14_5042176_22.正方体的模型功能之内接多面体

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 正方体的模型功能之内接多面体 模型 解题法 之 一 正方体是立体几何中最基本、最规范的几何图形 ,它不仅具有丰富的内含 ,更重要的是它具有 强大 的模型功能 ;若将一个几何体 放置到正方体中 后 ,至少有四面与 正方体 的 面重合 ,我们称这样的 几何体为 正方体的 內接多面体 ;构造 正方体的內接多面体 ,并由此设计问题是高考的常用命题手段 效方法 是 把 多面体 还原成正方体 ,依托 正方体 模型 可更直观呈现其中的位置关系 ,达到顺利解题的目 的 . 母题结构 :在正方体 ( )求证 : 平面 平面 )若 、 F,求证 :平面 解 题 程序 :( ) 由 平面 由 平面 由 平面 理可证 :平面 ( )由 平面 由 、 F 平面 子题类型 :(2002 年 课程 高考试题 )如图 ,正方形 边长都是 1,而且平面 相垂直 在 移动 ,点 N 在 移动 ,若 N=a(0a 2 ). ( )求 长 ; ( )a 为何值时 ,长最小 ; ( )当 长最小时 ,求面 面 成二面角 的大小 . 解析 :把几何图形放置到正方体 如图 ,作 ,则 50,Q; ( )由 N=a Q=22a Q= 22 =22 )22()221( =21)22( 2 a(0a 2 ); ( )由 1)22( 2 a 当 a= 22 时 ,长最小 = 22 ; ( )当 长最小时 ,M、 N 分别为 中点 面 U平面 面 面 成二面角 与直线 夹角互补 ;在长方形 ,直线 角的余弦值 =31 点评 :若正方形 在平面互相垂直 ,则此几何体可放置到正方体中 ;其中 ,第 ( )问中 寻找平面的法线 (与平面垂 直 的直线称为平面的法线 )解决问 题 的思想值得领悟掌握 . 的四棱台 子题类型 :(2007 年 安徽 高考试题 )如图 ,在六面体 ,四边形 边长为 2 的正方形 ,四边形 的正方形 ,平面 平面 . ( )求证 :C 共面 ,D 共面 ; ( )求证 :平面 平面 ( )求二面角 大小 (用反三角函数值 表 示 ). 解析 :把 六面体 如图 ,设 E,F,M,N 分别为 D,R 的中点 ,O 为 交点 ; ( )由 平面 平面 平面 平面 E 行且等于理可得 :1F 同理可 证 : ( )由 平面 由 平面 平面 ( )由 平面 由 平面 理可 证 :平面 二面角 与直线 N 的夹角互补 ;由 N= 5 , 2 51. 点评 :若四棱台 底面分别是边长为 a,且 面 该四棱台 可放置到正方体中 ;其中 ,第 ( )问 仍可以通过寻找平面的法线解决 ,而 这只有在 正方体中 才能做到 . 子题类型 :(2009 年福建高考试题 )如图 ,边形 边长为 1 的正方形 ,平面 B平面 B =1,E 为 中点 . ( )求异面直线 M 所成角的余弦值 ; ( )在线段 是否存在点 S,使得 面 存在 ,求线段 长 ; 若不存在 ,请说明理由 . 解析 :把几何图形放置到正方体中 ,如图 :( )过点 A 作 点 P,则 异面直线 成角 ,且 1 3,5,2 010; ( )由 面 当 S 是 ,由 面 时 ,2. 点评 :选取取正方体的部分构造几何体 ,并把应满足正方体的部分条件隐蔽于其它条件中 ,是高考构造正方体内接几何体的常用方法 使得题中的几何体可以放置到正方体中 . 1.(2015 年 安徽 高考试题 )如图所示 ,在多面体 ,四边形 为正方形 , E 为 过 ,E 的平面交 . ( )证明 : 1C; ( )求二面角 2.(2009 年 辽宁 高考试题 )如图 ,已 知两个正方 形 M,N 分别为 中点 . ( )若平面 面 直线 平面 成角的正值弦 ; ( )用反证法证明 :直线 两条异面直线 . 3.(2004 年 天津 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面 正方形 ,侧棱 面 C,E 是 中点 . ( )证明 :面 ( )求 底面 成的角的正切值 . 4.(2009 年 四川 高考试题 )如图 ,正方形 在平面与平面四边形 在平面互相垂直 , 等腰直角三角形 , E,E, 50. ( )求证 :面 ( )设线段 中点为 P,在直线 是否存在一点 M,使得 平面 存在 ,请指出点 M 的位置 ,并证明你的结论 ;若不存在 ,请说明理由 ; ( )求二面角 大小 . 5.(2015 年 湖南 高考试题 )如图 ,已知四棱台 底面分别是边长为 3 和 6的 正方形 ,且 底面 P,Q 分别在棱 C 上 . ( )若 P 是 证明 :( )若 平面 面角 余弦 值为73,求四面体 体积 . 6.(2010 年山东高考试题 )在如图所示的几何体中 ,四边形 正方形 ,平面 D E、 G、 F 分别为 中点 ,且 D=2( )求证 :平面 面 ( )求三棱锥 四棱锥 体积之比 . ( )把几何图形放置到正方体中 ,如图 ,由 平面 1C; ( )设 1C 的中点分别为 O,G,则 O 二面角 二面角 平 面角 ;不妨设正方体的边长为 2,则 ,6 6. ( )把几何图 形放置到正方体中 ,如图 ,作 ,则 直线 平面 成角 ; 不妨设 正方 形 边长为 2,则 H=1 6 6; ( )假设直线 ,由 面 面 N,矛盾 . ( )把 四棱锥 置到正方体中 ,如图 ,设 O 为 D 的交点 ,则 平面 A 平面 面 ( )作 ,则 直线 底面 成角 ,且 H 是 中点 ,不 妨设 C =2,则 ,5 5. ( )把几何图形放置到正方体中 ,如图 ,由 平面 平面 平 面 由 50, 50 面 ( )当 M 是 中点 时 ,取 ,则 1 C 平面 ( )作 H,不妨设 正方 形 边长为 2,则 , 2 ,6 ,10 11 二面角 弦值 =11113. ( )把 四棱台 如图 ,取 ,则 底面 面 面 由 面 面 ( )由 平面 ,则 Q,设 Q=t,则 t, t 5 t,362t