16_4256770_34.不等式x÷(1+x)≤ln(1+x)≤x的加强和背景

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 不等式 +x) x 的加强和背景 函数 +x)的 上、下界函数 由 +x)的泰勒展开式 :+x)=1+(-1)+ ,可深 入 寻找函数 +x)的 上、 下界函数 ,得到不等式1+x) x 的加强 不等式 ;对该对数不 等式 的加强是高考命题的一个 生长 点 . 母题结构 :当 x0 时 ,求证 :( )则 f (x)=x11-(120 f(x)在 (0,+ )内递增 f(x) f(0)=0 +x)此可得 :当 则 g (x)=11=30 g(x)在 (0,+ )内递增 g(x)g(0)=0 +x)11 则 f (x)=12 )11(2 0 f(x)在 (0,+ )内递增 f(x)f(0)=0 +x);当 x0 时 ,由0),则 f (x)=22)1(2 0 f(x)在 (0,+ )内递增 f(x)f(0)=0 +x)21(x+1该不 等式 是 考虑 不等式1+x) x 的 上、 下界函数 的算术平均与 +x)的关系得到 ,而 ( )是 考虑 x 与1何 平均1+x)的关系得到 ). 子题类型 :(2011 年课标高考 文 科 试题 )已知函数 f(x)=1lnx xa+线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为x+2.( )求 a,b 的值 ; ( )证明 :当 x0,且 x 1 时 ,f(x)1ln解析 :( )f(x)的定义域为 (0,+ );由 f(x)=1lnx xa+ f(x)=2)1()2 曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为 x+2 f(1)=1,f (1)=b=1,2121 a=1,b=1; ( )由 f(x)=1lnxx+f(x)1ln x x (*);当 00;当 x1 时 ,(*) 2)=0;当 x1 时 ,g(x)0,且 x 1 时 ,f(x)1lnxx+ k 的取值范围 . 解析 :( )f(x)的定义域为 (0,+ );由 f(x)=1lnx xa+ f(x)=2)1()2 曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的 切线方程为 x+2 f(1)=1,f (1)=b=1,2121 a=1,b=1; ( )由 f(x)=1lnxx+f(x)1lnxx+f(x)-(1lnxx+211x20 (*);当 k 0 时 ,由 2)知 ,(1 20时 ,令 g(x)=2则 g (x)=121x(x+( g (x)=0 在 (0,+ )内有根 g(x)在 (0,1)和 (1,+ )内的符 号 不确定 (*)不恒 成立 k 的取值范围 是 (- ,0. 点评 :由对数不等式在 母题中的加强式 可以构造许 多 不等式 恒成立问题 ,本题就是利用 不等式 :当 x1 时 ,成构造的 . 子题类型 :(2015 年 福建 高考 理科 试 题 )已知函数 f(x)=+x),g(x)=kx(k R). ( )证明 :当 x0 时 ,f(x)0,使得对 任意的 x (0,恒有 f(x)g(x); ( )确定 k 的所以可能取值 ,使得存在 t0,对任意的 x (0,t),恒有 |f(x)-g(x)|0),则 h (x)=x11当 k 0时 ,h (x)0 h(x)在 (0,+ )內递增 h(x) h(0)=0,故对任意正实数 当 0h(0)=0; ( ) 当 k1 时 ,f(x)0,使得对 任意的 x (0,恒有 f(x)g(x),此时 ,|f(x)-g(x)|此时 ,任意 正 实数 t 满足题意 k=1. 点评 :利用 对数不等式在 母题中的加强式研究解决函数有关性质是高考的一个重要命题方向 . 1.(2007 年 安徽 高考试题 )设 a0 ,f(x)=x+2x0). ( )令 F(x)=(x),讨论 F(x)在 (0,+ )内的单调性并求极值 . ( )求证 :当 x1 时 ,恒有 x. 2.(2011 年全国 高考试题 )( )设函数 f(x)=+x)明 :当 x0 时 ,f(x)0; ( )从编号 1到 100的 100张卡片中每次随机抽取一张 ,然后放回 ,用这种方式连续抽取 20次 ,设抽到的 20个号码互不相同的概率为 p,证明 :论 y=f(x)的单调性 ; ( )若对任意 x (0,1)恒有 f(x)1,求 a 的取值范围 . 4.(2011 年 浙江 高考试题 )设函数 f(x)=ax,a0. ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )求所有实数 a,使 f(x) x 1,e恒成立 (注 :e 为自然对数的底数 ). 5.(2011 年 辽 宁 高考试题 )设函数 f(x)=x+线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切斜线率为 2. ( )求 a,b 的值 ; ( )证明 :f(x)2x 6.(2015 年 四川 高考试 题 )已知函数 f(x)=中 a0. ( )设 g(x)为 f(x)的导函数 ,讨论 g(x)的单调性 ; ( )证明 :存在 a (0,1),使得 f(x) 0 在区间 (1,+ )内恒成立 ,且 f(x)=0 在区间 (1,+ )内有唯一解 . 7.(2015 年 福建 高考 文科 试 题 )已知函数 f(x)=( 2x. ( )求函数 f(x)的单调递增区间 ; ( )证明 :当 x1 时 ,f(x)1,当 x (1, ,恒有 f(x)k( ( )由 f(x)的定义域为 (0,+ ),f (x)=1F(x)=(x)=a F (x)=1 F(x)在(0,2)内是减函数 ,在 (2,+ )内是增函数 F(x)的 极小 值 =F(2)=2a,无极大值 ; ( )当 x1 时 ,由 a0 2 ,故只需证 :x 立 . ( )由 f(x)的定 义域为 (0,+ ),f (x)=)1()2( 22xx x 0 f(x)在 (0,+ )内是增函数 f(x)f(0)=0; ( )由 f(x)在 (0,+ )内是增函数 当 ,f(x)在 (- ,),(,1)和 (1,+ )內 单调递增 ,在 (,)內 单调递 减 ; ( )由 f(x)1 11 +x) +x)x;当 a 2时 ,由 2x +x)当 a2时 ,令 g(x)=+x) g (x)=x11+ x111 ) 当 x (0,)时 ,g (x)1),则 h(x)0,