3_8064951_16.等角问题.圆锥曲线的一个共性

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 633 中国 高考数学母题 (第 182 号 ) 等角问题 在近 几年的 高考 中 ,有一类关于等角 的 特殊试题 ,关于此类试题不仅有统一的结论 (母题 ),而且有统一的解题程序 ,该解题方法为作者独创 . 母题结构 :( )若过 抛物线 G 的对称轴上一点 P 的直线 l 与 抛物线 G 交于 A、 B 两点 ,则 成立 点 物线 G 的对称轴上 ,且 0; ( )若过曲线 G 的对称轴上一点 P 的直线 l 与 曲线 G 交于 A、 B 两点 ,则 成立 点 Q 与点 P 在 曲线 G 的 同一条 对称轴上 ,且 中 ,t 是 曲线 G 在 对称轴上的 半轴上 ,当 G 为 椭圆 时 ,取正 ;当 G 为 双曲线 时 ,取负 ). 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2015 年课标 高考试题 )在直角坐标系 ,曲线 C:y=42y=kx+a(a0)交与 M,N 两点 . ( )当 k=0 时 ,分别求 C 在点 处的切线方程 ; ( )y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时 ,总有 说明理由 . 解析 :( )当 k=0 时 ,M(2 a ,a),N(-2 a ,a),由 y =21x C 在点 M 和 N 处的切线方程 分别为 :a (a )和 a (x+2 a ); ( )设 M(x1,N(x2,P(0,b),由 y=kx+a 1=ba )(;由 y=42x 4b (k(a+b)x(y- b)=0 4a(2a+b)(-(011+22 =- b ( ;由 - b ( b=(0,合题意 . 点评 :对 于此类试题的解题程序类同于母 题第 182号 ,不同点 是点 上 ,区别是 :当点 上时 ,曲线(方程 时 ,常数项为 0;当点 上时 ,曲线 (方程 时 ,常数项不为 0. 同 类 试题 : 1.(2015年 福建 高考试题 )已知点 :px(p0)的焦点 ,点 A(2,m)在抛物线 且 |3. ( )求抛物线 E 的方程 ; ( )已知点 G(),延长 抛物线 E 于点 B,证明 :以点 F 为圆心且与直线 切的圆 ,必与直线 切 . 2.(2013 年陕西 高考试题 )己知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 长为 8.( )求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; ( )已知点 B(),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P、 Q.若 x 轴是 角平分线 ,证明 :直线 子题类型 :(2004年 湖 南 高考试题 )如图 ,过抛物线 (0,m)(m0)作直 线与抛物线交于 A,B 两点 ,点 关于原点的对称点 . ( )设点 P 分有向线段 成的比为 ,证明 : ( ; 634 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )设直线 方程是 2=0,过 A、 B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线 ,求圆 C 的方程 . 解析 :( )由 Q(0,设 直线 AB:y=kx+m 1=m )( ;由 y (y+m)3(2-(k2+m)=0 0 | | |所以 , ( 0 | | 成立 ; ( )由 2=0 与 y A(6,9),B();由抛物线 y 在点 A 处 的切线 斜率 k=3 圆心 C 在直线 31( ,设圆心 C(6+3t,9由 | 1010+3t)2+(5 t=圆 C:(x+23)2+(=2125. 点评 :在 ,若 则 ( ;这是三角形角平分线的向量包 装 ;三角形角平分线的包 装 还有平分线定理、三角形内切圆等 . 同 类 试题 : 3.(2007年全 国高中数学联赛河南 初赛 试题 )已知抛物线 (0,8),A、 且 0)、 设其交点为 M. ( )证明 :点 值 . ( )是否存在定点 Q,使得无论 都有 明你的结论 . 4.(2010 年 全国 高考试题 )已知抛物线 C:x 的焦点为 F,过点 K()的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点 ,点 A 关于 x 轴的对称点为 D.( )证明 :点 D 上 ; ( )设 =98,求 内切圆 M 的方程 . 子题类型 :(2015 年 四川 高考试题 )如图 ,椭圆 E:222(ab0)的离心率是22,过 点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆交于 A、 B 两点 ,当直线 l 平行于 x 轴时 ,直线 l 被椭圆 E 截的线段长为 2 2 . ( )求椭圆 ( )在平面直角坐标系中是否存在与点 ,使得| | | 若存在 ,求出Q 点的坐标 ;若不存在 ;说明理由 . 解析 :( )由 e=22122,且22a+21b=1 a=2,b= 2 椭圆 E:42x+22y=1; ( )假设存在满足题意 的定点 Q(0,q),则| | | ;设 A(x1,B(x2,直线 AB:y= 1=1 )(q (+4q(20 (42+4k(2+(+(2)0 1+22= 12 )2(22 qq 0 q=(0,2)满足题意 . 点评 :我们把有心曲线 P 曲线 0)(其中 ,在对称轴上的半轴上 ,当 取正 ;当 取负 );的两点 P、 Q,称作曲线 对 “伴侣点” (共轭点 );“伴侣点”的许多性质是高考命题的生长点 . 同 类 试题 : 5.(2008 年福建高考试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)的一个焦点是为 F(1,0),且过点 (2,0).( )求椭圆 C 的方程 ; ( )若 直线 l:x=4与 ,直线 .(i)求证 : 点 M 恒在椭圆 C 上 ;( 积的最大值 . 6.(2004 年 天津 高考试题 )椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0)(c0) 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 635 的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|2|过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 Q 两点 . ( )求椭圆的方程及离心率 ; ( )若 0,求直线 方程 ; ( )设 1),过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明 :Q . 7.(2009年全国高中数学联赛 福建 预赛试 题 )已知抛物线 焦点坐标为 F(2,0),点 m 0). ( )设过点 P 斜率为 1 的直线 于 A,B 两点 ,若 m0,P 关于原点的对称点为 Q,求 积的 最大值 ; ( )设过点 P 斜率为 k(k 0)的直线 于 M,N 两点 ,在 x 轴上是否存在一点 T,使得 N 与 x 轴所成的锐角相等？若存在 ,求出点 T 的坐标 ,若不存在 ,请说明理由 . ( )由 |2+2p=3 p=2 抛物线 E:x; ( )由 点 A(2,m)在抛物线 m= 2 2 ,不妨设 A(2,2 2 ) 直线 AF:y=2 2 (入 2=0 2 1 B(21 ,- 2 ) 322 - 322 =0 线 以点 A 相切的圆 ,必与直线 切 . ( )如图 ,设动 圆的圆心 O1(x,y),过 1H H,则 H 为 中点 ;由 | |=| |+|=| 6=(+ x 轨迹 C 的方程 为 :x; ( )设 P(x1,Q(x2,定 点 B(b,0),直线 PQ:x=ty+m 1=1)1( m x x+1)+8=0 (m+1)2+81 +8t(18m=0 112222 8)1( )1(8 tm ;由 x 轴是 角平分线 11122 m=1 直线 l 过定点 (1,0). ( )设 A(2a,B(2b,M(x0,则 切线 y+2M:2y+2 切线 22点 均在直线 : 直线 AB:y;由直线 (0,8) 8; ( )设 Q(0,t)(t0),则 (0,8(2a, =(8a| |;同理可得 : |;由 a,b是 的两根 8,所以 , |=| t=8. ( )设 直线 x 轴交于点 E(),由 点 A 关于 x 轴的对称点为 D 0 点 F 在直线 ; ( )由 =(1+21k)y1+4=4(1+21k)=88 k=43; 根据对称性 ,不妨设 k=43,则 直线 =0,且 3 分 圆 M 的圆心 M在 x 轴上 ;(=(x1+- 4162 2 12 = 73 直线 ;设 M(t,0)(-1t1),则由点 5 |1|3 t =4 |1|3 t t=91 圆 M:(+4. ( )由 a2=,a=2 椭圆 C 的方程 :34 22 =1; 636 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )(i)因 F(1,0),N(4,0),设 椭圆 C 交于点 T, x 轴交于点 S,由 4 点 重合 点 T 是 直线 N 的 交 点 M 点 M 恒在椭圆 C 上 ; (直线 方程为 :x=,A(x1,M(x2,则点 N(4,0)到直线 AF:x= 的距离 d=132t,由 1243 122 yx (3) y1+4362t t,4392t |212212 4)(1 = 121222t t S 1|AM|d=18 43 122 12t =m(m 1) t2=S 83118132 29. ( )设椭圆 :222,则 b= 2 ,c=2( ,c=2 椭圆 :62x+22y=1,离心率 e=36; ( )由 A(3,0),设直线 PQ:y=k(由 0 原点 O 到直线 距离 d=22 26 1|3|26 k=55; ( )由 = 点 F,|1: | | Q . (