15_6424907_52.圆锥曲线内接直角三角形的性质

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 圆锥曲线 内接 直角三角形 的性质 圆锥曲线 的 弦过定点的母题 由圆内接直角三角形的斜边恒过定点 (圆心 ),可类比猜 测 圆锥曲线内接直角三角形的斜边恒过定点 ;利用构造 二 次 齐次方程 的方法易证 猜 测 正确 ,该 猜 测 是生成一类高考试题的母题 . 母题结构 :过圆锥曲线 G 上任意一点 P(x0,两条互相垂直的直线 别交圆锥曲线于 A、 B 两点 ,求证 :直线 当 曲线 :px(p0)时 ,直线 点 M(p, 当 曲线 圆 G:222(ab 0)时 ,直线 过 定 点 M(2222ba 2222ba 当 曲线 G 是 双曲线 G:22(a0,b0)时 ,直线 过 定 点 M(2222ba 2222ba 母题 解 析 :仅证 :设 直线 AB:y=kx+m,则 k(m+1=00 00)()( ; 由222,22020 b2(+a2(=2 b2(+a2(=2( b2(+a2(=-2 b2(+a2(+00022 (k(+00022 (-k(=0 a2(m+00 )2+2(0 +b2(0;由 k=20 00 =m=直线 AB:y=k(2222ba 直线 过 定 点 M(2222ba 2222ba 同理可证 . 子题类型 :(2005 年山东高考试题 )己知动圆过定点 (2p,0),且与直线 x=其中 p0. ( )求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; ( )设 A、 B 是轨迹 C 上异于原 点 O 的两个不同点 ,直线 倾斜角分别为和 ,当、变化且 +为定值(00); ( )设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=kx+m,则 1122由 + )= (11122(122又由 y=kx+m与 px( m(2 11221122 (1- m=2 直线 AB:y=k(x+2p)+2恒过定点 (. 0)x=评 :对 于抛物线 G:px(p0)上的定点 P(x0,两动点 A,B,当 时 ,直线 定点 M(当 ( 0)时 ,直线 定点 M(2y, 子题类型 :(2007年山东高考试题 )己知椭圆 心在 原点 ,焦点在 椭圆 小值为 1.( )求椭圆 C 的标准方程 ; ( )若直线 l:y=kx+m 与椭圆 、 B 两点 (A、 B 不是左右顶点 ),且以 直径的圆过椭圆 C 的右顶点 直线l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . 解析 :( )设 椭圆 C:222(ab0),则 a+c=3, a=2,c=1 椭圆 C:42x+32y=1; ( )由 右顶点 N(2,0),直线 l:y=kx+m y=k(m+2k 1=km )2( ;椭圆 C:32 3(+42(0 3(+42(km )2( =0 4(2+122xy+km 63 =0;由 以 的右顶点 N 1)2(4 63 km =m=直线 l:y=k(定点 (72,0). 点评 :对于椭圆 G:222(ab0)上的定点 P(x0,两动点 A,B,当 (22 ,直线 定点 M(2222ba 2222ba 当 ( 0)时 ,直线 定点 M(2y,222 接直角三角形 子题类型 :(2009 年全 国高中数学联赛 陕西 初赛 试题 )如图 ,已知两点 A(- 5 ,0), B( 5 ,0), 内切圆的圆心在直线 x=2 上移动 . ( )求点 C 的轨迹方程 ; ( )过点 M(2,0)作两条射线 ,分别交 ( )中所求轨迹于 P,且 0,求证 :直线 过定点 . 解析 :( )如图 ,设 切圆分别在 C,的切点为 G,F,E,由切线长定理知 ,|=| |42); ( )设 P(x1,Q(x2,直线 PQ:y=k(m(m 0) 11xy,22=2( ;由 (4(0 (2( =0 4(2021122xy= 02112211 m=直线 PQ:y=k(定点 (310,0). 点评 :对于 双曲线 G:22(a0,b0)上的定点 P(x0,两动点 A,B,当 (22 ,直线 M(2222ba 2222ba 当 ( 0)时 ,直线 定点 M(2y,222 1.(2005 年 山东 高考 文科 试题 )己知动圆过定点 (2p,0),且与直线 x=其中 p0. ( )求动圆圆心的轨迹 C 的方程 ; ( )设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点 ,直线 倾斜角分别为和 ,当、变化且 + =4时 ,证明 :直线 过定点 ,并求出该定点的坐标 . 2.(2009 年全 国高中数学联赛 河南 初赛 试题 )已知抛物线 C:x,以 M(1,2)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 )求证 :直线 定点 ; ( )过点 M 作 垂线交 点 N,求点 N 的轨迹方程 . ( )由 ( )知 ,点 N 的轨迹是 以 直径的圆 (除去点 (1,2 ),其方程为 (+(x 1). 3.(1999 年 全国高中数学联赛 试 题 )已知点 A(1,2),过点 (5,2)的直线与抛物线 x 交于另外两点 B,C,那么 , ( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定 4.(2012 年 第三届世界数学锦标赛 (青年组 )试 题 )已知抛物线 y=(1,1)、 B、 C,满足 外接圆面积的最小值 . ( )如图 ,设动圆圆心为 M,点 F(2p,0),过点 M 作直线 l:x=垂足为 N,则 | | 点 M 的轨迹 是以点 F 为焦点 ,l 为准线 的 抛物线 ,方程为 px(p0); ( )设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=kx+m,则 1122由 + )= 11122(122又由 y=kx+m 与 px(y m(11221122 1- m=2p 直线 AB:y=k(x+2p)+2p恒过定 点 (p). ( )设 直线 AB:k(m(m 0) 1=m 1()2( ;由 x (-4(4(0 (-4( m 1()2( +4(m 1()2( =0 (m+4)(12-4(k+1)12k=0441 m=直线 AB:y+ 2=k(定点 T(5, 设 直线 BC:k(m,则 m=m 1()2( ;由 x (-4(4(0 (-4( m 1()2( +4(m 1()2( =0 2-4(k+1)12k=0 (C). 设 B(t,C(a,则 (因 0 (0 (t 1,a) a+1)t+