3_8064933_11.均值不等式的加细和应用

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 713 中国 高考数学母题 (第 201 号 ) 均值不等式的加细和应用 对 于 正数 a,b,除算术平均值 A(a,b)=2几 何平均值 G(a,b)= ,还有 对数平均值 L(a,b)=ba ba (a b),它们之间除众所周知的 均值 不等式 :G(a,b) A(a,b)外 ,还有 加细 不等式 :G(a,b)0,b0,a b,求证 :2ba ba 母题 解 析 :不妨设 ab0,则2ba ba 1,ba=t1) (1t), 且 f(t)在 (1,+ )上单调递增 f(t)f(1)=0;令 g(t)= 2( g (t)=2(+8150 g(t)在 (1,+ )上单调递增 g(t)g(1)=0. 子题类型 :(2013 年 陕西 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=ex,x R. ( )若直线 y 与 f(x)的反函数的图像相切 ,求实数 ( )设 x0,讨论曲线 y=f(x)与曲线 y=m0)公共点的个数 ; ( )设 则 h (x)=3)2( x h(x)在 (0,2)上单调递减 ,在 (2,+) 上单调递增 ,且 x)=42e;当 00)公共点的个数 为0;当 m=42y=f(x)与 y=m0)公共点的个数 为 1;当 m42y=f(x)与 y=m0)公共点的个数 为 2; ( )由 f(x)= )()( =2ba ,ab )()(=ba ee ,由 加细 不等式 知 ,2 ba ba ee 2 )()( ab )()(. 点评 若用 ea,2ba ba 的 a,指数平均不等式 :2 ba ba ee e 2(a,b R,a b). 同 类 试题 : 1.(2013 年 陕西 高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=ex,x R.( )求 f(x)的反函数的图象上 图象上 点 (1,0)处的切线方程 ; ( )证明 :曲线 y=f(x)与曲线 y=21x2+x+1有唯一 公共点 ; ( )设 a 11)1( 1x ln(x+1)0 成立 00,且 x 1 时 ,f(x)1ln4.(2007 年 山东 高考试 题 )设函数 f(x)=x2+x+1),其中 b 0.( )当 b21时 ,判断函数 f(x)在定义域上的单调性 ; ( )求函数 f(x)的极值点 ; ( )证明 :对任意的正 整数 n,不等式 ln()21 子题类型 :(2005 年 湖 南 高考试题 )已知函数 f(x)=g(x)=21bx,a 0. ( )若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间 ,求 a 的取值范围 ; ( )设函数 f(x)的图象 g(x)图象 、 Q,过线段 中点 作 x 轴的垂线分别交 2于点 M、 N,证明 : 处的切线与 处的切线不平行 . 解析 :( )当 b=2 时 ,h(x)=f(x)-g(x)=h (x)=x1(x0);所以 ,h(x)存在单调递减区间 h (x) 0 在 (0,+ )内有解集 区间 T(x)=0 在 (0,+ )内有解集 区间 a0,或 a 的取值范围 是 () (0,+ ); ( )设 P(x1,Q(x2,则 点 M,N 的横坐标 21 处的切线 斜率 12 , 处的切线 斜率 1 +b;假设 处的切线与 处的切线 平行 ,则 k1=12 =a 2 21 +b;又 1 21式相减 得 :1 +b) 12 21 21 = 2 21 . 点评 :本题是 加细 不等式 出现在高考中的第一题 ,接下来连续三年 (自 2009 年起 )的辽宁高考数学试题 ,都可 利用 加细不等式 来证明 ,实属罕见 ;此后 ,不仅频繁出现在各地的高考中 ,而且还形成了一类典型问题 ;凡与指数和对数相关的二元不 等式 问题 ,均可 考虑使用 加细 不等式 . 同 类 试题 : 5.(2009 年辽宁高考试题 )己知函数 f(x)=21a1.( )讨论函数 f(x)的单调性 ; ( )证明 :若 2017 年课标高考 母题 备战 高考数学的一条捷径 715 6.(2010 年辽宁高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=(a+1).( )讨论函数 f(x)的单调性 ; ( )设 ,求证 :nm )(2. 8.(2015 年 全国高中数学联赛 辽宁 预赛试题 )设 实数 a,b, ,满足 0e 2ab )()(f(2. 由ab 则 f (x)=(2 1ln x x (*);当 0x;当 x1时 , (*)2x;由ba ba 2=2222122 1x =x. ( )当 b21时 ,由 f(x)的定义域为 ( ),f (x)=12x(x+21)2+412b0 f(x)在 定义域上的单调 递增 ; ( ) 当 b21时 ,f (x) 0 f(x)在 定义域上 单调 递增 f(x)无极值点 ; 当 0-1,21+221 b f(x)在 (0, ( )上 单调 递增 ,在 (x1, 单调 递减 f(x)有一个极大值点 一个极小值点 当 ln(x+1)2ba ba 11)1( 222 x(1x+2)成立 ,故 ln(x+1)( )当 a=2 时 ,f(x)在 (0,+ )上递增 ;当 12 时 ,f(x)在 (0,1)和 ( )上递增 ,在 (1,递减 ; ( )由21 21)()( xx = 2 21 +(1 21xx 2 21 (212 2 1a ( 1a ( )当 a 0时 ,f (x)0 f(x)在 (0,+ )上单调递增 ;当 a f (x)f(1)=0 nm )(2. ( )由 a;