1_6354042_6.有心圆锥曲线的三个离心率公式

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 273 中国 高考数学母题 (第 089 号 ) 有心圆锥曲线的三个离心率公式 离心率是有心 圆锥曲线的一个重要 指标 ,用来刻画曲线形的状 ;离心率是 高考命题的热点 ,合理选用 离心率 的三个公式 ,可快速求解 离心率 . 母题结构 :若椭圆 22(ab0)与双曲线 2(a0,b0)的左、右焦点分别为 为 其 上的一点 , , ,则 : (统一公式 )椭圆 2的离心率 e= (对偶公式 )椭圆 e=221双曲线 e=221 (焦点 公式 )椭圆 e=| | 21 21 F= ;双曲线 e= | | 21 21 F=|) . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016 年 浙 江 高考试题 )已知 椭圆 2mx+(m1)与双曲线 2(n0)的焦点重合 ,e1,1,则 ( ) (A)mn 且 (B)mn 且 (D) +21n 11+21n)=2222)2( )1( A). 点评 :在椭圆 或双曲线 中 ,由 a2=b2+a2+b2=己知 a,b,意 两个量 ,都 可以求出其他的量 ,包括离心率 . 同 类 试题 : 1.(2015 年 广东 高考试题 )已知双曲线 C:22 的离心率 e=45,且其右焦点为 ,0),则双曲线 C 的方程为 ( ) (A)42 (B)92 (C)162 (D)32 2.(2015 年 湖 北 高考试 题 )将离心率为 1的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a b)同时增加 m(m0)个单位 长度 ,得到离心率为 2,则 ( ) (A)对任意的 a,b,e1 (B)当 ae1 子题类型 :(2016 年 江苏 高考试题 )如图 ,在平面直角坐标系 ,F 是 椭圆222(ab0)的右焦点 ,直线y=2,C 两点 ,且 00,则该椭圆的离心率是 . 解析 :将 y=22 得 B(b),C(23a,2b),由 F(c,0) (2b),(23b);又由 00 0 1 2e=36. 点评 : 求椭圆 或双曲线 离心率 值 (或 范围 )的关键 是 寻找 题中的等量 (或 不等 )关系 ,由此建立关于 a,b,c 的等式 (或 不等式 ),与基本关系联合 消去 a,b,c 其中之一 ,进而求出余下两 个的比值 (或 范围 ),即可求出 离心率 (或 范围 ). 274 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 同 类 试题 : 3.(2015年浙江高考试题 )椭圆222(ab0)的右 焦点 F(c,0)关于直线 y=在椭圆上 ,则椭圆的离心率是 . 4.(2015 年 山东 高考 理科 试题 )平面直角坐标系 ,双曲线 2(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:py(p0)交于点 O,A,B,若 垂心为 则 . 子题类型 :(2009年重庆高考 理 科 试题 )()己知双曲线22(a0,b0)的左、右焦点分别为 c,0)、 F2(c,0),使 12 21该双曲线的离心率的取值范围是 . 解析 :由 12 21e=21 12 = | |21|= | |22 2=1+ | 22| 1+ =1+ 12e e 的取值范围是 (1, 2 +1). 点评 :椭圆 、 双曲线离心率的 取值范 围 问 题 ,既 是高考的热点 ,也是难点 ;在椭圆中 ,两焦点分别为 为 则 式 ,值得记 忆 . 同 类 试题 : 5.(2008 年 全国 高考试题 )在 , A=900,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e= . 6.(2011年 福 建 高考试题 )设圆锥曲线的两个焦点分别为 2,若曲线上存在点 |4:3:2,则曲线的离心率等于 ( ) (A)21或23(B)23或 2 (C)21或 2 (D) 7.(2005 年广东高考试题 )若焦点在 x 轴上的椭圆22 =1 的离心率 e=21,则 m=( ) (A) 3 (B)23(C)38(D)328.(2009 年安徽高考试题 )下列曲线中 ,离心率为26的是 ( ) (A)142 22 )124 22 )164 22 )1104 22 2013 年 广东 高考试题 )已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于23,在双曲线 C 的方程是 ( ) (A)421 (B)42 (C)22 (D)221 10.(2007 年安徽高考试题 )如 图 ,2分别是双曲线1x 2222 a0,b0)的两个焦点 ,A 和 B 是以 O 为圆心 ,以 |半径的圆与该双曲线左支的两个交点 ,且 等边三角形 ,则双曲 线的离心率为 ( ) (A) 3 (B) 5 (C)25(D)1+ 3 11.(2015 年 湖南 高考试题 )设 F 是双曲线 C:22 的一 个焦点 ,若 C 上存在点 P,使线段 中点 恰为其虚轴的一个端点 ,则 C 的离心率为 . 12.(2015 年 山东 高考 文科 试题 )过双曲线 C:22(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线 ,交 C 于点 P,若 2017年课标高考 母题 备战 高考数学的一条捷径 275 点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为 . 13.(2015 年 福建 高考试题 )已知椭圆 E:222(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3 交椭圆 ,B 两点 |4,点 M 到直线 l 的距离不小于54,则椭圆 E 的离心率的取值范围是 ( ) (A)(0,23 (B)(0,43 (C)23,1) (D)43,1) 14.(2010 年 四川 高考试题 )椭圆2222 =1(ab0)的右焦点 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段,则椭圆离心率的取值范围是 ( ) (A)(0,22 (B)(0,21 (C) 2 ) (D)21,1) 15.(2008 年全国 高考试题 )在 ,C,、 B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e= . 16.(2008 年全国 高考试题 )设 等腰三角形 , 200,则以 A、 B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 ( ) (A)221(B)231(C)1+ 2 (D)1+ 3 17.(2013 年 湖 南 高考试题 )设 :22(a0,b0)的两个焦点 ,P 是 C 上一点 ,若 |6a,且 00,则 C 的离心率为 . 18.(2014 年 重庆 高考试题 )设 曲线22(a0,b0)的左、右焦点 ,双曲线上存在一点 P 使得 | |3b,|49该双曲线的离心率为 ( ) (A)34(B)35(C)49(D)3 19.(2007 年江苏高考试题 )在平面直角坐标系 ,己知 点 A()和 C(4,0),顶点 B 在椭圆925 22 =1 上 ,则B = . 20.(2009 年重庆高考 文 科 试题 )己知 椭圆2222 =1(ab0)的左、右焦点分 别为 c,0)、 F2(c,0),若 椭圆 上存在点 ,则该椭圆 的离心率的取 值 范 围为 . 由 右焦点为 ,0) (A)(D)错 ;由 e=45 (B)错 C). 由 +22ab,+22)( )( ma ;ma ( )( D). 设 E(),直线 y=,则 2|在 c |2|2| |2aa e=22. 将 y=(22B(22由 F(0,2p) (22又由 276 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 心为 0 -(+222220225 e=22123. 在 ,由 A=900,3 3C=45e=21. 若 为 椭圆 ,则 e=ac=| | 21 21 F=243=21; 若 为 双曲线 ,则 e=ac=| | 21 21 F=A). 由 e=21 m=21 m=B). 由 (B)中的 e=441=B). 由 c=3,e=23 a=2 (B). 由 00, 00,由 |2c |c | 3 c 2a=|( 3 -1)c e= 3 + (D). 令 F(),虚轴的一个端点 B(0,b),B 恰为线段 中点 P(c,2b)22 e= 5 . 将 x=2a 代入22 得 P(2a,- 3 b);由点 P 在直线 :y=ab( - 3 b e=2+ 3 . 设 左焦点为 E,则四边形 平行四边形 | |2a=4 a=2;由 d=54b54 b 1,2) e=412b (0,23A). 由 |又由 | a+c a+c eD). 由 75e=83. 由 3 e=231B). 由 |2a |4a,|2a;又 由 ca 00 (2a)2+(2c)2=(4a)2 e= 3 . 由 (|2=4(|249a=43b e=D). 由 A、 C 恰是 椭圆 的两个焦点 e=54 B =45. 因 e=| 2| |2| |s i ns i n 22 22121 12 PF |12 )与双曲线 2(a0,b0)的左、右焦点分别为 为 其 上的一点 , , ,则 : (统一公式 )椭圆 2的离心率 e= (对偶公式 )椭圆 心率 e=221双曲线 e=221 (焦点 公式 )椭圆 e=| | 21 21 F= ;双曲线 e= | | 21 21 F=|) . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016 年 浙 江 高考试题 )已知 椭圆 2mx+(m1)与双曲线 2(n0)的焦点重合 ,e1,1,则 ( ) (A)mn 且 (B)mn 且 (D) +21n 11+21n)=2222)2( )1( A). 点评 :在椭圆 或双曲线 中 ,由 a2=b2+a2+b2=己知 a,b,意 两个量 ,都 可以求出其他的量 ,包括离心率 . 同 类 试题 : 1.(2015 年 广东 高考试题 )已知双曲线 C:22 的离心率 e=45,且其右焦点为 ,0),则双曲线 C 的方程为 ( ) (A)42 (B)92 (C)162 (D)32 2.(2015 年 湖 北 高考试题 )将离心率为 1的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a b)同时增加 m(m0)个单位 长度 ,得到离心率为 2,则 ( ) (A)对任意的 a,b,e1 (B)当 ae1 子题类型 :(2016 年 江苏 高考试题 )如图 ,在平面直角坐标系 ,F 是椭圆222(ab0)的右焦点 ,直线y=2,C 两点 ,且 00,则该椭圆的离心率是 . 解析 :将 y=22 得 B(b),C(23a,2b),由 F(c,0) (2b),(23b);又由 00 0 1 2e=36. 点评 : 求椭圆 或双曲线 离心率 值 (或 范围 )的关键 是 寻找 题中的等量 (或 不等 )关系 ,由此建立关于 a,b,c 的等式 (或 不等式 ),与基本关系联合 消去 a,b,c 其中之一 ,进而求出余下两 个的比值 (或 范围 ),即可求出 离心率 (或 范围 ). 274 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 同 类 试题 : 3.(2015年浙江高考试题 )椭圆222(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y=在椭圆上 ,则椭圆的离心率是 . 4.(2015 年 山东 高考 理科 试题 )平面直角坐标系 ,双曲线 2(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:py(p0)交于点 O,A,B,若 垂心为 则 . 子题类型 :(2009年重庆高考 理 科 试题 )()己知双曲线22(a0,b0)的左、右焦点分别为 c,0)、 F2(c,0),使 12 21该双曲线的离心率的取值范围是 . 解析 :由 12 21e=21 12 = | |21|= | |22 2=1+ | 22| 1+ =1+ 12e e 的取值范围是 (1, 2 +1). 点评 :椭圆 、 双曲线离心率的 取值范 围 问 题 ,既 是高考的热点 ,也是难点 ;在椭圆中 ,两焦点分别为 为 则 式 ,值得记 忆 . 同 类 试题 : 5.(2008 年 全国 高考试题 )在 , A=900,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e= . 6.(2011年 福 建 高考试题 )设圆锥曲线的两个焦点分别为 2,若曲线上存在点 |4:3:2,则曲线的离心率等于 ( ) (A)21或23(B)23或 2 (C)21或 2 (D) 7.(2005 年广东高考试题 )若焦点在 x 轴上的椭圆22 =1 的离心率 e=21,则 m=( ) (A) 3 (B)23(C)38(D)328.(2009 年安徽高考试题 )下列曲线中 ,离心率为26的是 ( ) (A)142 22 )124 22 )164 22 )1104 22 2013 年 广东 高考试题 )已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于23,在双曲线 C 的方程是 ( ) (A)421 (B)42 (C)22 (D)221 10.(2007 年安徽高考试题 )如图 ,2分别是双曲线1x 2222 a0,b0)的两个焦点 ,A 和 B 是以 O 为圆心 ,以 |半径的圆与该双曲线左支的两个交点 ,且 等边三角形 ,则双曲 线的离心率为 ( ) (A) 3 (B) 5 (C)25(D)1+ 3 11.(2015 年 湖南 高考试题 )设 F 是双曲线 C:22 的一 个焦点 ,若 C 上存在点 P,使线段 中点 恰为其虚轴的一个端点 ,则 C 的离心率为 . 12.(2015 年 山东 高考 文科 试题 )过双曲线 C:22(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线 ,交 C 于点 P,若 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 275 点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为 . 13.(2015 年 福建 高考试题 )已知椭圆 E:222(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3 交椭圆 ,B 两点 |4,点 M 到直线 l 的距离不小于54,则椭圆 E 的离心率的取值范围是 ( ) (A)(0,23 (B)(0,43 (C)23,1) (D)43,1) 14.(2010 年 四川 高考试题 )椭圆2222 =1(ab0)的右焦点 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段,则椭圆离心率的取值范围是 ( ) (A)(0,22 (B)(0,21 (C) 2 ) (D)21,1) 15.(2008 年全国 高考试题 )在 ,C,、 B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e= . 16.(2008 年全国 高考试题 )设 等腰三角形 , 200,则以 A、 B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 ( ) (A)221(B)231(C)1+ 2 (D)1+ 3 17.(2013 年 湖 南 高考试题 )设 :22(a0,b0)的两个焦点 ,P 是 C 上一点 ,若 |6a,且 00,则 C 的离心率为 . 18.(2014 年 重庆 高考试题 )设 (a0,b0)的左、右焦点 ,双曲线上存在一点 P 使得 | |3b,|49该双曲线的离心率为 ( ) (A)34(B)35(C)49(D)3 19.(2007 年江苏高考试题 )在平面直角坐标系 ,己知 点 A()和 C(4,0),顶点 B 在椭圆925 22 =1 上 ,则B = . 20.(2009 年重庆高考 文 科 试题 )己知 椭圆2222 =1(ab0)的左、右焦点分 别为 c,0)、 F2(c,0),若 椭圆 上存在点 ,则该椭圆 的离心率的取 值 范 围为 . 由 右焦点为 ,0) (A)(D)错 ;由 e=45 (B)错 C). 由 +22ab,+22)( )( ma ;ma ( )( D). 设 E(),