14_5042175_23.正方体的模型功能之内置多面体

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 正方体的模型功能之内置多面体 模型解题法之 二 我们把正方体中 的部分几何体为正方体的內置多面体 ;构造正方体的 内 置多面体 ,并以此模型为基础 ,设计有关问题 ,是 高考命题的常用方法 ;解答该类问题的关键是 掌握正方体中常见 的內置多面体 . 母题结构 :在正方体 ( )设计 四面体 方体 ( )寻找构造 正方体的 内 置多面体 . 母题 解 析 :( ) 四面体 A、 且长度 相等 ; 四面体 A、 且 若 中点为 E,两垂直 ,C= 00;若 、 F, 正三角形 ; ( )若 中点为 E,四 棱 锥 若 正方体 中 心为 O,则正四 棱 锥 若 正方体为 O,多面体 若 ,四 棱 锥 面体 子题类型 :(2006 年全国高考试题 )如图 , 面直线 ,它们的公垂线段 、 B在 C在 M=MN=a. ( )证明 :( )若 00,求 平面 成角的余弦值 . 解析 :( )由 M=MN=a 由 N 平面 平面 ( )由 M=B B;又由 00 正三角形 ,把几何图 形放置到正方 体中 ,如图 ,则 面 平面 成角 与 余 平面 成角的余弦值 =2=36. 点评 :正方体 是高考命题的 重要载体 ,设计 一角四面体 蔽条件 是 构造该 四面 体 的关键 ,也 是 构造创新型试题的一个主要方法 . 子题类型 :(2010 年安徽 高考 理科 试题 )如图 ,在多面体 ,四边形 正方形 , F B=2 00,C,C 的中点 . ( )求证 :面 ( )求证 :面 ( )求二面角 大小 . 解析 :把 多面体 置到正方体中 ,如图 ,设 D 的交点为 O; 由 ,B 行且等于 平面 面 ( )由 C, B 面 面 因 面 ( )由 面 F平面 二面角 大小 为锐角 二面角 大小 =直线 成角 =3. 点评 :构造 正方体 的 内置多面体 是高考命 制立体几何载体 的 重要方法 ,以 正方体 的 顶点、各棱中点、各面中心和 正方体 的 中心中的部分点为顶点 ,可以构造出许多几何体 ,也是 构造 正方体 的 内置多面体 的主要方法 . 解题功能 子题类型 :(2005 年福建高考试题 )如图 ,在直二面角 ,四 边形 边长为 2 的正方形 ,B,F 为 的点 ,且 面 () 求证 :面 ( )求二面角 大小 ; ( )求点 D 到平面 距离 . 解析 :() 由 面 直二面角 面 面 面 几何图形放置到正方 体中 ,如图 ; ( )由 面 面 二面角 二面角 3; ( )点 点 直线 正方形 到平面O 到直线 距离 =332. 点评 :把 正方体 的 内置多面体 放置到 正方体 中 ,依托 正方体 模型解题功能有 :可以直观衬托出几何体的基 本 结构 ;可以扩大丰富了解题空间 ;可以充分利用 正方体 的 相关结论 . 1.(2008 年北京高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,C=2, 00,P=C ( )求证 :( )求二面角 大小 ; ( )求点 C 到平面 距离 . 2.(2005 年辽宁高考试题 )已知三棱锥 ,E、 F 分别是 中点 , 是正三角形 ,( )证明 :面 ( )求二面角 平面角的余弦值 ; ( )若点 P、 A、 B、 C 在一个表面积为 12的球面上 ,求 ( )由 球的表面积为 12 球的 半径 R= 3 B= 边长 =2 2 . 3.(2008 年 江西 高考试题 )如图 ,正三棱锥 0三条侧棱 两垂直 , 且长度均为 F 分别是 中点 ,F 的中点 ,过 平面与侧棱 其延长线分别相交于 知 3. ( )求证 :平面 ( )求二面角 4.(2010年 安徽 高考 文科 试题 )如图 ,在多面体 四边形 ,B,B,0 0, 为 中点 . () 求证 :平面 ( )求证 :平面 ( )求四面体 体积 ; 5.(2007 年 浙江 高考试题 )在如图所示的几何体中 ,平面 B 平面 C 且 C= 是 中点 . ( )求证 :( )求 平面 成的角 . 6.(2010 年天津高考试题 )如图 ,在五面体 ,四边形 正方形 ,面 C , 2 , 50. ( )求异面直线 F 所成角的余弦值 ; ( )证明 :面 ( )求二面角 正切值 . 由 C=2, 00 2 P= 2 ,又由 ,在 , , 2 可放置到正方体中 ,且正方体的棱长为 2;( )由 C 面 )由 面 Q平面 二面角 余弦值 = 3;( )由点 C 到平面 距离 =3132. () 由 E、 F 分别是 中点 1 1F= 21A B;由 B B= 00 面 ( )由 平面 Q 平面 二面角 平面角的余弦值 =3; () 由 E、 F 分别是 中点 平面 F 的 中点 H 平面 平面 ( )分别 以直线 B,别为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,由 3 3 平面 m=(2,1,1),又 平面 n=(0,0,1) 6. 把 多面体 置到正方 体中 ,如图 ,设 D 的交点为 O; () 由 ,B 行且等于 平面 面 ( )由 C,H 为 中点 B 面 面 因 面 ( )由 四面体 B 高为 2 , 面积 =212 四面体 B 体积 =3122 2 =31. () 把 几何体 放置到正方 体中 ,如图 ,由 平面 由 C, M 是 中点 平面 ( )作 ,由 平面 平面 平面 成的角 ,不妨设 ,则 C= 2 ,5 ,3 ,6 , 2 ,