3_8064997_6.独立检验的思想及应用

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 505 中国 高考数学母题 (第 153 号 ) 独立 检验的基本思想及应用 独立性检验是课标中的新增内容 ,高考大纲对“独立性检验”的要求较低 ,只要求 :填写 2 2 列联表 ;计算 会查临界值表 ,并作出独立性推断 . 母题结构 :( )(列联表 ):设两个分类变量 X 和 Y,它们的可能取值分别为 x1,y1,其样本频数列联表为 : ( )( ):)()()( )( 2 ,其中 n=a+b+c+d; ( )(关系表 ):如果 k有 99%的把握认为“ 有关系” ; 如果 k有 95%的把握认为“ X 与 Y 有关系” ;如果 k就有 90%的把握认为“ 有关系” ;如果 k 认为没有充分的证据显示“ X 与 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2009 年辽宁高考试题 )某企业有两个分厂生产某种零件 ,按规定内径尺寸 (单位 :数值落在零件为优 质品 00 件 ,量其内径尺寸 ,得结果如下表 : 甲厂 : 乙厂 : ( )试分别估计两个分厂生产零件的优质率 ; ( )由以上统计数据填下面 2 2 列联表 ,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂的零件的质量有差异” . 附 : 2=2121221122211 )(nn 解析 :( )由表知 ,从甲厂抽出的 500 件产品中 ,有 86+182+92=360 件 优质品 ,故甲厂的优质品率估计为50360=72%,从乙厂抽出的 500 件产品中 , 85+159+76=320 件优质品 ,故乙厂的优质品率估计为50320=64%; ( )由 2=320680500500 )140320180360(1000 2 以有 99%的把握认为“两个分厂的零件的质量有差异” . 点评 :解答“独立性检验”问题 的一般 程序 :依据 2 2 列联表 ,计算 通过观测值 k 与临界值 作出独立性推断 . 同 类 试题 : 1.(2010 年全国课标试题 )为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助 ,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人 ,得结果如下 : ( )估计该地区老年人中 ,需要志愿者提供帮助的老年人的比例 ; ( )能否有 99的把握认为该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ ( )根据 ( )的结论 ,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中 ,需要志愿 者提供帮助的老年人的比例？说明理由 . 506 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 附 :)()()( )( 2 , 子题类型 :(2014年安徽高考试题 )某高校共有学生 15000人 ,其中男生 10500人 ,女生 4500人 体育运动时间的情况 ,采用分层抽样的方法 ,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据 (单位 :小时 ). ( )应收集多少位女生的样本数据？ ( )根据这 300 个样本数据 ,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 (如图 所示 ),其中样本数据的分组区间为 0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 ; ( )在样本数据 中 ,有 60位女生的每周平均体育运动时间超过 4小时 ,请完成每周平均 体育运动时间与性别列联表 ,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平 均体育运动时间与性别有关” . 附 :)()()( )( 2 解析 :( )由 300150004500=90 应收集 90 位女生的样本数据 ; ( )由频率分布直方图得 :该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的 频率 =1计该校学生 每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 =( )由 ( )知 ,300 位学生中有 300 25 人的每周 平均体育运动时间超过 4 小时 ,75 人的每周平均体育运动 时间不超过 4 小时 ,又 由 样本数据中有 210 份是关于男生 的 ,90 份是关于女生的 每周平均体育运动时间与性别列 联表如下 : 021022575 )165306045(300 2 =2110 有 95%的把握认为“ 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 ” . 点评 :频率分布直方图与 “独立性检验”的结合已成为文科 高考的常态 ,由 频率分布直方图 填写 2 2 列联表、依据 2 2 列联表计算 作出独立性推断 ,是解决该类问题 的基 本 程序 . 同 类 试题 : 2.(2012 年辽宁高考试题 )电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 ,随机抽取了 100 名观众进行调查 ,其中女性有 55 名 收看该体育节目时间的频率分布直方图 : 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分 钟的观众称为“ 体育迷” , 已知“体育迷”中有 10 名女性 . ( )根据已知条件完成下面的 2 2 列联表 并据此资料你是否认为 “体育迷”与性别有关？ ( )将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育 迷” ,已知“超级体育迷”中有 2 名女性 ,若从“超级体育迷”中任 意选取 2 人 ,求至少有 1 名女性观众的概率 . 附 : 2=)()()( )( 2 . 子题类型 :(2010年辽宁高考试题 )为了比较注射 A,选 200只家兔做试验 ,将这 200 只家 兔随机地分成两组 ,每组 100 只 ,其中一组注射药物 A, 另一组注射药物 B. ( )甲、乙是 200 只家兔中的 2 只 ,求甲、乙分在不同组的概率 ; 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 507 ( )下表 和表 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果 (疱疹面 积单位 (i)完 成下面频率分布直方图 ,并比较注射两种药物后疱疹面积的 中位数大小 ; (成下面 2 2 列 联表 ,并回答能否有 把握认为“注 射药物 A 后的疱疹面积与 注射药物 B 后的疱疹面积有差异” . 附 :)()()( )( 2 解析 :( )甲、乙两只家兔分在不同组的概率为 P=100200991982910; ( )(i)频率分布直方图 如图 : 由 频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱 疹面积的中位数在 65至 70之间 ,而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数在 70至 75之间 注射 药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后 疱疹面积的中位数 . ( 2 列 联表 如 表 3:5105100100 )30356570(200 2 有 把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有差异” . 点评 :图表信息与 “独立性检验”的结合 势必 成为 高考的常态 ,由 图表信息 填写 2 2 列联表、依据 2 2 列联表计算作出独立性推断 ,是解决该类问题 的基 本 程序 . 同 类 试题 : 3.(2013 年福建高考试题 )某工厂有 25 周岁以上 (含 25 周岁 )工人 300 名 ,25 周岁以下工人 200 名 现采用分层抽样的方法 ,从中抽取了 100 名工人 ,先统计了他们某月的日平均生产件数 ,然后按工人年龄在 “25 周岁以上 (含 25 周岁 )” 和 “25 周岁以下 ” 分为两组 ,在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组 : 50,60),60,70),70,80),80,90),90,100),分别加以 统计 ,得到如图所示的频率分布直方图 : ( )从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽 取 2 人 ,求至少抽到一名 “25 周岁以下组 ” 工人的频率 ; ( )规定日平均生产件数不少于 80 件者为 “ 生产能手 ” ,请你根据已知条件完成 2 2 的列联表 0%的把握认为 “ 生产能手与工人所在的年龄组有关 ” ？ 4.(2010年广东高考试题 )某电视台在一次对收看文艺节目与新闻节目观众的抽查调查中 ,随机抽取了 100名电视观众 ,相关的数据如下表所示 : ( )由表中数据直观分析 ,收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ ( )用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名 ,大于 40 岁的观众应该抽取几名？ ( )在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名 ,求 恰有 1 名观众的年龄为 20至 40 岁的概率 . 508 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 5.(2014 年辽宁高考试题 )某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯 ,在全校一年级学生中进行了抽样调查 下表所示 : ( )根据表中数据 5%的把握认为“南方学生和北 方 学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异” ; ( )已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生 ,其中 2 名 喜欢甜品 ,现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人 ,求至多有 1 人 喜欢甜品的概率 . ( )由5003040=14 需要志愿者提供帮助的老年人的比例 =14 ;( )由 3070300200 )1603027040(500 2 有 99的把握认为该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 ; ( )根据 ( )的结论 ,该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 ,并且从样本数据看该地区男性老年人与女性老年人需要 帮助的比例有较大差异 ,因此在调查时先确定该地区老年人中的男、女比例 ,再把老年人按性别分为两层并采用分层抽样方法 ,比采用简单随机抽样方法更好 . ( )由频率分布直方图可知 ,在抽取的 100 人中 ,“ 体育迷 ” 有 25 人 , 22 列联表如下 :由 5755545 )15