3_8064950_17.圆的性质.圆与圆锥曲线的交汇

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 637 中国 高考数学母题 (第 183 号 ) 圆的性质 圆锥曲线 的 交汇 解析几 何 中的曲线可分为两个层次 ,第一层次 :直线与圆 ;第二层次 :抛物线 、 椭圆 和双曲线 ;第一层次中的直线与第二层次的曲线结合问 题 是人们重点关注的 ,第一层次中的圆与第二层次的曲线 交汇 问 题 也应当引起重视 . 母题结构 :( )(动 圆 轨迹 ) 过定点 A,且与 定 直线 l 相切或截 定 直线等于 定 长 (点 A 不在 l 上 )的 动 圆 的 圆心轨迹 是抛物 线 ; 若 定 圆 圆 则与 圆 且与 圆 圆 的 圆心轨迹 是 椭圆 ; 若 定 圆 圆 则与圆 切 或 外切 的 动 圆 的 圆心轨迹 是 双曲线 ; ( )(圆的方程 )若 点 A(x1,B(x2,则 以 线段 直径的圆 :(0;若 直线 l:y=kx+m(k 0)与圆锥 曲线 G:dx+ey+f=0交 A、 ,则 以线段 (a+a+2d+ek)x+(dk+am)y+em+f+; ( )(圆的切线 )若点 P(x0, 圆 M:(+(=则圆 M 在 点 P 处的切线 l:(若点 P(x0, 圆 M:x2+x+=0 上 ,则圆 M 在 点 P 处的切线 l:20F=0. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2013 年课标 高考试题 )已知圆 M:(x+1)2+,圆 N:(+,动圆 外切并且与圆 圆心 P 的轨迹为曲线 C.( )求 C 的方程 ; ( )l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线 ,l 与曲线 C 交于 A,当圆 P 的半径最长时 ,求 | 解析 :( )由圆 M 的圆心 M(),半径 ;圆 N 的圆心 N(1,0),半径 ;设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R,由 圆 外切并且与圆 N 内切 |(R+(r1+,由椭圆的定义知 ,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点 ,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆 (左顶点除外 ),其方程为42x+32y=1(x ( )对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由 |2 R2 ,当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0)时 ,R=2 当圆 P 的半径最长时 ,其方程 为 (+;若 00,则 l与 可得 |2 3 ;若 00,由 知 设 l与 ,则| | Q(),可设 l:y=k(x+4),由 相切 21|3|1 k=42; 当 k=42时 ,将 y=42x+ 2 代入42x+32y=1得 :7 |718;当 k=由对称性可知 |=2 3 或 |718. 点评 :抛物线、椭圆和双曲线等三类圆 锥 曲线都可用动圆的圆心轨迹来包装 ,且包装方式多样 ,但解决问题的方法是统一的 ,即利用圆的性质 ,通过寻找 动圆的圆心 满足的条件 ,然后 ,根据 圆 锥 曲线 的定义 ,确定 轨迹 类型 ,求 轨迹 方程 . 同 类 试题 : 1.(2005 年山东 高考试题 )己知动圆过定点 (2p,0),且与直线 x=其中 p0.( )求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; ( )设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点 ,直线 倾斜角分别为和 ,当、变化且 +为定值(00)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上 一点 ,已知以 F 为圆心 ,半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点 . 638 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )若 00, 面积为 4 2 ,求 P 的值及圆 F 的方程 ; ( )若 A,B,F 三点在同一条直线 m 上 ,直线 n与 m 平行 ,且 只有一个公共点 ,求坐标原点到 m,n 距离的比值 . 解析 :( )设准线 l 于 y 轴的 交 点为 E,圆 F 的半径为 r,则 |p,|r,D 的中点 ;由 00 r= 2 p, 面积 =2 2 p=2 F(0,1) 圆 F:=8; ( )由 A,B, 的直径 抛物线定义知 :| 00 直线 33或 直线 m:y=33x+2p 原点到直线 m 的距离 3p;由 y =33 x=33p 直线n:33(x33p) y=33原点到直线 23p 坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 点评 :由 y=kx+m与 dx+ey+f=0联立 ,消去 (a+2d+ek)x+em+f=0 ;消去 (a+(dk+y+ ;由 +即得 以线段 同 类 试题 : 3.(2004 年湖北高考试题 )直线 l:y= 与双曲线 C:2 的右支交于不同的两点 A、 B.( )求实数 k 的取值范围 ; ( )是否存在实数 k,使得以线段 直径的圆经过双曲线 ？若存在 ,求出 k 的值 ;不存在 ,说明理由 . 4.(2010 年大纲卷 高考试题 )己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:2222=1(a0,b0)相交于 B、 点 ,且 中点为 M(1,3).( )求 C 的离 心率 ; ( )设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|17,证明 :过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 . 子题类型 :(2011 年 浙江 高考试题 )已知抛物线 C1:x2=y,圆 C2:=1 的圆心 为点 M. ( )求点 M 到抛物线 ( )已知点 P 是抛物 线 异于原点 ),过点 P 作圆 交抛物线 ,B 两点 , 若过 M,P 两点的直线 l 垂 直于 直线 l 的方程 . 解析 :( )由 抛物线的准线方程为 :y=圆心 M(0,4)到抛物线的距 离 =417; ( )设 P(x0,A(x1,B(x2,切线 别为 k1,点 2的切线 :k(则1|4|22001 (k+(4 k1,方程的两根 0,k1+ )4(2 20200 12021xx =x1+x1=理可得 :x2=x1+x2=k1+ )4(2 202001620 0 1020 4(523 直线 l:y= 1151153 x+4. 点评 :灵活运用 圆的切线 位置关系 :“ 圆的切线垂直于过切 点的半径 ” 、 圆的切线的 距离条件 :“圆心 M 到 切线 l 的距离等于圆的半径” 、 设切点 ,灵活运用 圆的切线 方程是解决 圆的切线 问题的有力工具和解题方法 . 同 类 试题 : 5.(2014 年 辽宁 高考试题 )圆 x2+ 的切线与 x 轴正半轴 ,形 ,当该三角形面积最小时 ,切点为 P(如图 ). ( )求点 P 的坐标 ; ( )焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 3 交于 A,若 面积为 2,求 6.(2014 年 天津 高考 文科 试题 )设椭圆222(ab0)的左 、右 焦点为 顶点为 A,上顶点为 23 |( )求椭圆的 离心率 ; ( )设 以线段 1,经过点 ,|2 2 ,求椭圆的方程 . 2017年课 标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 639 7.(2009年全 国高中数学联赛 陕西 初赛 试题 )如图 ,已知两点 A(- 5 ,0),B( 5 ,0), 圆心在直线 x=2 上移动 .( )求点 C 的轨迹方程 ; ( )过点 M(2,0)作两条射线 ,分别交 ( )中所求轨迹于 P,且 0,求证 :直线 过定点 . 8.(2012年全国高中数学联赛福 建 预赛试 题 )已知 双曲线 C:22(a0,b0)的离心率 e= 3 ,其左焦点 .( )求双曲线 C 的方程 ; ( )若过点 D(2,0)的直线 l 交双曲线 C 于 A、 B 两点 ,且以 的圆过坐标原点 O,求直线 方程 . 9.(2006年 天津 高考试题 )如图 ,以椭圆222(ab0)的中心 分别以 a和 和小圆 (c,0)(cb)作垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限内的点 A,连结 小圆于 点 B,设直线 小圆的切线 .( )证明 :c2=求直线 y 轴的交点 M 的坐标 ; ( )设直线 椭圆于 P、 证明 : 2110.(2014 年 重庆 高考试题 )如图 ,设椭圆222(ab0)的左右焦点分别为 2,点 D 在椭圆 上 ,| | 121 2 , )求该椭圆的标准方程 ; ( )是否存在圆心在 y 轴上的圆 ,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点 ,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在 ,求圆的方程 ;若不存在 ,说明理由 . ( )如图 ,由 | 方程为 px(p0); ( )设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=kx+m,则 1122由 + )= (11122(122又由 y=kx+m与 px( m(2 11221122 (1- m=2 直线 AB:y=k(x+2p)+2恒过定点 (. ( )设 P(x,y),圆 P 的半径为 r,由题设 =r2,= P 点的轨迹方程为 ; ( )由 y= 2 | 22 x2+,又由 x2= 当 x=0时 ,y= 1, 圆 P: =3 或 y+1)2=3; 当 x 0 时 ,x=y,不满足 圆 P:=3或 y+1)2=3. ( )k 的取值范围 是 ( );( )将 y= 代入 2 消去 x 得 (2,与 (2圆 :(22,由 F(26,0)在圆上 5 6 k= ( ). ( )设 B(x1,D(x2,由 l:y=x+2,代入2222=1 得 :( x1+224ab a=2 e=2; ( )不妨设 -a,a,则 |2|a(x1+a+8;由 |17 5a +8=17 a=1 A(1,0),双曲线 C:3 将 y=x+2 代入 ,消去 y 得 : ;消去 x 得 :9=0 ;由 + NF(0)x=- 640 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 得 :x2+=0,此即为 以线段 直径的圆的方程 ;又点 A 在此圆上 过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 于点 A. ( )设 P(x0,),则 2;由 切线 : 三角形面 积 =008 4 P( 2 , 2 ); ( )设 A(x1,B(x2,椭圆 C:222(ab0);则22a+22b=1, 3 x+6 | 2 242 26122b ;又由P 到 直线 l 的 距离 d=23 面积 S=21 |AB|d= 3 242 2612b =2 椭圆 C:62x+32y=1. ( )e=22;( )由 b2=椭圆 :(0,c),c,0);设点 P( 2 ,由 以线段 直径的圆 :x( +(=0,由 圆经过点 c,0) (c+ 2 c+0 2 =0 31,点 P(1c) 圆心 N(2c) 半经 r=|35c,|=929| 222 | = 362 c=2 2 c= 3 椭圆 :. ( )如图 ,设 切圆分别在 C,的切点为 G,F,E,由 |=| |42); ( )设 P(x1,Q(x2,直线 PQ:y=k(m(m 0) 11xy,22=2( ;由 (4(0 (2( =0 4(2021122xy= 02112211 m=直线 PQ:y=k(定点 (310,0). ( )双曲线 C:; ( )设直线 l:x=,与双曲线 C:联立 ,并消去 (2=0,并消去 y 得 :(2 以 直径的圆 :(22x+8 过坐标原点 O t= 1. ( )由 直线 小圆的切线 | b:c=c:a c2= 直线 BF:y= 点 M(0,即 点 M(0,a); ( )设 P(x1,Q(x2,将