15_6424911_16.抛物线中的直角梯形

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 抛物线中的直角梯形 抛物线中与焦点弦有关 问题 的 平面几何解 法 抛物线 的 焦点弦有 许多奇妙 性质 ,这些性质常常是高考命题的切入点 ;更奇妙的是该类 高考 试 题 ,可通过构造直角梯形 ,用平面几何知识 ,给出解答 . 母题结构 :已知 抛物线 G:px(p0)的焦点 为 F,经过点 F 的直线交抛物线 G 于 A、 B 两点 ,自 A、 B 向准线 垂足分别为 M、 N,则 : A、 O、 N 三点共线 ,B、O、 M 三点共线 ; 以 直径的圆与 切于 中点 C,以直腰 直径的 圆与 切于点 F. 母题 解 析 : 如图 ,记 , 点 T,由 | |且 |由 | | | | | 点 A、 O、N 三点共线 ;同理可证 :B、 O、 取 中点 D,则 |21(|=21(|=21| 以 直径的圆与 切于 中点 C;同理可证 :以直腰 直径的 圆与 切于点 F. 子题类型 :(2001年 全国 高考试题 )设抛物线 px(p0)的焦点为 F,经过点 、 点 且 证明 :直线 . 解析 :如图 ,记 ,过 D l,则 结 点 N,则 |且 |由 |=| | | | | 点 与抛物线的顶点 O 重合 直线 . 点评 :当 xE+,即点 关于点 也有 A、 O、 B、 O、 子题类型 :(2009 年 湖北 高考 文科 试题 )如图 ,过抛物线 0)的焦 点 F 的直线与抛物 线相交于 M、 N 两点 ,自 M、 N 向准线 L 作垂线 ,垂足分别为 ( )求证 :( )记 、 1,3,试判断 并证明你的结论 . 解析 :( )设准线 l 与 x 的交点为 | 800 00 ( )设 |a,|b, ,则 111|=41 (2(2=4点评 :由母题知 ,C F 此可得 :|=|=| . 子题类型 :(2012 年课标高考试题 )设抛物线 C:py(p0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上 一点 ,已知以 F 为圆心 ,半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点 . ( )若 00, 面积为 4 2 ,求 P 的值及圆 F 的方程 ; ( )若 A,B,F 三点在同一条直线 m 上 ,直线 n与 m 平行 ,且 只有一个公共点 ,求坐标原点到 m,n 距离的比值 . 解析 :( )设准线 l 于 y 轴的 交 点为 E,圆 F 的半径为 r,则 |p,|r,D 的中点 ;由 00 r= 2 p, 面积 =2 2 p=2 F(0,1) 圆 F:=8; ( )由 A,B, 的直径 抛物线定义知 :| 00 直线 33或 直线 m:y=33x+2p 原点到直线 m 的距离 3p;由 y =33 x=33p 直线n:33(x33p) y=33原点到直线 23p 坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 点评 :利用平面几何知识解决抛物线焦点弦问题的本质和关键就是作抛物线的准线 ,利用抛物线的定义 . 1,(2003 年 北京春招 试题 )已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线 l:x=切 ,点 C 在 l 上 . ( )求动圆圆心的轨迹 M 的方程 ; ( )设过点 P,且斜率为 - 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点 .(i)问 : 否为正三角形？若能 ,求点 C 的坐标 ;若不能 ,说明理由 ;( 钝角三角形时 ,求这种点 C 的纵坐标的取值范围 . 2.(2011 年 湖南 高考试题 )已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的 差 等于 1. ( )求动点 P 的轨迹 C 的方程 ; ( )过点 相交于点 A,B,相交于点 D,E,求 最小值 . 3.(2009年 湖北 高考 理科 试题 )过抛物线 px(p0)的对称轴上一点 A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于 M、 自 M、N 向直线 l:x=垂线 ,垂足分别为 )当 a=2求证 :( )记 1、 否存在 ,使得对任意的 a0,都有 若存在 ,求出 的值 ;若不存在 ,说明理由 . ( )由曲线 M 是以点 P 为焦点 ,直线 l 为准线的抛物线 曲线 M:x; ( )A(31,332),B(3, );(i)由 00 直线 AC:3 ( C(332) | | 直线 l 上不存在点 C,使得 正三角形 ; ( )当 C(334)时 , 00 对任意点 C, 900; 若 AC:3( C(32); 若 BC:y+2 3 =33( C(3310) 点 C 的纵坐标 y 满足 :y932(y 2 3 ),或 且 00 2 22 =1a+21b=41 a2+(21a+21b) 16 最小值 =16. ( )如图 ,当 a=2点 l 为其准线 ,设准线 l 与 x 的交点为 | 800 00 ( )存在 =4,使得对任意的 a0,都有 证明如下 :设 M(2N(2则 a,2a,