3_8064981_3.立体几何解题策略之长方体母体

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 561 中国 高考数学母题 (第 165 号 ) 立体几何解题策略之长方体 母体 长方体是立体几何中的基本几何体 ,其结构对称 ,内涵丰富 ,具有 展开空间想象的 依托 功能 ,是研究 立体 几何体的重要载体 模型 ,其中 ,高考中的三类热点 几何体 试题 ,若放置于 长方体 中 ,则可获得直观提示 ,寻得直接解法 . 母题结构 :( )在如图所示的 长方体 中 ,若 AB=a,BC=b,AD=c,AP=h,则 :平面 法向量 m= (h(ah, 平面 法向量 m=(a,0); ( )在如图所示的 长方体 中 ,A、 B、 C、 D、 P 均为 长方体 所在棱的中点 ,若 a,b,AP=h,则 : 平面 法向量 m=(a1,b1, 平面 法向量 n=(b1, ( )如图 ,四棱锥 AB=a,AD=b,PA= 平面 m=(, 平面 一个法向量 n=(0,b1, 平面 一个法向量 =(a1,b1, 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2014 年 浙江 高考试题 )如图 ,在四棱锥 , 平面 平面 00,D=2,E=1,2 . ( )证明 :平面 ( )求二面角 大小 . 解析 :( )在直角梯形 由 00,E=1 2 ;在 ,C= 2 平面 平面 平面 平面 ( )以 D 为原点 ,分别以射线 x、 y 轴的正半轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 A(0,2, 2 ),E(1,0,0),B(1,1,0), 设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 2y+ 2 z=0,x+y=0,令 x=1 得 m=(1,2 ),同理可得 平面 n=(0,2 ) 3 =6 二面角 大小 为6. 点评 :对 底面为直角梯形的四棱锥 ,可以顶点在底面上的射影点位置分 类研究 ;其中 ,常见的有 :射影点在直角顶点 、 射影点 在非直角顶点 和 射影点在 底面 直角梯形的 边上 等 . 同 类 试题 : 1.(2001年 全国 高考试题 )如图 ,在底面是直角梯形的四棱锥 00, A=C=1,1. ( )求四棱锥 ( )求面 2.(2008 年 福 建高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,侧面 面 棱 D= 2 ,底面 直角梯形 ,其中B D=2,O 为 点 .( )求证 :面 ( )求异面直线 成角的余弦 值 ; ( )线段 是否存在点 Q,使得它到平面 距离为23？若存在 ,求出若不存在 ,请说明理由 . 子题类型 :(2009 年安徽 高考试题 )如图 ,四棱锥 底面 菱形 ,其对角线 ,2 ,与平面 直 ,. ( )求二面角 大小 ; 562 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )求四棱锥 四棱锥 共部分的体积 . 解析 :( )把 四棱锥 置到长方体 中 ,易建立空间直角坐标系如图 ,则 (,0),(0,2,2);设 平面向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=( 2 ,1,同理可得 :面 向量 n=(- 2 ,1, m n=0 二面角 大小 =2; ( )在坐标平面 ,直线 AF:y=z,直线 y+z=1 直线 于点 P(0,32,32);又因 S 菱形 1D= 2 V 四棱锥 1S 菱形 22. 点评 :对 以菱形为底面的四棱锥 ,先把底面菱形放置于长方体的下底面上 ,然后在长方体的上底面内确定顶点 的位置 ,建系后 ,求平面法向量 ,要 充分利用对称性 ,由其一同理可得其二 . 同 类 试题 : 3.(2012 年 浙江 高考试题 )如图 ,在四棱锥 底面是边长为 2 3 的菱形 ,且 200,且 平面 A=2 6 ,M,B,中点 . ( )证明 :平面 ( )过点 Q 足为点 Q,求二面角 平面角的余弦值 . 4.(2014年 重庆 高考试题 )如图 ,四棱锥 面是以 底面 B=2, ,且 1, )求 长 ; ( )求二面角 正弦值 . 3.“鳖臑”与“阳马” 子题类型 :(2015 年 湖北 高考试题 )九章算术中 ,将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为阳马 ,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 在阳马 ,侧棱 底面 D,过棱 中点 E,作 点 F,连接 F,E. ( )证明 :面 判断四面体 否为鳖臑 ,若是 ,写出其每个面的直角 (只需写 出结论 );若不是 ,说明理由 ; ( )若面 面 成二面角的大小为3,求 解析 :( )由 面 矩形 ,平面 由 D,E 是 中点 面 面 面体 鳖臑 ,其中 , 00; ( )由 面 面角 3 3 2. 点评 :“鳖 臑 ”与“阳马”具有密切 的联系 ,“阳马”中存在“鳖 臑 ” ,“鳖 臑 ”与“阳马”联袂在高考中成为一道亮丽的风景线 . 同 类 试题 : 5.(2009 年 江西 高考试题 )在四棱锥 ,底面 矩形 ,面 A=,. 以 中点 O 为球心、 直径的球面交 点 M,交 点 N. ( )求证 :平面 面 ( )求直线 平面 成的角的大小 ; ( )求点 N 到平面 距离 . 6.(2010 年 重庆 高考 理科 试题 )如 图 ,四棱锥 ,底面 矩形 ,底面 A= 6 ,点 E 是棱 中点 . ( )求直线 平面 距离 ; ( )若 3 ,求二面角 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 563 7.(2012 年 湖南 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,面 , 00,D 的中点 . ( )证明 :面 ( )若直线 平面 成的角和 平面 成的角相等 , 求四棱锥 体积 . 8.(2014 年 天津 高考试题 )如图 ,在四 棱锥 ,底面 D B D=P=2,点 E 为棱 中点 .( )证明 : ( )求 直线 平面 成角的正弦值 ; ( )若 F 为棱 一点 ,满足 二面角 余弦值 . 9.(2012 年 全国 (大纲 )高考试题 )如图 ,四棱锥 ,底面 菱形 , 面 C=2 2 ,C 上的一点 ,( )证明 :面 )设二面角 00,求 平面 成角的大小 . 10.(2008年 山东 高考试题 )如图 ,已知四棱锥 面 平面 00,E,C,( )证明 : ( )若 H 为 的动点 ,平面 成最大角的正切值为26,求二面角 余弦值 . 11.(2012 年课标高考试题 )如图 ,直 三棱柱 C=21 是棱 )证明 : ( )求二面角 12.(2010 年陕西高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面 矩形 ,平面 P=, 2 ,E,F 分别是C 的中点 .( )证明 :平面 ( )求平面 平面 角的大小 . ( )由 直角梯形 面积是 3 四棱锥 体积 V=41; ( )以 B 为坐标原点 ,直线 别为 x、 y 轴 ,建立空间直角坐标系 ,设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0, m 0 m=(1,2,1);又 平面 n=(0,1,0) 6 面 22. ( )在 ,由 D,O 为 点 由侧面 面 面 ( )分别以 直线 别为 x、 y、 z 轴 ,建立坐标系 ,则 (,1),(,0) 6; ( )假设存在点 Q(0,t,0)(333. ( )设 PO=h,建立如图所示的空间直角坐标系 ,由 0 h=23; ( )设 平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(3 , );同理可得 平面 n=(- 3 ,1,2) 515 二面角 正弦值 =510. ( )由 所作球面的直径 C,又由 平面 平面 平面 平面 564 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )由 平面 D 2 , 3 6 ;设 h,由 2 6 h=8 h=362,设直线 平面 成的角为 ,则 6. ( )由 C=5:9 点 N 到平面 距离 =点 P 到平面 离的95=点 D 到平面 离的95=27610. ( )以 射线 半轴 ,建立空间直角坐标系 ,设 AD=a,则 0 平面 直线 平面 距离 =|= 3 ; ( )设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(1,- 2 ,同理可得 平面 法向量 n=(0,1, 2 ) 33 . ( )如图 ,建立坐标系 ,设 P(0,0,h),则 0, 0 面 ( )因 平面 法向量 (,0),平面 法向量 (0,0,h),由 | |2162016h=216 h= 558 四棱锥 体积 V= 155128 . ( )如图 ,建立坐标系 ,则 (0,1,1),(2,0,0) 0 ( )由 平面 法向量 m=(2,1,1) 3 所成角的正弦值 =33; ( )设 F(2 ,2 ,2 (2 ,2;由 0 =41;设平面 n=(x,y,z),由 n 0,n 0 n=(0,3,平面 法向量 t=(0,1,0) 0103. ( )设 b,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 0, 0 C 面 )设 平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(b,- 2 , 2 b);同理可得 平面 法向量 n=(b, 2 ,0);由 二面角 900 m n=0 b= 2 m=( 2 ,- 2 ,2) 21. ( )由 平面 四边形 菱形 , 00 C,又 E 是 中点 C 平面 ( )建立如图所示的空间直角坐标系 ,不妨设 ,h,H(0,2t,2由 平面 法向量 m= (1,0,0) 22 )2(41232 平面 成角的正切值 =22 )2(432