高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=xe kxln(k 为常数 ,e=自然对数的底数 ),曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)的切线与 x 轴平行 .( )求 k 的值 ; ( )求 f(x)的单调区间； ( )设 g(x)=(x),其中 f (x)为 f(x)的导函数 ,证明 :对任意 x0,g(x)0.设 (0,+ ),y=kx+y=f(x)在点 (x0,f(处 的切线方程 ,并设函数 g(x)=kx+m. ( )用 f( f (示 m; ( )证明 :当 (0,+ )时 ,g(x) f(x); 4.(2007 年湖北高考试题 )己知定 义 在正 实数 集上的函 数 f(x)=21ax,g(x)=3b,其中 a 线y=f(x),y=g(x)有公共点 ,且在 该 点 处 的切 线 相同 .( )用 a 表示 b,并 求 b 的最大 值 ; ( )求 证 :f(x) g(x)(x0). 子题类型 :(2007 年辽宁高考试题 )己知函 数 f(x)=ex+x)+ :f(x)23. 解析 :由 f(x)=ex+x)+=(1=(+(+1;令 P(x, Q(t,t),则 f(x)=|+1,其中 ,动点 P 在 函数 y= 上 ,Q 在直线 l:y=x 上 ;由 函数 y=(0,1)处的切线 l1:y=x+1 直线 l切线 图知 ,|点 线 d=22 f(x)=|+1 =23. 点评 :有些函数式或函数不等式中蕴含着某种特殊结构 ,这些特殊结构具有丰富的几何意义 ,倘若能掌握这些特殊结构 ,挖掘其几何意义 ,充分发挥数形结合思想 ,必将获得巧妙、直接、本质的解法 ,开拓新 的解题思路 . 同 类 试题 : 5.(2009 年 广东 高考试题 )已知二次函数 y=g(x)的导函数的图像与直线 y=2x 平行 ,且 y=g(x)在 x=取得极小值 m 0).设 f(x)=(.( )若曲线 y=f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 ; ( )k(k R)如何取值时 ,函数 y=f(x)在零点 ,并求出零点 . 6.(2008年全 国高中数学联赛山东 初赛试题 )设函数 f(x)=x(1+x)2(x (- ,0).( )求 f(x)的极值点 ; ( )对任意的 ,f(x) gt(x)对任意正实数 t 成立 ; (且仅有一个正实数 得 g8( gt(任意正实数 t 成立 . 10.(2010 年南开大学保送生考试试题 )求证 :x (0,2). ( )m=1,f(x)在 ()内 单调递减 ,在 (0,+ )内单调递增 ; ( )当 m2 时 ,f(x)=x+m) x+2),故只需证明当 m=2 时 ,f(x)=x+2)0;由熟知的函数放缩式 :exx+1(x=0 时 ,等号成立 ),ln(x+2) x+1(x= ,等号成立 ) f(x)=x+2)(x+1)-(x+1)=0; ( )k=1;( )f(x)在 (0,1)上单调 递增 ;在 (1,+ )上单调 递减 ; ( )由 g(x)=(x)=由 x0 00),则 (x)= (x)在 (0,单调 递增 ,在 ( )上单调 递减 x)= (1+11+( )由 曲线 y=f(x)在点 (x0,f(处 的切线方程 为 :f ( m=f( ( )令 g(x)=f(x)-g(x)=f(x)(f(则 g (x)=f (x)(由 f (x)在区间 D 上 单调 递 减 当 ( g (x)0 g(x)在 单调 递 减 g(x) g(0 g(x) f(x); ( )由 f(g( f (g (21b,a=023x0=a(去 ),b= 25 h(x)=25 h (t)=2x(1 x)=h(=23 b 的最大值 =23 ( )由 ( )知 ,公切线 l:y=3以 ,f(x) 313( 0 成立 ;由 g (x)=0,+ )上单调递减 ,且 g (a)=3a;令 h(x)=(3g(x),则 h (x)=3(x)在区间 (0,+ )上单调递增 ,且 h (a)=0 h(x)在区间 (0,a)上单调递减 ,在区间 (a,+ )上单调递增 x)=h(a)=0 h(x) x)=0 3g(x) f(x) g(x)(x0). 设 g(x)=bx+c,则 g (x)=2ax+b,由题知 得 :2a=2,b=2,c=m g(x)=x+m f(x)=x+ f (x)=1( )设 P(t,t+),令 (t)= | 2 t+=2 22,m= ( 2 ( )由 f(x) (1-k)x+m=0;当 k=1时 ,有一个 零点 x=当 k=1有一个 零点 x=11k;当 k1m0)时 ,有两个 零点 x=1 )1(11 k 当 ,不等式 ax+3x+2(x+2) 4 对 x 0,1不恒成立 ;因为当 x 0,1时 ,ax+3x+2(x+2)a+2)x+3x+2)(a+2)x+23x+2)(2x)2=(a+2)(a+2)23xa+2) 存在 (0,1)(例如 32满足 30x+2() 即当 a ,不等式 ax+3x+2(x+2)4 对 x 0,1不恒成立 实数 - , ( )当 x 0,1时 ,由 1f(x) 1(1+x)(1+x)(1-x) h(t)=(1-t)et,t ,则 h (t) =当 t 0,1时 ,h (t) 0 h(x) h(0)=1;当 t 时 ,h (t) 0 h(h(t) h(0)=1 h( h(x) (1+x)(1-x)1f(x);又由 f(x) x11 (1+x)x11 (1+x)2 x+1 成立 ; ( )由 f(x)-g(x)=(1+x)3x+1+2 (1(3x+1+2-x(a+1+22x+2设 G(x)=22x+2 G (x)=G (x)=1x 0,1) ,f(x)g(x) 在 0,1上不恒成立 ;由 f(x)-g(x) =(1+x)3x+1+2x11-(3x+1+2-x(x11+a+22x+2令 H(x)=x11+a+22x+2x11+a+G(x),则 H (x)=( 1x+G (x)a+30 存在 0,1),使得 H(0,此时 f(时 , f (x)=0,+ )上单调递增 f(x) gt(x)对任意正实数 ( h(t)=gt( h (t)=32t)=h(31以 ,g8( gt( 41 曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线 :y