3_8064982_2.立体几何解题策略之平面法向量

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 557 中国 高考数学母题 (第 164 号 ) 立体几何解题策略之平面法向量 在使用 向量法 的条件下 ,正确、快速的 求 出 平面的法向量 无 疑 是取胜高考立体几何试题的关键 ;“看出” 平面法向量 ,是 解决 高考立体几何试题的 本领 ;掌握“看出”的方法和枝巧 ,你 就 拥有了 解决 问 题的 利器 . 母题结构 :特殊 平面的法向量 : 若 平面 平面 平面的法向量为 m=(0,0,1); 若 平面 过 z 轴 和点D(a,b,0),则 平面的法向量为 m=(b,); 若 z 轴 平面 ,且 平面 与 x,y 轴分别交于点 A(a,0,0),B(0,b,0),则 平面的法向量为 m=(a1,); 若 平面 与坐标轴分别交于点 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则 平面的法向量为 m= (a1,b1, 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2011 年课标高考试题 )如图 ,四棱锥 , 底面 平行四边形 , 00,D底面 ( )证明 : ( )若 D,求二面角 余 弦值 . 解析 :( )在 , 00, 面 面 ( )不妨设 D=1,由 3 ;以 B,x,y,建立空间直角坐标如图 ,则A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C(3 ,0),P(0,0,1);设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(0,1, 3 );同理可得 :平面 法向量 n=(- 3 , 3 ) 二面角 余弦值 =772. 点评 :若平面在 x、 y、 a、 b、 c(0),则平面的法向量为 m=(a1,b1,利用此结果可巧求斜 平面 的法向量 ,剩下的问 题 是按程 序 ,书写求解过程 ,并 取 m 与平行 的法向量 (化去分母 ). 同 类 试题 : 1.(2006 年 江西 高考试题 )如图 ,已知三棱锥 侧棱 两 垂直 ,且 ,C=2,E 是 ( )求 O 点到面 距离 ;( )求异面直线 成角的 余弦值 ; ( )求二面角 余弦值 . 2.(2015年 重庆 高考试题 )如图 ,三棱锥 面 C=3, ,D,B,且 E= 2 ,.( )证明 :面 ( )求二面角 余弦值 . 平面求截距 子题类型 :(2009 年 重庆 高考试题 )如 图 ,在四棱锥 , 面 平面 S S=2,E 为 中点 , 2 ,3 ( )点 ( )二面角 解析 :在长 方体中作出 四棱锥 图 : ( )平面 点 点 由 面 平面 平面 平面 平面 点 ,3 2 点 A 到平面 距离 = 2 ; 558 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )以 射线 x、 建立空间直角坐标系 ,则 A( 2 ,1,0),B(0,2,2),C(0,2,0),D( 2 , 0,0) E(0,1,1);设 平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=( 2 ,1,1);同理可得 平面 法向量n=( 2 ,1,0) 3 =6 二面角 大小 为6. 点评 :通过延长线段或延展平面 ,寻找平面与坐标轴的交点 ,是利用斜平面的法向量公式 ,“看出”平面法向量的有力手段 ;在本题中 ,0,0,2) 平面 x,y,z 轴上的截距分别为 2 ,2,2 m=( 2 ,1,1). 同 类 试题 : 3.(2011 年 辽 宁高考试题 )如图 ,四边形 正方形 ,平面 A ,B=21 )证明 :平面 平面 ( )求二面角 余弦值 . 4.(2004 年 浙江 高考 理科 试题 )如图 ,已知正方形 矩形 在的平面互相垂直 ,2 ,M 是线段 中点 .( )求证 :平面 ( )求二面角 A的大小 ; ( )试在线段 ,使得 00. 直角坐标系 子题类型 :(2010 年 江 西高考试题 )如图 , 是边长 为 2 的正三角形 ,平面 面 B平面 B=2 3 . ( )求点 A 到平面 距离 ; ( )求平面 平面 成二面角的正弦值 . 解析 :在长方体中作出 几何体 ,并以 B 为坐标原点 ,直线 中 垂线分别为 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 A(0,0,2 3 ),C(1, 3 ,0),D(3 ,0),M(0, 3 , 3 ); ( )设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=( 3 ,);又 (0,0,2 3 ) d=|= 5152 ; ( )设平面 法向量 n=(x,y,z),由 n 0,n 0 n=( 3 ,1,1),又 平面 法向量 k=(0,0,1) 5 平面 平面 成二面角的正弦值 =552. 点评 :平移空间直角坐标系 ,不改变平面法向量的方向 ;如设 x 轴交于点 H,在以 H 为原点的空间直角坐标系中 ,平面 x,y,距 分别为 1,- 3 , 3 平面 m=( 3 ,). 同 类 试题 : 5.(2001年 全国 高考试题 )如图 ,在底面是直角梯形的四棱锥 00, A=C=1,1. ( )求四棱锥 ( )求面 6.(2014 年 浙江 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,平面 平面 00,D=2,E=1,2 . ( )证明 :平面 ( )求二面角 大小 . 7.(2007 年课标高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,侧面 为 等边 三角形 ,00,C 中点 . ( )证明 :平面 ( )求二面角 余弦值 . 8.(2010 年课标高考试题 理科第 18 题 )如图 ,已知四棱锥 底面为等腰 梯形 ,C 足为 H,四棱锥的高 ,E 为 点 . ( )证明 : ( )若 00,求直线 平面 成角的正弦值 . 9.(2016 年 高考 全国 丙 卷 试题 )如图 ,四棱锥 ,底 面 D B=C=3,C=4,M 为线段 一 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 559 点 , 为 中点 . ( )证明 :平面 ( )求直线 平面 成角的正弦值 . 10.(2012年课标高考试题 )如图 ,直 三棱柱 C=21是棱 中点 , )证明 : ( )求二面角 11.(2016 年 高考 全国 甲 卷 试题 )如图 ,菱形 对角线 于点 O,点 E,F 分别在 D 上 ,F= 45, 点 到 D 位置 ,= 10 . ( )证明 :D H 平面 ( )求二面角 正弦值 . 12.(2014 年课标 高考试题 )如图 ,四棱锥 ,底面 矩形 ,面 为 中点 . ( )证明 :面 ( )设二面角 600,3 ,求三棱锥 体积 . 分别以直线 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ;( )由平面 法向量 m=(1,1,2),(0,0,1) 距离 d=| | 36;( )由 (,0),(0,2, 2 异面直线 成角的 余弦值 =52;( )由平面 n=(1,2,2) 867 二面角 余弦值 =1867. 分别以直线 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ;( )由 0, 0 平面 ( )平面 法向量 m=(2,1,1),法向量 (,0) 63 二面角 余弦值 =63. ( )在长方体中作出几何体 ,并分别以直 线 x、 y、 z 轴正方向 ,建立空间直角坐标系 ,不妨设 ,则 0, 0 Q 平面 平面 平面 ( )设 平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(1,1,1),同理可得 平面 法向量 n=(0,1,2) 15 二面角 余弦值 =( )在长方体中作出几何体 ,并分别以直 线 x、 y、 z 轴正方向 ,建立空间直角坐标系 ,则 (22,1),又 中点 O(22,22,0) (22,1) 平面 ( )设 平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(1,1,- 2 );同理可得 平面 法向量 n=(1,0,0) 1 =3 二面角 A 的大小 为3; ( )设 P(t,t,0)(0 t 2 ),则 ( 2 2 ),又 (0, 2 ,0)及 成的角是 600 21 4( 2 =2( 2 +1 t=22 点 P 是 中点 . ( )由 直角梯形 面积是 3 四棱锥 体积 V=41; ( )以 B 为坐标原点 ,直线 别为 x、 y 轴 ,建立空间直角坐标系 ,设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0, m 0 m=(1,2,1);又平面 法向量 n=(0,1,0) 6 面 面 成角的正切值 =22. ( )在直角梯形 ,由 00,E=1 2 ;在 ,C= 2 560 备战高考数学的一条捷径 效手段 2017年课标高考 母题 平面 面 面 面 ( )以 D 为原点 ,分别以射线 x、 y 轴的正半轴 ,建立空间直角坐标系 ,设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m =0,m 0 m=(1,2 ),同理可得 平面 法向量 n=(0,2 ) 3 =6. 不妨设 ,由 B=C=;又由 00 2 B=2 2 ;( )由 C 由 平面 ( )以 O 为坐标原点 ,A,在直线分别为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标 ,设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m =0,m 0 m=(,1);同理可得 :平面 法向量 n=(0,1,0) 二面角 余弦值 =3. 以 H 为坐标原点 ,B,在直线分别为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标 ,( )不妨设 A(2a,0,0),C(,0),P(0, 0,h),则 a( 0=0 ( )不妨设 6 ,则 B=2 3 ;由 00 H=;又由 00 B= 6 3 A(2 3 ,0,0),D(0,),P(0,0,2 3 ),E( 3 ,) ( ,0,2 3 );设平面 法向量 m=(x,y,z),由m 0,m 0 m=(1, 3 ,0) 直线 平面 成角的正弦值 =|42. ( )由 ,;分别取 P 的中点 E,F,则 行且等于 N 为 中点 行且等于 行且等于 平面 ( )分别以直线 D, x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标 ,设 平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m= (0,2,1) 直线 平面 成角的正弦值 =|2558. ( )在矩形 由 1 是棱 由 平面 ( )由 C 面 C 为坐标原点 ,B,x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标 ,不妨设 ,则 ,0,2),B(0,1,0),0,2),D(1,0,1);设平面 m=(x,y,z),由 m 10,m 1=0 m=(1,2,1);同理可得 :平面 法向量 n=(1,1,0) 3 二面角 小 =6. ( )由 F=45 菱形 ,由 , ,D=4 ,D H=;又由 = 10 D H D H D H 平面 ( )以 H 为坐标原点 ,F,所在直线分别为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标 ,则 B(5,0,0),C(1,3,0),D (0,0,3),A(1, ) (4,3,0),(0,6,0), =(,3);设平面