3_8064938_6.函数凸凹性的判定和性质

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 693 中国 高考数学母题 (第 196 号 ) 函数凸凹性的判定和性质 函数的凸凹性 是 函数的 更深入的性质 ,函数的凸凹性 直观丰富 ,由 函数的凸凹性 可诱发出 函数的 许多性质 ,它们是高考命题的出发点 ;利用 函数的凸凹性 ,不仅可 直观 把握这类试 题 ,而且还可给出该类试 题 的本质解法 . 母题结构 :( )(凸凹 判定 )f(x)在区间 D 内是凸函数 f (x)在 D 内单调递减 ;f(x)在区间 D 内是凹函数 f (x)在 ( )(凸凹性质 ):弧线性质 : f(x)是凹函数 f(x)在任意两点间 的 曲线不在 两点间 的线段之上 ; f(x)是凸函数 f(x)在任意两点间 的 曲线不 在两点间 的 线之下 ;切线性质 : f(x)是凹函数 y=f(x)的图像 在任意一点处 的切线不在 y=f(x)的图像之上 ; f(x)是凸函数 y=f(x)的图像 在任意一点处的切线不在 y =f(x)的图像之 下 ; ( )(拐点 性质 )连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 ;关于 拐点 有 如下结论 : 若 f(x) 在 则 y=f(x)的拐点的必要条件是 f (0;若 f(x)在 连续导数 ,则 y=f(x)的一个拐点 f (f (0,且 f ( 0;若 f(x)在 导 ,则 y=f(x)的一个拐点 曲线 y=f(x)在 近位于 切线 的两侧 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2012 年安徽高考试题 )设函数 f(x)=2x+所有正的极小值点从小到 大排成的数列为 ( )求数列 ( )设 前 n 项和为 解析 :( )由 f (x)=21+f (x)= f (x)=0 x=232;当 x=232时 ,f (232)=x=232是 f(x)的极小值点 32(n N+); ( )由 32 Sn=n(n+1) n,注意到 :n(n+1)为偶数 n(n+1) n=n; 当 n=3k N+)时 ,23; 当 n=3k N+)时 ,3; 当 n=3k N+)时 ,. 点评 :由函数的凸凹性 ,可得极值判定定理 :设 f(x)在 且 f (0,f ( 0,若 f (,则 f(x)的极小值点 ; 同 类 试题 : 1.(2008 年湖北高考 试 题 )已知函数 f(x)=x3+(m 为常数 ,且 m0)有极大值 9.( )求 m 的值 ; ( )若斜率为 直线是曲线 y=f(x)的切线 ,求此直线方程 . 2.(2009 年湖南 高考试题 )已知函数 f(x)=x3+导函数的图象关于直线 x=2 对称 .( )求 b 的值 ; ( )若 f(x)在 x=t 处取得 极小 值 ,记此极小值为 g(t),求 g(t)的定义域和值域 . 子题类型 :(2014年课标 高考试题 )已知函数 f(x)=,曲线 y=f(x)在点 (0,2)处的切线与 2.( )求 a; ( )证明 :当 f(x) gt(x)对任意正实数 (且仅有一个正实数 得 g8( gt(任意正实数 t 成立 . 4.(2015 年天津高考 理 科 试题 )已知函数 f(x)=x n N*,且 n 2.( )讨论 f(x)的单调 性 ; ( )设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x)求证 :对于任意的 正 实数 x,都有 f(x) g(x); ( )若方程 f(x)=a(有两个 正 实数根 x1,证 :|+2. 质 子题类型 :(2008 年课标高考 理科 试题 )设函数 f(x)=ax+(a,b Z),曲线 y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程为 y=3.( )求 y=f(x)的解析式 ; ( )证明 :曲线 y=f(x)的图像是一个中心对称图形 ,并求其对称中心 ; ( )证明 :曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值 ,并求出此定值 . 解析 :( )由 f (x)= 1 f(2)=2a+ b21 =3,f (2)=( 1b=0 f(x)=x+11x; ( )由 y=x+像 关于 原点对称 ,按向量 a=(1,1)平移得到 y=f(x)的图像 曲线 y=f(x)是 点 (1,1)为中心对称图形 ; ( )由 切线 :y-(10x)=11( 1x( S=21|110022. 点评 :函数图像的对称中心是特殊的拐点 ,因此 ,拐点判定定理可以用来求连续可导函数的对称中心 ;当函数 f(x)的拐点 过点 y=f(x)围成两个封闭图形的面积总相等 . 同 类 试题 : 5.(2012 年 福建 高考试题 )已知函数 f(x)=ex+a R. ( )若曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线平行于 x 轴 ,求函数 f(x)的单调区间 ; ( )试确定 a 的取值范围 ,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P. 6.(2010年 福建 高考试题 )已知函数 f(x)=31ax+(0,f(0)处的切线方程为 y=3 )求实数 a,( )设 g(x)=f(x)+12,+ )上的增函数 .(i)求实数 ( 值时 ,是否存在点 Q,使得过点 y=g(x)围成两个封闭图形 ,则这两个封闭图形的面积总相等 ?若存在 ,求出点 若不存在 ,说明理由 . 7.(2013 年北京高考试题 )设 :y=1,0)处的切线 .( )求 L 的方程 ; ( )证明 :除切点 (1,0)之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方 . 8.(2007 年湖北高考试题 )已知定义在正实数集上的函数 f(x)=21ax,g(x)=3b,其中 ay=f(x),y= g(x)有公共点 ,且在该点处的切线相同 .( )用 a 表示 b,并求 b 的最大值 ; ( )求证 :f(x) g(x)(x0). 9.(2013 年课标高考试题 )已知函数 f(x)=x+m).( )设 x=0 是 f(x)的极值点 ,求 m,并讨论 f(x)的单调性 ; 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 695 ( )当 m 2 时 ,证明 f(x)0. 10.(2007 年辽宁高考试题 )已知函数 f(x)=ex+x)+,g(x)=21 f(x). ( )证明 :当 ,g(x)在闭区间 a,b上是减函数 ; ( )证明 :f(x)23. 11.(2015 年课标 高考试题 )设函数 f(x)= )讨论 f(x)的导函数 f (x)的零点的个数 ; ( )证明 :当 a0 时 ,f(x) 2a+12.(2015 年天津高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=4x R.( )求 f(x)的单调区间 ; ( )设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x)求证 :对于任意的实数 x,都有 f(x) g(x); ( )若方程 f(x)=a(有两个实数根 x1, f(x)在 x=取得极大值 f(;由 =9 m=2; ( )切线 方程 :5x+,或 135x+27. ( )b= )由 f (x)=3c f (x)=6 f(x)在 x=t 处取得 极小 值 f (t)=0,且 f (t)0 32t+c=0,且 6 c=12 t2 g(t)=f(t)=ct=t(12t2(t2) g (t)=2t=- 6t(时 ,f (x)=0,+ )上单调递增 f(x) gt(x)对任意正实数 ( h(t)=gt( h (t)=32t 31 t)=h(31以 ,g8( gt( 41 曲线y=f(x)在 x=2 处的切线 :y=4当 x0 时 ,f(x) 4 314( )由 f (x)=当 n 为偶数时 ,f(x)的单调递增区间为 (- ,1),单调递减区间为 (1,+ ); 当 n 为奇数时 ,f(x)的单调递增区间为 (),单调递减区间为 (- ,1,+ ); ( )当 x0 时 ,由 f (x)=间 (0,+ )上 单调递减 对于任意的 正 实数 x,都有 f(x)g (x); ( )由 切线 :y=nx,g(x)=(1n ),则 f(x) 4x,且 f(x) ;设 nx=a,g(x)=(1n )=a 的根分别为 x3, x3=na,)1( nn a+n 11n ;不妨设 (2a) g (x)0 g(x)递增 g(x)g(2a)=0;当 x2a)时 ,f (x)=a0 f (x)递 增 696 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 f (x)f (2a) g (x)0 g(x)递增 g(x)0). 9,解 :( )m=1;f(x)在 ()内 单调递减 ;当 x (0,+ )时 ,f (x)f (0)=0 f(x)在 (0,+ )内单调递增 ; ( )当 m 2时 ,f(x)=x+m) x+2),故只需证明当 m=2时 ,f(x)=x+2)0;而 x+1,当且仅当 x=0时 ,等号成立 ,x+1 ln(x+2),当且仅当 x= ,等号成立 x+1 ln(x+2),注意到等号不能同时成立 exln(x+2). ( )由 g (x)0 g(x)在 R 上是增函数 ;( )只需取 k=h(a),h(b);( )由 f(x)23 2ex+x)t+21 0 0 ( 1;作 y=x=0 处的切线 :y=x+1 知 x+1 1 ( 1 f(x)23; ( )当 a 0 时 ,f (x)的零点的个数 =0;当 a0 时 ,f (x)的零点的个数 =1; ( )当 a0时 ,f(x) 2a+当 t0,m0时 ,2t+ g(t)=2t+t0),则 g (t)=1+ g(t)是凸函数 ,令 g (t)=1+t=2函数 g(t)的图像在点 P(