3_8065041_1.二项展开式的通项公式

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 339 中国 高考数学母题 (第 110 号 ) 二项 展开式的通项公式 利用乘法公式展开 (a+b)随着指数 会越来越困难 ,因此有必要从整体上认识 (a+b)尤其是 展开式的通项 ;二项式 展开式的通项有三个方面的应用 . 母题结构 :(二项式定理 ):(a+b)n= + +中 ,展开式的第 k+1 项 =母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2005年重庆 高考试题 )若 (2项215,则 ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 解析 :由 =(-1)(-1)(-1)中 n=2k=由 (-1) 5(-1)223)!-(m!1-(m !)42( ） m=54)!-(!)42( m 32m = m=5 n=B). 点评 :二 项式 (a+b)k+1=或 解决该类问题 的程序 : 把其中的分式、根式转化为分数指数幂的形式 ;写出通 项并整理成 f(k) xg(k)的 形式 ; 由 g(k)=m,求 k f(k). 同 类 试题 : 1.(2015 年 天津 高考试题 )在 (的展开式中 , . 2.(2015 年 陕西 高考试题 )二项式 (x+1)n(n N+)的展开式中 , 15,则 n=( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 子题类型 :(2004 年 福建 高考试题 )已知 (展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数 ,则展开式中各项系数的和是 ( ) (A)28 (B)38 (C)1 或 38 (D)1或 28 解析 :由 =k 常数项 =120 a= 2 各项系数的和 =(1=1或 (C). 点评 :二项式 (a+b)n 展开式的通项公式 =另一基本应用是求常数项 ;解决该类问题应首先把其中的分式、根式转化为分数指数幂的形式 ,然后令通项公式中的变量的指数为零 ,求 k,再把 即得常数项 . 同 类 试题 : 3.(2011 年 山东 高考试题 )若 (展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为 . 4.(2007 年 安徽 高考试题 )若 (2x3+x1)则最小的正整数 n 等于 . 子题类型 :(1993 年 全国 高考试题 )由 ( 3 x+32 )100展开所得的 x 的多项式中 ,系数为有理数的项共有 ( ) (A)50 项 (B)17 项 (C)16 项 (D)15 项 解析 :由 =3 x)1002 )k=3 2100k 23k 数为有理数 2100 k与3非负整数 2且 3整 除 k 6整 除 k k=0,6,12, ,96,共 17 项 B). 点评 :有理 数项 问题特 指如下 两个类型问题 :二项式展开式中项的系数是有理数 该项系数中各因数的指数为整数 ;二项式展开式中的项为有理项 该项中各 字母 的指数为整数 . 同 类 试题 : 5.(2010 年湖北高考试题 )在 (x+43 y)20展开式中 ,系数为有理数的项共有 项 . 340 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 6.(2007 年辽宁 高考试题 )( x +41x)8展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 (用数字作 答 ). 7.(2014 年 大纲 高考试题 )(的展开式中 . 8.(2010 年 安徽 高考试题 )()6的展开式中 , . 9.(2015 年 湖南 高考试题 )已知 ( x 的展开式中 含 项 的系数 为 30.则 a=( ) (A) 3 (B)- 3 (C)6 (D)0.(2016年 山东 考试题 )若 (的展开式中 实数 a= . 11.(2011 年 安 徽 高考试题 )设 (1=a0+a 21 . 12.(2006 年 浙江 高考试题 )若多项式 x2+a0+a1(x+1)+ +a9(x+1)9+x+1)10,则 ) (A)9 (B)10 (C) (D)3.(2012 年浙江 高考试题 )若将函数 f(x)=f(x)=a0+x)+x)2+ +x)5,其中 a0,a1, ,则 . 14.(2008年全 国高中数学联赛陕西 初赛试题 )若 =a0+a1(a2(+ +a5(对任意实数 则 是 (用数字作答 ). 15.(2008 年重庆 高考试题 )若 (x+三项的系数成等差数列 ,则 展开式中 . 16.(2014 年 山 东 高考试题 )若 (的展开式中 0,则 a2+ . 17.(2016年 四 川 考试题 )设 则 (x+i)6的展开式中含 ) (A) (B)15 (C) (D)208.(2006 年 山东 高考试题 )已知 (143,其中 1,则展开式中常数项是 . 19.(2007 年全国 I 高考试题 )(常数项为 15,则 n=( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 20.(2006 年重庆 高考试题 )若 (3 x 系数之和为 64,则展开式的常数项为 . 21.(2007 年 四川 高考试题 )( 项为常数项 ,那么正整数 n 的值是 22.(2002 年 北京 春招 试题 )对于二项式 (x1+x3)n,四位同学作出了四种判断 : 存在 n N,展开式中有常数项 ; 对任意 n N,展开式中没有常数项 ; 对任意 n N,展开式中没有 x 的一次项 ; 存在 n N,展开式中有 x 的一次项 ,上述判断中正确的是 ( ) (A) 与 (B) 与 (C) 与 (D) 与 23.(2000 年 课程 高考试题 )二项式 ( 2 +3 x)50的展开式中系数为有理数的项共有 ( ) (A)6 项 (B)7 项 (C)8 项 (D)9 项 24.(2006 年湖北高考试题 )在 ( x +31x)24的展开式中 ,x 的幂的指数是整数的项共有 ( ) (A)3 项 (B)4 项 (C)5 项 (D)6 项 25.(2007年湖南高考试题 )在 (1+x)n(n N*)的二项展开式中 ,若只有 则 n=( ) (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 26.(2000 年 上海 高考试题 )在二项式 (1的展开式中 ,系数最小的项的系数为 (结果用数值表示 ). 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 341 27.(2006 年复旦 大学 保送生考试 试题 )在 (0的展开式中 ,系数最大的项是 ( ) (A)第 4、 6 项 (B)第 5、 6 项 (C)第 5、 7 项 (D)第 6、 7 项 28.(2010 年全 国高中数学联赛浙江 初赛试题 )若 x R+,则 (1+2x)15的二项式展开式中系数最大的项为 ( ) (A)第 8 项 (B)第 9 项 (C)第 8 项和第 9 项 (D)第 11 项 由 =41) 6 k=2 41)2=1615. 由 =5 n(30 n=B). 由 = a k 常数项 =0 a=4. 由 =x3)k=273 ;令 3 7k=6n 7|n 最小的正整数 n=7. 由 =3 y)k 系数 =(43 )因 0 k 20 k=0,4,8,12,16,20 共有 6 项 . 由 =8-k()k的 x 的幂的指数是整数 2|k 且 4|k 4|k k=0,4,8 5的系数 =9的系数 =系数之和 =84+2. 由 =xy)k 0. 由 ()6=(+y)6 =)6-k(y)k=y 323k ;令 6 k=2 5. 由 =a)25 k ;令225 k=23 k=1 a)=30 a=D). 由 =令 10 k=2 80 a=由 (1的通项公式 =1)k 2110=0. 令 x+1=t,则 x=入 x2+a0+a1(x+1)+ +a9(x+1)9+x+1)10得 (+(0=a0+ +t 0的 展开式中 D). 令 x+1=t,则 x=入 x5=a0+x)+x)2+ +x)5得 (=a0+ +的 展开式中0. 令 t,则 x=t+1,代入 =a0+a1(a2(+ +a5(得 (t+1)5+3(t+1)3+1=a0+a1+ +t +1)5+3(t+1)3+1 的 展开式中 3. 由 通项 =(21)(21)021)2(21)14+n=8 21)2. ( )由 (展开式 的通项 =-k(k 0 a2+2. 由 = 6 k=2 A). 由 通项 =(-i)52 (143 n=10 常数项 =(5. 由 =k=(-1)常数项为 (-1)中 2,设 n=3m,k=2m,由 (-1)5 5 m= 2 n=D). 由 2n=64 n=6 =6)k 常数项 =540. 由 =为常数项 n=8. 342 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 由 =x3)k= 正确 D). 由 =2 )503 x)|k 且 3|k 6|k k=0,6,12, ,48,共 9 项 D). 由 =24-k()k=212 的 2|k 6|k k=0,6,12,18,24,共 5项 ). 因 只有 且 n=2 5=C). 由 (1的展开 式 的 通项 =1)k,为使 系数最 小 k 为 奇 数