1_6354546_5.椭圆两垂直半径的性质

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 圆锥曲线两垂直半径的性质 圆锥曲线上两点 P、 Q 满足 母题 椭圆 C:2222 =1(ab0)上两点 A、 B 满足 直线 过定点 M(22 0),由此生成一列高考试题 ,为此 ,我们构成母题如下 ,并着意关注由母题生成子题的方向 . 母题结构 :直线 l 与椭圆 C:2222 =1(ab0)相交于 A、 B 两点 ,直线 l 于点 H,则 价于 : 原点 O 到直线 距离 d=22 直线 l 与 圆 x2+222ba 切于 点 H;22 | 1| 1 =22 11 . 母题 解 析 :设 A(x1,B(x2,直线 AB:r,代入2222 =1得 :(0 x1+ 22222ba , 222222222 (=x1+x2)+ 22222222222s co ba ;由 0 (+( =0 r=22 原点 O 到直线 距离 d=22 直线 l 与 圆 x2+222ba 切于 点 H;22 | 1| 1 =22 11 22 | 1| 1 =2| 1子题类型 :(1991 年全国高考试题 )己知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴 上 ,直线 y=x+1 与该椭圆相交于 ,且 210,求椭圆的方程 . 分析 :设椭圆方程的标准形式 ,然后与直线方程联立消去 y,得到两根之和、两根之积的关系式 ,再由 巳知条件 得 关于a,b 的方程组 ,求 a,b 的值 . 解析 :设 P(x1,Q(x2,椭圆 C:2222=1(a b),把 y=x+1 代入2222=1 得 :(a2+b2) x1+a,2222ba )()=22222ba ,| 211 2222 12ba = 2 2222 12ba ;由 0 22222ba +22222ba =0 a2+ 由 |210 22222 12ba =210 22 =25 a2+5,2;或 2, 椭圆的方程 为 ,或 3x2+. 点评 :设 :2222=1(ab0)长轴上的一个动点 ,过 、 若 | 21 k )(222222424 的值仅依赖于 无关 . 子题类型 :(2009 年山东高考 理科 试题 )设椭圆 E:2222x =1(a,b0)过 M(2, 2 )、 N( 6 ,1)两点 , ( )求椭圆 E 的方程 ; ( )是否存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A、 B,且 若存在 ,写出该圆的方程 ,并求 |取值范围 ;若不存在 ,请说明理由 . 分析 :第 ( )问是常规问题 ,第 ( )问与圆的 切线 有关 ,是母题的直接子题 ,求 |取值范围 ,可用上题点评中给出的弦长公式 . 解析 :( )将两点 M(2, 2 )、 N( 6 ,1)的坐标代入椭圆 E:2222x =1 得 : 4822椭圆 E: 48x 22 y =1; ( )设 A(x1,B(x2,直线 AB:r,代入48x 22 y=1 得 :(220 x1+ 22 r, 2222r (= 222222r;由 =0 |r|=362 原点 d=362 存在圆 x2+8满足题目 条件 ;设 A(, B(00+ ),00+ )=B(,则 (2+2(2=8,(2+2(2=8 , 2 |=2=1+12 =8262 332,12 | 364,23 . 点评 :通过 “椭圆 C:2222 =1(ab0)上两点 A、 B 满足 充要条件是直线 圆 O:x2+222ba 切” ,可以构造 :已知椭圆 A 圆 O;已知 圆 O,求椭圆 C. 特殊 问题 子题类型 :(2008 年课标高考试题 )在直角坐标系 椭圆 22(ab0)的左、右焦点分别为 2也是抛物线 C2:x 的焦点 ,点 M 为 2在第一象限的交点 ,且 |35. ( )求 ( )平面上的点 N 满足 1 2直线 l 与 、 B 两点 ,若 0,求直线 l 的方程 . 分析 :第 ( )问是常规问题 ,第 ( )问 是母 题的逆向问 解析 :( )由抛 物线 C2:x ,0) a2=;设 M(x0,由 M 在 |=35 2 M(32,362),代入222294a+238b=1 4444()=9() 2x+32y=1; ( )由 1 2 四边形 直线 l l 6 直线 l:y= 6 (代入椭圆方程得 :9;设 A(x1,B(x2,则 x1+16m, 48 2m;由 0 (0 m= 2 直线 l:y= 6 ( ),或 y= 6 (x+ 2 ). 点评 :通过 “椭圆 C:2222 =1(ab0)上两 点 A、 A 充要条件是点 d=22 ,可以构造 : 限定直线 定点 ,求直线 斜率 ; 限定直线 求直线 程 . 1.(2014 年全国高中数学联赛 天津 预赛试 题 )设 A,B 是椭圆22x+ 上的两动点 ,O 为坐标原点 ,且 设点 P 在直线上 ,且 |值 . 2.(2010 年全国高中数学联赛内蒙古 预赛试 题 )设 A,B 是椭圆 上的两动点 ,且 为坐标原点 ,求 |最大值和最小值 . 3.(2009 年全 国高中数学联赛 试题 )椭圆2222=1(ab0)上任意两点 P,Q,若 乘积 |最小值为 . 4.(2012年全国高中数学联赛浙江 预赛试 题 )设 62y=1长轴上的一个动点 ,过 、B 两点 +|的值仅依赖于 k 而与 P 无关 ,求 k 的值 . 5.(2009 年山东高考 文科 试题 )设 m R,在平面直角坐标系中 ,己知向量 a=(mx,y+1),向量 b=(x,a b,动点 M(x,y)的轨迹为 E. ( )求轨迹 并说明该方程所表示曲线的形状 ; ( )己知 m=41,证明存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A、 B,且 为坐标原点 ),并求该圆的方程 ; ( )己知 m=41,设直线 l 与圆 C:x2+2(1b0)的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点 ,原点 O 到直线 ( )证明 :a= 2 b; ( )(理 )设 原点 O 作直线 D,垂足为 D,求点 D 的轨迹方程 ; (文 )求 t (0,b)使得下述命题成立 :设 圆 x2+y2=意点 M(x0,的切线交椭圆于 则 7.(2010 年陕西 高考试题 )如图 ,椭圆 C:2222 =1 的顶点为 2,2,焦点为 2, | 7 ,2211 22211 ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设 n 是过原点的直线 ,l 是与 n 垂 直相交于 P 点、与椭圆相交于 A,B 两点的直线 , |=1,是否存在上述直线 l 使 1 成立？若存在 ,求出直线 l 的方程 ;若不存在 ,请说明理由 . 8.(2014 年全国高中数学联赛 河北 预赛试 题 )已知 焦点在 x 轴上的 椭圆 E:82x+22 內含圆 C:x2+8,圆 C 的切线与 椭圆 E 交于点 A,B,满足 ( )求 ; ( )求 |取值范围 . 9.(2004 年天津高考试题 )椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0)(c0)的准线 l 与 x 轴 相交于点A,|2|过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 Q 两点 . ( )求椭圆的方程和离心率 ; ( )若 =0,求直线 方程 ; ( )设 1),过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明 Q . 10.(2008 年辽宁高考试题 )在直角坐标系 ,点 P 到两点 (0,- 3 )、 (0, 3 )的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y=与 C 交于 A、 B 两点 . ( )写出 C 的方程 ; ( )若 求 k 的值 ; ( )若点 A 在第一象限 ,证明 :当 k0 时 ,恒有 |. |22 36. 设 A(,B(00+ ),00+ )=B(,则 (2+5(2=1,(2+5(2=1 2,2 |=2=2+2=2 2 96,56. 设 P( Q(00+ ),00+ )=Q( 222 )=1,2 22=1 1=(2222 )(2222 )=(2211(21 (2211(211b)2=(442224 )( ba 2222ba 设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=k(由 04002516 )(22 yx (16+25k2)5 x1+2251650 222516 40025 2 |