1_6354500_2.已知二次型条件,求二次型目标函数值域

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 已知二次型条件 ,求二次型目标函数值域 一类 二次型 目标函数值域 的 统一解 法 归纳一类试题的一般结构 ,构造该类试题的一般性问题 ,寻找一般性问题的易于掌握 ,便于操作的解题程序 ,是构造母题的基本方法 . 母题结构 :己知 实数 x,y 满足 :(D 0),求 解 题 程序 :作 F(x,y)= ()=(a+ A)b+ B)c+ C); 令 = (b+ B)2-4(a+ A)(c+ C)=0,求 ,得 F(x,y)=(a+ A)x+)(2 b y2;由 x+)(2 b y2 0,并选 择 的值 ,求F(x,y)的取值范围 . 子题类型 :(1993 年全 国高中数学联赛 试题 )实数 x,设 S=x2+S = . 解析 :作 F(x,y)=x2+y2=x2+ (4(1+4 )1+4 )令 =(2+4 )2=0 =- 32,戓 = =F(x,y)=+310 S=x2+10,当且仅当 x=y=315时 ,等号成立 10;当=F(x,y)=135(x+y)2+13101310,当且仅当 x=1345时 ,等号成立 310 1 =58. 点评 :母题应用有三步曲 :引入参数 ,构造函数 F(x,y);配成完全平方式 ,即令 =0求 ;由的值 ,解决问题 . 子题类型 :(2006年全 国高中数学联赛安徽 初赛试题 )若 x、 且 x2+xy+,则 . 解析 :作 F(x,y)= (x2+xy+(1+ ) -1)1+ )令 =( + )2=0 =戓 = = ,F(x,y)=32 (+1 1,当且仅当 x=y= 1 时 ,等号成立 F(x,y)的最小值 =1;当 =F(x,y)=-2(x+y)2+9 9,当且仅当 x= 3 时 ,等号成立 F(x,y)的最大值 =9. 点评 :由完全平方式等于 0时 ,要验证是否符合题目条件 ,即验证 F(x,y)是否能取得最大 (小 )值 . 应用 子题类型 :(2000 年 第 十一届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )第一试 试题 )x,y R,且 ,则当有序数对(x,y)为 时 ,|2x+3y|取得 最小值 . 解析 :作 F(x,y)=|2x+3y|2=(2x+3y)2+ (2(4+2 )2(1令 =144+2 )(1=0 =0,戓 = =0时 ,F(x,y)=(2x+3y)2 0,但等号不成立 ;当 =F(x,y)=2(x+3y)2+4 4 |2x+3y| 2,当且仅当 x= 2,y=32时 ,等号成立 当 (x,y)=(2,戓 (2)时 ,|2x+3y|取得 最小值 2. 点评 :利用母题 求目标函数 mx+可构造函数 F(x,y)=(mx+ (解决问题 . 1.(1992 年全 国高中数学联赛上海 初赛试题 )若 x,y R,且 3 xy,则 x2+ . 2.(1995 年第六届希望杯全 国数学邀请赛 (高二 )试题 )实数 x,y 满足 ,则 x2+ . 3.(1997年全 国高中数学联赛上海 初赛试题 )若 x、 且 xy,则 x2+_. 4.(2013 年浙江大学自主招生试 题 )若 (x,y R),求 x2+ 5.(1997年 莫斯科 大学招生试 题 )已知 ,求表达式 最小值 . 6.(2008年全 国高中数学联赛天津 初赛试题 )已知 a、 且 a2+ab+.若 m,最小值是 n,求 m+ 7.(2010 年全 国高中数学联赛河南 初赛试题 )已知实数 a,b 满足 a2+ab+,且 t= t 的最大值和最小值 的积为 . 8.(2009 年 第 二 十 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 一 )试题 )若 2,则 x+2y 的取值范围 是 ( ) (A) (B)() (C)- 13 , 13 (D)(- 13 , 13 ) 作 F(x,y)=x2+y2=x2+ ( 3 xy(1+ ) 3 1令 =12 2+ )(1=0 = 21;当 =21时 ,F(x,y)=21( 3 x+y)2等号不成立 ;当 =F(x,y)=21( y)2+2323,当且仅当 x= 3 y= 423 时 ,等号成立 x2+作 F(x,y)=x2+y2=x2+ (1+ )1+ )令 =9 2+ )2=0 =2,戓 = =2时 ,F(x,y)=3(等号不成立 ;当 =F(x,y)=53(x+y)2+5454 x2+54,+ ). 作 F(x,y)=x2+y2=x2+ (xy(1+ ) 1令 =4 2)=0 =22;当 =- 22时 ,F(x,y)=21( 22 2 y)2+227 x2+作 F(x,y)=x2+y2=x2+ (xy(1+ ) 1令 =4 2)=0 =22;当 =- 22时 ,F(x,y)=21( 22 2 y)2+227 x2+作 F(x,y)=y2= (1+ )2+2 )令 = 2+ )2=0 =7 228;当 =7 228时 ,F(x,y)=21(x+ 2 y)2+7 2287 228;当 =7 228时 ,F(x,y)=7 221( y)2+7 2287 228 7 228,最小值 =7 228. 作 F(a,b)= (a2+ab+(1+ ) -1)1+ )令 =( + )2=0 = =F(a,b)=32(+1 1;当 = ,F(a,b)=-2(a+b)2+9 9 m+n=10. 作 F(a,b)= (a2+ab+( -1) +1) -1)令 =( +1)2 =0 =31,戓 =3;当 =31时 ,F(a,b)= =3