15_6424896_51.双曲线渐近线合成方程的解题功能

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 双曲线渐近线 合成方程的解题功能 两直线 y= 的 解题功能 双曲线 C:22(a0,b0)的两条渐近线 :y=以合成二次曲线 :(,即 ,一般地 ,由 直线 l1:y=线 l2:y=以合成二次曲线 ,由此可 避免求与 直 线 点 ,从而可 简便地解决与直 线 l1、类高考试 题 . 母题结构 :( )己知 直线 曲线 C:22(a0,b0)有且仅有一个 交点 ,且分别交两渐 近线于 M,N,0 为坐标原点 ,则 : 面积 S=( )过 双曲线 2(ab0)上一点 P 向 椭圆 22 作两条切线 点分别为 A、 B,直线 别交 双曲线 渐近线于 M、 N,0 为坐标原点 ,则 : 面积 S=( )己知 直线 圆 C:222(ab0)有且仅有一个 交点 ,且分别交 直线 l1:,l2:bx+于 M,N,0为坐标原点 ,则 : 面积 S 的最小值为 母题 解 析 :( )设 M(x1,N(x2,直线 l:x=ty+m,代入 双曲线 C 的方程得 :(;由 直线 曲线 C 有且仅有一个 交点 (2-4(0 m2= x=ty+m 代入 双曲线 C 的渐近线方程得 :( y1+y2=由 m)(m)=tm(m2=m2= 由 |2222m =|2 直线 l与 (m,0) =21|m|( )设 P(x0,A(x1,B(x2,M(x3,N(x4,则 椭圆 处的切线 PA: 点 A 在直线 l:同理可得 :点 B 也在直线 l 上 直线 直线 l:入 双曲线 C 的渐近线方程 得 :( x3+x0,20442044x3+2024 由 |2 220 = 又 直线 l 与 y 轴交于点 T(0,02 面积 S=21|ba|02( )当 直线 直线 l:y= b M( a, b),N( a, b) = 直线 设 直线l:x=ty+m,代入 椭圆 C 的方程得 :(a2);由 直线 l 与 椭圆 C 有且仅有一个 交点 (2-4(0 a2= x=ty+m 代入 由 直线 曲线 : 得 :( y1+2222222222 | |2 222 又 直线 l与 (m,0) =21| | 2222| )( 222222 且仅当 t=0 时 ,等号成立 ) 面积 S 的最小值为 子题类型 :(2012 年 浙 江 高考试题 )如图 ,2分别是双曲线 C:22(a,b0) 的左、右焦点 ,B 是虚轴的端点 ,直线 C 的两条渐近线分别 交于 P,Q 两点 ,线段 垂直平分线与 x 轴交与点 M,若 |则 C 的离心率是 ( ) (A)332(B)26(C) 2 (D) 3 解析 :设 P(x1,Q(x2,由 直线 cx+,代入 渐近线 :22得 : x1+22y1+cb(x1+c)=22 线段 bc( M(22c,0) |22由 |22c e=B). 点评 :凡某直线 l1:y=l2:y=都可先把这两直线 程合成 二次曲线 ,然后 ,把 直线 入 ,由此 ,解决问 题 . 子题类型 :(2010 年 重庆 高考 理科 试题 )已知以原点 F( 5 ,0)为右焦点的双曲线 C 的离心率 e=25. ( )求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 ; ( )如图 ,已知过点 M(x1,直线 l1: 与过点 N(x2,其中 直线 l2:4 的交点 E 在双曲线 C 上 ,直线 两条渐近线分别交与 G、 H 两点 ,求 面积 . 解析 :( )设 双曲线 C:22(a,b0),由 a2+,e=22125 a=2,b=1 双曲线 C: 42 渐近线方程 :42,即 y=21x; ( )设 G(x3,H(x4,E(x0,则 ,且 点 M(x1,直 线 l: 上 ,同理可得 点 N 也 在直 线 l 上 直线 直 线 l:,代入 得 :(4=0 y3+2y0,1 |2 120y=|又 直线 (04x ,0) 面积 =21 | | 20x |2. 点评 :直线方程合成 二次曲线方法的应用典例是解决某条直线与双曲线的两条渐近线分别相交 的问题 ,由该方法易得母题中的 两种情况下的二个定值 ,本题是第二 种情况 面积 定值的 特例 . 子题类型 :(2015 年 湖北 高考 理 科 试题 )一种作图工具如图 1 所示 滑槽 中点 ,短杆 绕 O 转动 ,长杆过 N 处铰链与 接 ,的栓子 D 可沿滑槽 动 ,且N=1,在滑槽 带动 转动一周(D 不动时 ,N 也不动 ),M 处的笔尖画出的曲线记为 O 为原点 ,在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 . ( )求曲线 C 的方程 ; ( )设动直线 l 与两定直线 l1: 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点 . 若直线 l 总与曲线 C 有且只 有一个公共点 ,试探究 : 面积是否 存在最小值？若 存在 ,求出该最小值 ;若不存在 ,说明理由 . 解析 :( )设 D(t,0)(|t| 2),N(x0,M(x,y),由 2且 |=|=1 ( (+, ( t( 0 ( t=2x,2y,代入 得 曲线 C:162x+42y=1; ( )设 P(x1,Q(x2,直线 l:x=ty+m,代入 6得 :();因为直线 有且只有一个公共点 (2-4()(0 46= x=ty+m 代入 由 直线 l1: 和 l2:x+2y=0 合成 的 曲线 : 得 :() y1+422t tm,22|4| |42t m 面积 S=21 |m|4| 222t m=|4| )4(8 22 当|t|2 时 ,S=8(1+482t)8; 当 |t|S 8(当 t=0 时 ,等号成立 ) . 点评 :本题是类比双曲 线 渐近线的面积 定值 而得 ,也是 2010年 重庆 高考试题 的变式 ,由此可知本题 的来源和背景 ,当然 ,本题也是母题 ( )的特例 . 1.(2014年 浙 江 高考试题 )设直线 m=0(m 0)与双曲线22(ab0)两条渐近线分别交于点 A,B,若点 P(m,0)满足 |则该双曲线的离心率是 . 2.(2008 年 全国 高考试题 )双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上 ,两条渐近线分别为 l1,过右焦点 F 垂直于 l1,B 两点 、 |、 |成等差数列 ,且 向 . ( )求双 曲线的离心率 ; ( )设 双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程 . 3.(2014 年 福建 高考试题 )已知双曲线 E:22(a,b0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=( )求双曲线 E 的离心率 ; ( )如图 ,O 为坐标原点 ,动直线 l 分别交直线 l1,B 两点 (A,B 分别在第一、第四象限 ), 且 面积恒为 8,试探究 :是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在 , 求出双 曲线 E 的方程 ;若不存在 ,说明理由 . 4.(2010年 重庆 高考 文科 试题 )已知以原点 F( 5 ,0)为右焦点的双曲线 e=25. ( )求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 ; ( )如图 ,已知过点 M(x1,直线 l1: 与过点 N(x2,其中 直线 l2: 的交点 E 在双曲线 C 上 ,直线 两条渐近线分别交与 G、 求 值 . 设 A(x1,B(x2,将 m=0 代入 渐近线 : 得 :(9 y1+2296 ab x1+3(y1+2m=22292 ab 中点 H(2229 ab 22293 ab ;又由 | 3 e=25. ( )设 双曲线 G:22(a,b0),则 渐近线 l1:bx+ F(c,0)到直线 离 |b |a;由 直线 AB:y=ba(代入 渐近线 :得 :( ( |221| 2 2222=| 2 222ba 由 |+|= 2|,且 |2+|2=|2 3|=4| 3| 2 222ba 4a 3|由 baab) 32a=2b 双曲线的离心率 e=22125; ( )设 直线 曲线 (x1,D(x2,由 ( )知 双曲线 G:线 AB:y=2( b),代入 15 4 | 221 1554 b=34b=4 b=3 a=6 双曲线 G:362. ( )由 双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y= 双曲线 E 的离心率 e=221 5 ; ( )由 ( )知 ,双曲线 E:4直线 l 与 x 轴相交于点 C(x0,当 l x 轴时 ,若直线 l:x=a 双曲线 此时 ,|a,|4a;由 2 a=2 双曲线 E:46;以下证明 :当直线 l 不与 x 轴垂直时 ,双曲线 E:46 也满足条件 :设 A(x1,B(x2,直 线 l:y=kx+m,代入 46 得 :(4 =4(46)=0 6=4将 y=kx+m 代入 4 得 :(4,即 m=0 x1+ | 21 k | 21 k |4422m = 21 k |16m;又点 0 到直线 距离 d=21| 面积 =21 |AB|