1_6354452_8.圆锥曲线上三角形面积最大(小)值问题的解法探究

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 圆锥曲线上三角形面积最大 (小 )值问题 的解法探究 圆锥曲线上三角形面积 最大 (小 )值 问题的基本解法 若点 A、 B 在曲线 G 上 ,点 P 是直线 的一点 ,关于 面积问题 ,称为圆锥曲线上的三角形面积问题 ;其中 ,求三角形面积的 最大 (小 )值 问题 是高考的热点 ,探究其解法十分必要 . 母题结构 :己知 点 A、 B 在曲线 G 上 ,点 P 是直线 的一点 ,探究 积 最大 (小 )值 的 方法 . 解 题 程序 : 首先要分析 三角形面积 是由哪个变量所控制 的 ,设出这个变量 ; 用该变量表示 三角形面积 ,从而得到 三角形面积 关于变量的函数 ;或借助于基本不等式 ,或借助于基本函数性质 ,或借助于导数工具求 最大 (小 )值 . 子题类型 :(2015 年 浙江 高考试题 )已知椭圆22x+ 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=1对称 .( )求实数 m 的取值范围 ; ( )求 积的最大值 (O 为坐标原点 ). 解析 :( )设 A(x1,B(x2,线段 (x0,直线 x=n,代入22x+得 ()=0 =4)(8()0, 21 =22m22n=222点 P 在直线 y=1上22221 n=2,代入 0 得 3 m (- , (36,+ ); ( )由 直线 x 轴交点纵坐标为 n S 1|n|21|n|2 )2(8 222 m 2 2 )2( 2222 m 均值不等式得 : )2( 222 2 )2( 222 22m S 2,当且仅当 n2=,即 m= 2 时 ,S 点评 :借助于基本不等 式 ,求三角形面积 的 最大 (小 )值 ,充分体现了不等式与解析几何的交汇 ,符合高考命题原则 . 本 函数 子题类型 :(2013 年浙江 高考试题 )如图 ,点 P(0,椭圆 22 (ab0)的一个顶点 ,2:x2+ 的直径 且互相垂直 的两条直线 ,其中 2于 A、 B 两点 ,1于另一点 D. ( )求椭圆 ( )求 积取 最大值时 ,直线 解析 :( )由 2a=4,b=1 椭圆 2x+; ( )设 A(x1,B(D(x0,直线 l1:y=点 O 到直线 d=112k |2 24 d =2134 22l1直线 l2:x+ky+k=0,代入 椭圆 (4+k2) 248 |224 18 积 S=21 | |224 348 ;设 34 2k =t,则 t 3 ,3442241 (t+ 213 ,当且仅当 t= 13 ,即 k= 210 时取等号 大值 =131316,此时 ,直线 l1:y=210点评 :二次函数与双曲函数 f(t)=at+小 )值性质 ,是解决三角形面积 的 最大 (小 )值问题的基本工具 . 子题类型 :(2014 年 浙江 高考试题 )已知 三个顶点在抛物线 C:y 上 , F 为抛物线 C 的焦 点 ,点 M 为 中点 ,3 ( )若 |3,求点 M 的坐标 ; ( )求 积的最大值 . 解析 :( )由 F(0,1),准线 :y= P(x0,则 |=3 P(2 2 ,2)或 P( ,2);由 3 M(2)或 M(322,32); ( )设 A(x1,B(x2,P(x0,直线 AB:y=kx+m,代入 y 得 : k2+m0,x1+k,4m M(2k,2m),|4 21 k 2 ;由 3 P( (=4(4 15m=4 )的离心率为23,F 是椭圆的焦点 ,直线 斜率为332,O 为坐标原点 . ( )求 E 的方程 ; ( )设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点 ,当 面积最大时 ,求 l 的方程 . 3.(2006年山东高考试题 )己知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 椭 圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形 ,两准线的距离为 4.( )求椭圆的方程 ; ( )直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、 B 两点 ,当三角形 积取得最大值时 ,求直线 l 的方程 . 4.(2014年山东高考试题 )已知抛物线 C:px(p0)的焦点为 F,上异于原点的任意一点 ,过点 ,交 x 轴的正半轴于点 D,且有 |当点 A 的横坐标为 3 时 , 正三角形 . ( )求 C 的方程 ; ( )若直线 l,且 有且只有一个公共点 E,(i)证明 :直线 定点 ,并求出定点坐标 ;( 面积是否存在最小值？若存在 ,请求出最小值 ;若不存在 ,请说明理由 . 5.(2012 年浙江 高考 文科 试题 )如图 ,在直角坐标系 ,点 P(1,21)到抛物线 C:px(p0) (t,1)是 C 上的定点 ,A,B 是 C 上的两动点 ,且线段 直线 分 . ( )求 p,t 的值 ; ( )求 积的最大值 . 6.(2012年浙江 高考 理科 试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)的离心率为21,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 的直线 相交于 A,B 两点 ,且线段 直线 分 . ( )求椭圆 C 的方程； ( )求 面积取最大时直线 l 的方程 . ( )由 e=22122, 6, 椭圆的标准方程 :162x+82y=1; ( )设 Q(t,0),P(x1,M(x,y)是 椭圆 上任意一点 ,则 |=(+1( P ( S= 21|2 2 220 )2(4 x 2 2 . ( )设 F(则32 c= 3 ,又3 a=2 b=1 E 的方程 :42x+; ( )当 l 故设直线 l:y=(x1,Q(x2,将 y=得 :(1+4k2)2=0 x1+241164112k | 21 k | 21 k 2241 344 ,又点 O 到直线 距离 d=212k 面积 S= 21|PQ|d=2241 344 ,设 34 2k =t(t0),则 S=442t t,当且仅当 t=2 k=27时 ,等号成立 直线 l:y=27( )设椭圆方程为 :12222 ab0).则 b=c,且 ,且 b=c=1,所以 ,椭圆方程为22x +; ( )设直线 l 的方程为 y=(不妨设 k 0),A(x1,B(x2,则由 022 222 (1+2k2)=0 | 2 21 k 2221 64 (|k|26)(0,0)到直线的 l:=0 距离 d=212kS 1|AB|d=22221 64 ,令 64 2k =t(t0) 1() S 2221 64 =422214211421 2 且仅当 t=2 2 ,即 k=214等号成立时 ,此时 ,直线 l 的方程为 :y=214x+2. ( )由 2|33+2p p=2 抛物线 C:x; ( )(i)设 A(a),E(t),则 直线 l1:ty=x+ l 直线 l:t1( D();由 | 1= 22 直线 AE:(点 F(1,0);( 直线 l:=入 )=0 | 21 t 4 222 由 点 E 到直线的 l 距离 d=22212 面积 S=21 |AB|d=2 222 t2+);由t2+ S 的最小值 =16. ( )由 2,1+2p=45 p=21,t=1; ( )设 A(x1,B(x2,线段 (由 x1,(y1+( 直线 AB:代入 y2= =4,y1+m,| 241 m 2 2;由 点 d=2241|221| 面积 S=21 |AB|d=|12;设 2=t,则 0t21,S=t(1设 f(t)= t(1则 f (t)=1t)=f(66)=96 积的最大值 =96. ( )由 e=1,(c+2)2+1=10 a=2,c=1 椭圆 C:42x+32y=1; ( )设 A(xA,B(xB,由 直线 OP:y=21x R(2t,t) 直线