1_6354479_12.柯西不等式在高考解答题中

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 柯西不等式在高考解答题中 高考中柯西不等式 的 问题 类型 高考对柯西不等式的考查有两种形式 :客观题或解答题 ,其中 ,解答题中柯西不等式的问题类型有 :单纯考查、与均值不等式结合考查、与绝对值不等式结合考查等 . 母题结构 :(柯西不等式的一般式 )当 ai,R(i=1,2, ,n)时 ,( + + ( +,等号当且仅 当 a1:b1=a2: =an: 母题 解 析 :当 + 时 ,不等式显然成立 ;当 +0 时 ,令 f(x)=( + + x+( +则 f(x)=(+(+ +( 0 恒成立 -2( +2-4( + ( + 0 ( + + ( +,等号当且仅当 f(x)=(+(+ + (=0,即 (i=1,2, ,n) a1:b1=a2: =an: 子题类型 :(2014 年浙江高考试题 )设正数 a,b,c 满 足 a+b+c,求证 :36,并给出等号成立条件 . 解析 :由 a+b+c (1+2+3)2=36,等号成立条件为a=2,b=3,c=1. 点评 :利用柯西不等式的关键是把已知条件转化为一边为几个式子的和 ,另一边为常数的形式 ,这也是解答本题的关键 ;直接单纯的利用柯西不等式证 明 不等式或 求最大 (小 )值 ,是 高考考查 柯西不等式的 方式之一 . 子题类型 :(2013 年课标 高考试题 )设 a,b,c 均为正数 ,且 a+b+c=1,证明 : ( )ab+bc+1; ( )1. 解析 :( )由 a2+2ab,b2+2bc,c2+2a2+b2+ab+bc+a2+b2+3(ab+bc+ (a+b +c)2 3(ab+bc+ 1 3(ab+bc+ ab+bc+1;、 ( )由a+b+c)( ( a b c =(a+b+c)2=1. 点评 :不等式 a2+b2+ab+bc+重要的 不等式 之一 ,具有记 忆 价值 ;高考中 柯西不等 式 与均值不等式的结合有两种方式 :一是并列式 ,即在同一条件下 ,分别解决不同问题 ;二是递进式 ,或两具有递进关系 ,或 联合 解决同 一 问题 . 子题类型 :(2015 年福建高考试题 )已知 a0,b0,c0,函数 f(x)=|x+a|+|c 的最小值为 4. ( )求 a+b+c 的值 ; ( )求411b2+ 解析 :( )由 f(x)=|x+a|+|c |(x+a)-(+c=a+b+c,当且仅当 x b 时等号成立 a+b+c=4; ( )由 a+b+c=4 (22+32+12)(411b2+ (a+b+c)2=16411b2+8,当且仅当21a:31b:c=2:3:1,即 a=78,b= 718,c=72时等号成立 411b2+点评 :柯西不等式 与 绝对值不等式 的 结合型试题是由教材中的知识结构和高考命题需 要 而延生出的独特试题 ,具有显着的试题结构 :第问 ,由绝对值不等式确定某参数 ,根据该参数构造第问的条件 ,并由 柯西不等式 可解第问 . 1.(2009 年浙江高考试题 )已知正数 x、 y、 z 满足 x+y+z=1. ( )求证 :31; ( )求 4x+4y+42z 的最小值 . 2.(2010 年浙江高考试题 )设正实数 a,b,c 满足 1 求最小值 . 3.(2011 年浙江高考试题 )设正数 x,y,z 满足 2x+2y+z=1. ( )求 3xy+yz+最大值 ; ( )证明 :3+1+126125. 4.(2012 年福建高考试题 )已知函数 f(x)=m-|m R,且 f(x+2) 0 的解集为 . ( )求 m 的值 ; ( )若 a,b,c R,且a1+m,求证 :a+2b+3c 9. 5.(2014 年福建高考试题 )已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|最小值为 a. ( )求 a 的值 ; ( )若 p,q,r 是正实数 ,且满足 p+q+r=a,求证 :p2+q2+3. 6.(2015 年 陕西 高考试题 )已知关于 x 的不等式 |x+a|b 的解集为 x|2x4. ( )求实数 a,b 的值 ; ( )求 12 最大值 . ( )由 3(=(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)( (x+y+z)2=131; ( )由 4x+4y+42z 33 24 =33 1 24 3 2 ,当且仅当 x=y=41,z=21时等号成立 4x+4y+42z 的最小值为 3 2 . 由 3(a+b+c)(=(a+2b)+(b+2c)+(c+2a)( (a+b+c)23 3 1,当且仅当 a=b=c=1 时等号成立 最小值 =1. ( )由 3xy+yz+xy+z(x+y)=3x+y)-2(x+y)243(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=x+5151,当且仅当 x= y=z=51时等号成立 3xy+yz+最大值 =51; ( )由 (5+51)(3+1+1)=3(1+(1+(1+(3+1+1) (3+1+1)23+1+ 126125. ( )由 f(x)=m-| f(x+2)=m-|x|,所以 ,f(x+2) 0 m-|x| 0 |x| m(m 0) m=1; ( )由a1+ a+2b+3c=(a+2b+3c)(a1+ (1+1+1)2=9. ( )由 f(x)=|x+1|+| |(x+1)-(=3,当且仅当 x 2 时等号成立 a=3; ( )由 p+q+r=3 (12+12+12)(p2+q2+ (p+q+r)2=9 p2+q2+3. ( )由