3_8064946_20.曲线系论.构建整体处理的策略

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 649 中国 高考数学母题 (第 186 号 ) 曲线系论 曲线系 理 论 的 基 础 :过曲线 C1:f1(x,y)=0 与 C2:f2(x,y)=0的交点的曲线系 G 的 方程为 :f1(x,y)+ f2(x,y)=0(不包括曲线 利用曲线系解题可回避解方程组求交点等 ,可直接利用曲线系方程解决问题 . 母题结构 :( )(圆系方程 )若 二次曲线 G:dx+ey+f=0与直线 mx+ny+p=0有两个不同的交点 ,则过这两点的圆系方程为 :(dx+ey+f)+ (mx+ny+p)(t)=0,其中 , =22 nm , ( )(方程 分解 )若 直线 l1:,l2: 分别 与二次曲线 T:dx+ey+f=0 交于 点 A、 B、 C、 D,则过点A、 B、 C、 D 的二次曲线系 G:(dx+ey+f)+ (0; ( )(直 线合成 )若 四边形 两条对角线 的 方程分别为 :,0,则 过四边形 个顶点 A、 B、 C、 D 的二次线系 G:( (0. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2009 年 辽宁 高考试题 )已知 椭圆 C 过点 A(1,23),两个焦点为 (),(1,0).( )求椭圆 C 的方程 ; ( )E,上的两个动点 ,如果直线 证明 :直线 并求出这个定值 . 解析 :( )设 椭圆 C:222(ab0),由题知 c=1,3 a=4, 椭圆 C:42x+32y=1; ( )由 椭圆 处的切线 :x+2,设直线 EF:x+ty+m=0,则 过 A、 E、 3 (x+2x+ty+m) =0 (3+ ) (2+t)4+2 (x+ (2m=0,该 曲线系为 外接 圆 (2+t)=0,且 3 + =4+2 t= =51 直线 EF:m=0 直线 斜率 k=21为定值 . 点评 :二次曲线 、 B、 C、 D 四点共圆 四边形 特别的 ,考虑四点共圆的极限情形有 :设点 曲线 B、 上的两个动点 ,直线 斜率互为相反数 ,则直线 过点 定值 ). 同 类 试题 : 1.(2011 年全国 高考试题 )已知 O 为坐标原点 ,F 为椭圆 C:2y=1 在 y 轴正半轴上的焦点 ,过 斜率为 - 2 的直线 交于 A、 B 两点 ,点 P 满足 0. ( )证明 :点 上 ; ( )设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明 :A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上 . 2.(2014 年全国 (大纲 )高考试题 )已知抛物线 C:px(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且 |45|( )求 C 的方程 ; ( )过 F 的直线 相交于 A、 B 两点 ,若 垂直平分线 l 与 C 相较于 M、 N 两点 ,且 A、 M、 B、 N 四点在 同一圆上 ,求 l 的方程 . 子题类型 :(2013 年全国高中数学联赛 四川 预赛试 题 )已知点 B(0,1)Q 为椭圆42x+ 650 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 1 上异于点 B 的任意两点 ,且 )若点 B 在线段 的射影为 M,求 M 的轨迹方程 ; ( )求线段 中垂线 l在 解析 :( )设直线 BP:=0,BQ:x+,则由椭圆和直线 : ()(x+k)=0 (1+ k) (4- k) (1x+2 k=0,当二次曲线系 处 的切线 (y=1)的方程之积时 (由 (ax+by+c)=0中不含 1+ k=0 曲线系 G:-(k+1)1+k) -(k+1) x(5y+3)=0 (-(k+1)x+5y+3=0 直线 (k+1)x+5y+3=0 恒过定 点 N(0, M 的轨迹 是以 除去点 B),其 方程为 y+53)=0; ( )设 直线 PQ:y=入42x+ 得 :(1+4t2)2 21 )41(5 12 2 2 21 =-)41(5 3 2t 中垂线l:y+)41(5 3 2t=1(5 12 2 在 x 轴上的截距 b=)41(5 9 2 09. 点评 :利用曲线系的合成与分解解决 圆锥曲线上的完全四边形 问题的一个关键点是 构造“直线对” ,即圆锥曲线上的完全四边形的每组相对的边构成一对“直线对” ,两条对角线构成一对“直线对” ;特别的 ,圆锥曲线上三点 A,B,圆锥曲线在点 线对” . 同 类 试题 : 3.(2011年四川 高考 文 科 试题 )过点 C(0,1)的椭圆1x 2222 ab0)的离心率为23,椭圆与 x 轴交于两 点 A(a,0),B(),过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 直线 于点 Q. ( )当直线 l 过椭圆右焦点时 ,求线段 长 ; ( )当点 时 ,求证 : 为定值 . 4.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题 )设点 A(),B(1,0),C(2,0),的左支上 , D A,直线 的右支于点 E,求证 :直线 在直线 x=21上 . 子题类型 :(2013 年 江西 高考 文科 试题 )椭圆 C:222(ab0)的离心率 e=23,a+b =3.( )求椭圆 ( )如图 ,A,B,的顶点 ,上除顶点外的任意点 ,直线 ,直线 P 于点 M,设 斜率为 k,斜率为 m,证明 :2定值 . 解析 :( )由 e=22123 a=2b,又由 a+b=3 a=2,b=1 椭圆 C:42x+; ( )设 N(n,0),则 AB:y=0,BP:,DP:,AD:=0 过 A,B,P,:(2)+ y(0 2- n)4;由曲线系 G 为 椭圆 C: ,4 =2k+1,n=12 24 由 AD:=0 与 BP: M(12 24 24 212 1. 点评 :在四边形 ,四条边方程顺次为 (i=1,2,3,4),两条对角线方程为 (i=1,2),则过 A、 B、 C、 D 四点的二次线系 G: ,或 或 ;在 三条边方程顺次为 (i=1,2,3),曲线 处的切线 方程为 g=0,则过 A、 B、 C、 : 或 . 同 类 试题 : 5.(2015 年 陕 西 高考试题 )如图 ,椭圆 E:222(ab0)经过点 A(0,且离心率为22. ( )求椭圆 E 的方程 ; ( )经过点 (1,1)且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明 :直线 斜率之和为 2. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 651 6.(2013 年 江西 高考 理科 试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)经过点 P(1,23),离心率 e=21, 直线 l 的方程为 x=4.( )求椭圆 C 的方程 ; ( )经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P),设直线 直线 l 相交于点 M,记 B,斜率分别为 k1,k2,是否存在常数 ,使得k1+k 3？若存在 ,求 的值 ;若不存在 ,说明理由 . 7.(1993年全国高中数学联赛试题 )设 00,. ( )设动点 P 满足 |-|=4,求点 P 的轨迹 ; ( )设 ,1,求点 T 的坐标 ; ( )设 t=9,求证 :直线 过 x 轴上的一定点 (其坐标与 m 无关 ). 10.(2011 年四川 高考 理 科 试题 )椭圆有两顶点 A()、 B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 圆交与 C、 D 两点 ,并与 x 轴交于点 C 与直线 于点 Q. ( )当 |232 时 ,求直线 l 的方程 ; ( )当点 P 异于 A、 B 两点时 ,求证 : 为定值 . ( )设 A(x1,B(x2,由 F(0,1) 直线 l:y=- 2 x+1,与 2y=1联立得 :4 x1+2 y1+- 2 (x1+2=1;又由 =0 P(1)在 C 上 ; ( )由 2 直线 OQ:y= 2 x A、 P、 B、 Q 四点 均 在曲线 G:2x2+ ( 2 x+ 2 0 上 ;由 2x2+ ( 2 x+ 2 (2+2 )1 x+ 2+2 =1 =曲线 G:42 为圆 A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上 . ( )设 Q(),代入 x0=|p;由 |45|p=45p=2 C:x; ( )由 F(1,0),设直线 AB:,直线 MN:x+ky+t=0,则过 A、 M、 B、 N 四点的曲线系 : (x+ky+t)=0,即 (1- k) t+k2),该 曲线系 为圆 (0,且 k=1- k k= 1, =21 直线 l:y= (还可求 直线 圆 :x2+t+1) 圆心 T(29t, (t+1);由 圆心 N:x+ky+t=0 上 t=直线 MN:x ). ( )b=1,由22123 a=2 椭圆42x+ 右焦点 F( 3 ,0) 直线 CF:y=,与 椭圆 的 方程联立 ,并消去 y 得 :7 x=0 38 |716; ( )设 Q(m,n),则直线 QA:,由直线 (0,1) m=2(1 直线 QA:x+2,Q(2(1n) 直线QB:-n)y+2n=0;因过直线 椭 圆的交点的曲 线系为 : (x+2-n)y+2n=0 (1+ n) 652 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 4 (12 + n)=0,该曲线系退化为直线 AB:y=0与直线 1+ n=0 =曲线系 :yx+0 直线 4x+,令 y=0 x=n P(n,0) =. 设 P(x0,直线 AD:,直线 BE:,过 A,B,E, (0 (1+ -1)k1+k2),曲线变为直线 D 1+ 直线 -1)k2)0,由直线 (2,0) 3k1+, )1( )1(21 x=21. ( )椭圆 E:22x+;( )设 直线 AP:,AQ:,PQ:,椭圆 处的切线 :y+1=0,则 过A,P,Q 三 点的二次曲线系 G:( (y+1)( 1 x+(2- k)y+1+ (10;由曲线系 G 为 椭圆 E: ,2- k=0 k1+ k=2. ( )椭圆 C:42x+32y=1;( )由 F(1,0),设 直线 AB:,PA:m=0(m=23PB:n=0(n=23椭圆C 在处的切线 :x+2,则 M(4,3k) k3= 过 A,B,P 三点的二次曲线系 G:(m)(n)+ (x+2k)=0 ( k)2 1k)x-(m+n+24 )y+ k=0;由曲线 系 G 为 椭圆C:3 2 ,k=0,m+n+24 =0 k1+存在 =2. 设 P(x0,直线 l:,直线 m:,过这四点的曲线系 : 0 (1+ ) k1+k2) ( a+b)+1x+ ,该方程为圆 1+ = k1+;此时 ,由 直线 l与 m 的交点 P 的 P 的轨迹 :线段 中垂线 x=2除去直线 x=2 y=0,或 y2=x 的三个交点 . ( )设 直线 PA:y=B:y=中 ,3 2 k1+2 ,3 2 k2+2 ,则过 A、 B、 P 三点的曲线系 :46 (0 (4+ k1+k2)36+ ) (m1+m2) ,该 曲线系为 外接 圆 (k1+0,且 4+ 6+ k1+ 内切圆的圆心在一条定直线 x=3 2 上 ; ( )由 00 3 , 3 |7 )133(23 ,|7 )133(23 S 1|PB|93117. ( )x=29;( )T(7,310);( )直线 AT:m=0