18_6354383_13.构造三角形解题的类型和方法

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 构造三角形解题的类型和方法 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 三角形是我们熟知的几何图形 ,它蕴含着正弦定理、余弦定理、面积公式等性质定理 能根据题目条件 ,构造出合适的三角形 ,然后借助三角形自身的性质和结论 ,不仅可以使问题的解决简捷巧妙 ,还可以开阔我们的视野 . 母题结构 :( )(三边 模型 )若 x,y,z 是 正实 数 ,则以 a=y+z,b=z+x,c=x+y 为三边长可构成一个三角 形 ; ( )(正弦 模型 )若三个正数 a、 b、 c 和三个小于 1800的正角 A、 B、 C 满足 : a、 b、 c 三个数所对应的线段和三个角 A、 B、 C 一定能够构成唯一的三角形 ; ( )(余弦 模型 )若三个正数 a、 b、 c 和三个小于 1800的正角 A、 B、 C 满足 :a2=b2+b2=c2+c2= a、 b、 c 三个数所对应 的线段和三个角 A、 B、 C 一定能够构成唯一的三角形 . 母题 解 析 :( )由 a=y+z,b=z+x,c=x+y a+bc,b+ca,c+ab a,b,c 为三边长可构成一个 三角形 ;如图 ,其中 x,y,z 的几何意义为 x=F,y=F,z=E; 对于 ( )( )我们首先证 明 正弦定理 与 余弦定理 等价 :由 正弦定理 余弦定理 :设k(k0) ka,kb,由 +C)= (=( (11 a2=b2+理可得 余弦定理 的另外两式 ;由 余弦 定理 正弦定理 :由 a2=b2+b2=c2+式 相减 得 :c=ba 2 a2=ba 2 )2ba 2 )(0 同理可得 : 再证 余弦定理的逆定理 :由 a2=b2+a2b2+ a|同理可得 :b|c| a,b,设为 则 a2=b2+ =A,同理可得 :b 边的对角为 B,c 边的对角为 C. 型 子题类型 :(1989 年全苏联 数学奥林匹克 试题 )已知 x、 y、 z 为正数 ,且 x+y+z)=1,求 (x+y)(y+z)的最小值 . 解析 :令 a=y+z,b=z+x,c=x+y,则 a,b,c 可构成 三边 ,则 S )()( = )( =1;又因 S 1 1 (x+y)(y+z) (x+y)(y+z)= 2,当且 仅当 B=900,即 (y+z)2+(x+y)2=(z+x)2 x=z=1,y=y= 2 ,等号成立 (x+y)(y+z)的最小值 =2. 点评 :对 子题类型 :(1978 年全国高考试题 )己知、为锐角 ,且 321,320,求证 : +2=2. 解析 :由 320 2,联想作 , A=2 , B=2 ;由 221 323,由射影定理知 , C 2 +4 = +2 =2. 点评 :联想正弦定 理 ,构造 三角形 是 本题 解法 的 关键 ;类比联想 正弦定 理 、余 弦定 理 、 射影定理 、 三角形面积公式 以及通过赋予数 量的边或角的几何 意义 是构造 三角形 解 决问题 的 关键 . 子题类型 :(1986 年河南 高中教学 竞赛题 )已知 x,y,且满足方程组431222222 试求 xy+yz+值 . 解析 :构造 C=900,则 ;在 取 点 D,使 200,则 AD=x,CD=y, BD=z,如图 ,由 S 1113 xy+yz+. 点评 :根据 余 弦定理 的结构 特点 ,利用 余弦定理进行几何代换 ,构造 三角形 ,从而把代数问题转化为三角形问题 ,使比较隐蔽的关系直观化 ,实现 难题巧解 . 1.(2010 年 上海 高考试题 )某人要 作一个三角形 ,要求它的三条高的长度分别是131、111、51,则此人将 ( ) (A)不能作出满足要求的三角形 (B)作出一个锐角三角形 (C)作出一个直角三角形 (D)作出一个钝角三角形 2.(1991 年全国高中数学联赛试题 ) . 3.(1995 年全国高考试题 )求 4.(2006 年四川高考试题 )设 a、 b、 c 分别是 三个内角 A、 B、 C 所对的边 ,则 a2=b(b+c)是 A=2B 的 ( ) (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件 5.(第二十四届国际 数学奥林匹克 (题 )设 a,b,c 是三角形的三边长 ,求证 : 0. 6.(2012 年全国高中数学联合竞赛湖北 预赛试题 )已知 321,3(2-2(2=1,则 + )= . 7.(2007 年全国高中数学联赛 辽宁 初赛试题 )设 00,证明 : 2)( + 2)( + 2)( 3 . 由 S 1131a=21111b=2151c a=13k,b=11k,c=5k b2+46k2D). 令 A=400,B=800,则 C=600 3 3. 在 ,a2+ A=200,B=400,则 C=1200 3 3. 延长 点 D,使得 B,则 a2=b(b+c) A A=A). 令 a=y+z,b=z+x,c=x+y,则 0 x+y+z);由柯西不等式 :(x+y+z) (x y z 2=x+y+z)2 x+y+z). 由 321 323;由 3(2-2(2=1 322 ,B=2 ,C=2 ,则 3=32C B A=C=2 ,由 A+B+C= 2 +4 = +2 =2 + )=+ )=又由 32 32 32 31 + )=由已知 得 (2=(1(1= 故 (= + )= ) + + = 、 、 是 一个锐角三角形的三内角 .令 x=y=z=则 x、 y、 z 可构成某一个三角形的三边长 | + + |= |yx +xz |=|yx xz |z,|x,|y,则 |yx xz |)()( 22 =81. 构造边长为 1的正 别在边 B,E,F,使 AD=x,BE=y,CF=z,则 E=1F=1 S x(1y(1z(11. 构造边长为 k 的正 别在边 Q,取点 M,N,L,使 PM=b,QN=c,RL=a,则 ,由 S S aB+bC+cA构造 ,取点 P,使 PA=x,y,PC=z 500, 00, 200,由 S 4 3 . 构造锐角 三条高分别为 1,1,1,AB=z,BC=x,CA=y,则 S 11211z=41x=51y=2S x=8S,y=10S,z=12S x+y+z=30S,由海伦公式 :5S(151515 S= 7151 x+y+z= 772 . 注意到25、212、213是一组勾股数 ,故作 00,13,12,5,并在 取一点 P,使 200(P 是 费尔马点 ),则 PA=z,PB=x,PC=y,S xy+yz+0 3 . 在 取一点